近世代数期末考试题(卷)库

{ 1、设置换σ 和τ 分别为：σ = ⎡⎢ ，τ = ⎡⎢
⎥ ，判断 和 的奇偶性，并把 和
12345678 ⎤ 12345678 ⎤
⎣
64173528⎦
⎣
23187654
⎦
矩阵，且 A = B + C 。

若令有 A = B + C ，这里 B 和 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 2 2 ..
世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中 只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无 分。

1、设 A ＝B ＝R(实数集)，如果 A 到 B 的映射 ϕ ：x→x ＋2，∀ x∈R ，则 ϕ 是从 A 到 B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射
2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 A×B 中含
有（ d ）个元素。

A 、2 B 、5 C 、7 D 、10
3、在群 G 中方程 ax=b ，ya=b ， a,b∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)
4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（c ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。

5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（d ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数
二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合 A = {- 1,0,1}； B = 1,2}，则有 B ⨯ A = 。

2、若有元素 e∈R 使每 a∈A ，都有 ae=ea=a ，则 e 称为环 R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合 A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做 A 的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于 0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 1，元 a 的逆元是 a-1。

8、设 I 和 S 是环 R 的理想且 I ⊆ S ⊆ R ，如果 I 是 R 的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） ⎥ σ τ σ τ
写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵
之和。

奇 1、解：把 σ 和τ 写成不相杂轮换的乘积：
σ = (1653)(247)(8)
τ = (123)(48)(57)(6)
可知 σ 为奇置换，τ 为偶置换。

σ 和τ 可以写成如下对换的乘积：
σ = (13)(15)(16)(24)(27)
τ = (13)(12)(48)(57)
1 1
B = ( A + A ')
C = ( A - A ')
2 解：设 A 是任意方阵，令 ， ，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称
1 1 1 1
B - B =
C - C ，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：
B = B ，
C = C ，所以，表示法唯一。

Q = ⎨所有 ⎬(a, b ∈ R, b ≠ 0)
-
a
e e a { }..
1 1
1 1
3、设集合 M m = {0,1,2,⋯⋯, m - 1, m }(m φ 1) ，定义 M m 中运算“ + m ”为 a + m b=(a+b)(modm),则 （ M m ， + m ）是不是群，为什么？
四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、设 G 是群。

证明：如果对任意的 x ∈ G ，有 x 2 = e ，则 G 是交换群。

2、假定 R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含 R 的域，那么 F 包含 R 的一个商域。

1、对于 G 中任意元 x ，y ，由于 ( xy) 2 = e ，所以 xy = ( xy) -1 = y -1 x -1 = yx （对每个 x ，从 x 2 = e 可 得 x = x -1 ）。

2、证明在 F 里
ab -1 = b -1a = a
b
(a, b ∈ R, b ≠ 0)
有意义，作 F 的子集
- ⎧ a ⎫ ⎩ b ⎭
Q 显然是 R 的一个商域
证毕。

近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则 G 的子集（c ）是子群。

A 、 { }
B 、 { , e }
C 、
D 、 {, a, a 3
}
2、下面的代数系统（G ，*）中，（d ）不是群
A 、G 为整数集合，*为加法
B 、G 为偶数集合，*为加法
C 、G 为有理数集合，*为加法
D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|
4、设σ 1 、σ 2 、σ 3 是三个置换，其中σ 1 =（12）（23）（13），σ 2 =（24）（14），σ 3
=（1324）， 则 σ 3 =（ b ）
A 、 σ 2 1
B 、 σ 1 σ 2
C 、 σ 2 2
D 、 σ 2 σ 1
5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（ a ）。

A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群
二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---变换全-------同构。

2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。

3、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 50，则 a 4 的阶等于-25-----。

..
4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与--模n乘余类加群-----同构。

5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=---2--。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为---双射--------------。

7、α叫做域F的一个代数元，如果存在F的--不都等于林---a0,a1,Λ,a n使得
a 0+a
1
+αΛ+a
n
αn=0。

8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何x∈A均成立xοa=x，则称a为----单位元-----。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、--消去律成立-------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(12)}，写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“ ”是数的乘法，则“ ”是E中的运算，（E， ）是一
个代数系统，问（E， ）是不是群，为什么？
1、解：H的3个右陪集为：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}
H的3个左陪集为：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}
2、答：（E， ）不是群，因为（E， ）中无单位元。

