【数学课件】2013北师大版高二数学选修1-2第三章 推理与证明复习课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【答案】 4n＋2 5n＋1
BS ·数学
选修1-2
如图3－2所示，小正方形的边长为1，渐开线形成的螺 旋曲线是由半径分别为1,2,3,4，…，n的四分之一圆弧逆时 针形成的螺线图案，并且分别以正方形的各个顶点为圆心， 则第n个图形的圆弧长度的通项公式为________．
图3－2
BS ·数学
选修1-2
选修1-2
在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两 边分别垂直，那么这两个角相等或互补．请你写出这个命题 在空间中的类比命题，并判断命题的真假性．
【思路点拨】 将平面上的角与空间中的二面角进行类 比． 【规范解答】
类比：如果一个二面角的两个半平面分
别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等 或互补．这个类比是错误的．事实上，两个二面角的大小没 有关系，即假命题．
AE h1 VA—CDE ＝ ＝ ，平面CDE平分二面角A—CD—B，∴E到平 BE h2 VB—CDE VA—CDE VE—ACD S△ACD 面ACD和平面BCD的距离相等，∵V ＝V ＝ ， S △BCD B—CDE E—BCD AE h1 S△ACD ∴BE＝h ＝ . S△BCD 2
【答案】 AE S△ACD ＝ BE S△BCD
BS ·数学
选修1-2
sin α 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤ . 1－cos α
【证明】
sin α 要证2sin 2α≤ 成立， 1－cos α
sin α 只要证明4sin αcos α≤ ， 1－cos α 因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 1 只要证明4cos α≤ ， 1－cos α
BS ·数学
选修1-2
反证法是一种间接证明命题的方法． 反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角 度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，由此进 行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p，则綈q”为假， 从而可以导出“若p，则q”为真，从而达到证明的目的．反 证法是高中数学中的一种重要的证明方法，在不等式和立体 几何的证明中经常用到，在高考中也经常出现，它所反映出 的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主 要证明否定性、唯一性命题，至多、至少型问题以及几何问 题．
BS ·数学
选修1-2
BS ·数学
选修1-2
BS ·数学
选修1-2
归纳推理可根据一类事物中部分事物具有的某种属性， 推断出这类事物中每一个事物都有这种属性，是由部分到整 体，由个别到一般的推理过程．在归纳推理时应注意找规 律，结论不一定正确．
BS ·数学
选修1-2
图3－1是一系列有机物的结构简图，图中的 “小黑点”表示原子，两点间的“短线”表示化学键．按图 中结构，则第n个图有______个原子，有______个化学键．
BS ·数学
选修1-2
1 上式可变形为4≤ ＋4(1－cos α)， 1－cos α 因为1－cos α>0， 1 所以 ＋4(1－cos α)≥2 1－cos α ＝4， 1 π 当且仅当cos α＝2，即α＝3时取等号， 1 所以4≤ ＋4(1－cos α)成立， 1－cos α sin α 所以不等式2sin 2α≤ 成立. 1－cos α 1 ×41－cos α 1－cos α
BS ·数学
选修1-2
在平面几何中，△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线 段的比AE∶EB＝AC∶CB，把这个结论类比到空间：在三棱 锥A—BCD中(如图3－3)，平面CDE平分二面角A—CD—B且 与AB相交于E，可类比得到结论________．
图3－3
BS ·数学
选修1-2
【解析】
设A，B到平面ECD的距离分别为h1，h2，则
2 n ＋n π 的和，即2(1＋2＋3…＋n)＝ 4 π.
n2＋n 【答案】 π 4
BS ·数学
选修1-2
类比是高中数学学习的重要思维方式，它是通过两个已 知事物在某些方面所具有的共同属性去推测这两个事物在其 他方面也具有相同或类似的属性，从而大胆猜测得到结 论．学习类比推理可以培养创新精神．
BS ·数学
法二 由于a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，所以可令a＝cos α， b＝sin α，x＝cos β，y＝sin β， 则ax＋by＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)≤1. 法三 ∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1， ∴1＝(a2＋b2)(x2＋y2)＝(ax)2＋(ay)2＋(bx)2＋(by)2≥(ax)2 ＋2axby＋(by)2＝(ax＋by)2， ∴ax＋by≤1.
图3－1
【思路点拨】 解决有关图形按一定规律生长或分支的
归纳问题，关键是要善于抓住图形变化规律，捕捉图中提供 的信息，由特殊抽象出一般结论．
BS ·数学
选修1-2
【规范解答】 10,6＋4＋4＝14，
结构简图中原子的个数依次是6,6＋4＝
归纳猜想第n个图中原子个数为6＋(n－1)×4＝4n＋2. 结构简图中化学键的个数依次是6,6＋5＝11,6＋5＋5＝ 16， 归纳猜想第n个图中化学键个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.
BS ·数学
选修1-2
综合法与分析法是两种思路截然相反的方法，应用综合 法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可 以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析 法和综合法结合起来使用，转换解题思路，增加解题途径．
BS ·数学
选修1-2
已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1.
【思路点拨】 用综合法证题时，要善于“目标分
析”，以便找到证题的入手点，比如本题，是抓住怎么会出 现ax＋by和1来选择入手点的． 【规范解答】 法一 ∵a2＋x2≥2ax，b2＋y2≥2by，
∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)＝1＋1＝2， ∴ax＋by≤1.
BS ·数学
选修1-2
【解析】Hale Waihona Puke Baidu
解决本题需要根据前三项情况进行分析，从
而找到规律，得出结论．第一个图形圆弧长度是半径为1的 四分之一圆弧长，第二个图形的圆弧长度是半径为1和2的两 个四分之一圆弧长的和，第三个图形的圆弧长度是半径为 1,2和3的三个四分之一圆弧长的和，…，归纳得第n个图形 的圆弧长度是半径分别为1,2,3，…，n的n个四分之一圆弧长
BS ·数学
选修1-2
如图3－2所示，小正方形的边长为1，渐开线形成的螺 旋曲线是由半径分别为1,2,3,4，…，n的四分之一圆弧逆时 针形成的螺线图案，并且分别以正方形的各个顶点为圆心， 则第n个图形的圆弧长度的通项公式为________．
图3－2
BS ·数学
选修1-2
选修1-2
在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两 边分别垂直，那么这两个角相等或互补．请你写出这个命题 在空间中的类比命题，并判断命题的真假性．
【思路点拨】 将平面上的角与空间中的二面角进行类 比． 【规范解答】
类比：如果一个二面角的两个半平面分
别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等 或互补．这个类比是错误的．事实上，两个二面角的大小没 有关系，即假命题．
AE h1 VA—CDE ＝ ＝ ，平面CDE平分二面角A—CD—B，∴E到平 BE h2 VB—CDE VA—CDE VE—ACD S△ACD 面ACD和平面BCD的距离相等，∵V ＝V ＝ ， S △BCD B—CDE E—BCD AE h1 S△ACD ∴BE＝h ＝ . S△BCD 2
【答案】 AE S△ACD ＝ BE S△BCD
BS ·数学
选修1-2
sin α 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤ . 1－cos α
【证明】
sin α 要证2sin 2α≤ 成立， 1－cos α
sin α 只要证明4sin αcos α≤ ， 1－cos α 因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 1 只要证明4cos α≤ ， 1－cos α
BS ·数学
选修1-2
反证法是一种间接证明命题的方法． 反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角 度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，由此进 行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p，则綈q”为假， 从而可以导出“若p，则q”为真，从而达到证明的目的．反 证法是高中数学中的一种重要的证明方法，在不等式和立体 几何的证明中经常用到，在高考中也经常出现，它所反映出 的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主 要证明否定性、唯一性命题，至多、至少型问题以及几何问 题．
BS ·数学
选修1-2
BS ·数学
选修1-2
BS ·数学
选修1-2
归纳推理可根据一类事物中部分事物具有的某种属性， 推断出这类事物中每一个事物都有这种属性，是由部分到整 体，由个别到一般的推理过程．在归纳推理时应注意找规 律，结论不一定正确．
BS ·数学
选修1-2
图3－1是一系列有机物的结构简图，图中的 “小黑点”表示原子，两点间的“短线”表示化学键．按图 中结构，则第n个图有______个原子，有______个化学键．
BS ·数学
选修1-2
1 上式可变形为4≤ ＋4(1－cos α)， 1－cos α 因为1－cos α>0， 1 所以 ＋4(1－cos α)≥2 1－cos α ＝4， 1 π 当且仅当cos α＝2，即α＝3时取等号， 1 所以4≤ ＋4(1－cos α)成立， 1－cos α sin α 所以不等式2sin 2α≤ 成立. 1－cos α 1 ×41－cos α 1－cos α
BS ·数学
选修1-2
在平面几何中，△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线 段的比AE∶EB＝AC∶CB，把这个结论类比到空间：在三棱 锥A—BCD中(如图3－3)，平面CDE平分二面角A—CD—B且 与AB相交于E，可类比得到结论________．
图3－3
BS ·数学
选修1-2
【解析】
设A，B到平面ECD的距离分别为h1，h2，则
2 n ＋n π 的和，即2(1＋2＋3…＋n)＝ 4 π.
n2＋n 【答案】 π 4
BS ·数学
选修1-2
类比是高中数学学习的重要思维方式，它是通过两个已 知事物在某些方面所具有的共同属性去推测这两个事物在其 他方面也具有相同或类似的属性，从而大胆猜测得到结 论．学习类比推理可以培养创新精神．
BS ·数学
法二 由于a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，所以可令a＝cos α， b＝sin α，x＝cos β，y＝sin β， 则ax＋by＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)≤1. 法三 ∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1， ∴1＝(a2＋b2)(x2＋y2)＝(ax)2＋(ay)2＋(bx)2＋(by)2≥(ax)2 ＋2axby＋(by)2＝(ax＋by)2， ∴ax＋by≤1.
图3－1
【思路点拨】 解决有关图形按一定规律生长或分支的
归纳问题，关键是要善于抓住图形变化规律，捕捉图中提供 的信息，由特殊抽象出一般结论．
BS ·数学
选修1-2
【规范解答】 10,6＋4＋4＝14，
结构简图中原子的个数依次是6,6＋4＝
归纳猜想第n个图中原子个数为6＋(n－1)×4＝4n＋2. 结构简图中化学键的个数依次是6,6＋5＝11,6＋5＋5＝ 16， 归纳猜想第n个图中化学键个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.
BS ·数学
选修1-2
综合法与分析法是两种思路截然相反的方法，应用综合 法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可 以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析 法和综合法结合起来使用，转换解题思路，增加解题途径．
BS ·数学
选修1-2
已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1.
【思路点拨】 用综合法证题时，要善于“目标分
析”，以便找到证题的入手点，比如本题，是抓住怎么会出 现ax＋by和1来选择入手点的． 【规范解答】 法一 ∵a2＋x2≥2ax，b2＋y2≥2by，
∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)＝1＋1＝2， ∴ax＋by≤1.
BS ·数学
选修1-2
【解析】Hale Waihona Puke Baidu
解决本题需要根据前三项情况进行分析，从
而找到规律，得出结论．第一个图形圆弧长度是半径为1的 四分之一圆弧长，第二个图形的圆弧长度是半径为1和2的两 个四分之一圆弧长的和，第三个图形的圆弧长度是半径为 1,2和3的三个四分之一圆弧长的和，…，归纳得第n个图形 的圆弧长度是半径分别为1,2,3，…，n的n个四分之一圆弧长