3、解方法一、辗转相除法。

列以下算式：
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以p=4,q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明设e是群<G，*>的幺元。

令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b ＝b。

所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。

若x'∈G也是a*x＝b的解，则x'＝e*x'＝(a－1*a)*x'＝a－1*(a*x')＝a－1*b＝x。

所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。

若m︱a–b也记为a≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a b当且仅当m︱a–b。

..
近世代数模拟试题三
一、单项选择题
1、6阶有限群的任何子群一定不是（c）。

A、2阶
B、3阶
C、4阶
D、6阶
2、设G是群，G有（c）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个
B、5个
C、6个
D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（d）。

4、下列哪个偏序集构成有界格（d）
A、偶数
B、奇数
C、4的倍数
D、2的正整数次幂
A、（N,≤）
B、（Z,≥）
C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））
D、(P(A),⊆)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（a）
A、(1)，(123)，(132)
B、12)，(13)，(23)
C、(1)，(123)
D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f-1[f(a)]=----a------。

3、区间[1，2]上的运算aοb={min a,b}的单位元是--2-----。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=———24———————。

5、环Z的零因子有-----------------------。

8
6、一个子群H的右、左陪集的个数---相等-------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-----商权----。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的---特征--------。

9、设群G中元素a的阶为m，如果a n=e，那么m与n存在整除关系为---mIn----。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S，S是A的子环，则S∩S也是子环。

S+S也是子环吗？
121212。

3、设有置换σ=(1345)(1245)，τ=(234)(456)∈S
6
1．求στ和τ-1σ；
2．确定置换στ和τ-1σ的奇偶性。

群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：
..
因为S1，S2是A的子环，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，
因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：
3、解：1．στ=(1243)(56)，τ-1σ=(16524)；
2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

1、证明：假定μ是R的一个理想而μ不是零理想，那么a≠0∈μ，由理想的定义a-1a=1∈μ，因而R的任意元b=b 1∈μ
这就是说μ=R，证毕。

2、证必要性：将b代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算：
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，
ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，
近世代数模拟试题四
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（d）个元素。

A.2
B.5
C.7
D.10
2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射
：x→x＋2，∀x∈R，
ϕ
则ϕ是从A到B的（c）
A.满射而非单射
B.单射而非满射
C.一一映射
D.既非单射也非满射
3.设S＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S中可以与(123)交换的
33
所有元素有（a）
..
A.(1)，(123)，(132)
B.(12)，(13)，(23)
C.(1)，(123)
D.S中的所有元素
3
4.设Z是以15为模的剩余类加群，那么，Z的子群共有（d）个。

1515
A.2
B.4
C.6
D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（b）
A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体M(Q)关于矩阵的加法与乘法
n
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ο”：∀m，n∈Z，mοn＝0
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ο”：∀m，n∈Z，mοn＝1
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个
等价关系。

7.设(G，·)是一个群，那么，对于∀a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝
___________。

8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S，那么στ＝___________(表示成若干个没有
5
公共数字的循环置换之积)。

9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于∀a∈G，则元素
a的阶只可能是____5,15,1,3,_______。

10.在3次对称群S中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S的一个不变子群，则商群G/H
33
中的元素(12)H＝___________。

11.设Z＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z中的所有零
66因子是___2,3,4________。

12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。

13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝_____________
___________。

14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是___________
___________。

15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16.设Z为整数加群，Z
m 为以m为模的剩余类加群，ϕ是Z到Z
m
的一个映射，其中ϕ
：k→［k］，∀k∈Z，
验证：ϕ是Z到Z
m
的一个同态满射，并求ϕ的同态核Kerϕ。

17.求以6为模的剩余类环Z＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明
6
这些子环都是Z的理想。

6
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必
R = ⎨⎧⎛ a ⎪⎪ a, b, c, d ∈ Z ⎬,
I = ⎨ ⎪ a, c ∈ Z ⎬,
, ( , ( , , 2 矩阵，且 A = B + C 。

若令有 A = B + C ，这里 B 和 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 B - B = C - C ，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：
B = B ，
C = C ，所以，表示法唯一。

是主理想环。

..
四、证明题（本大题共 3 小题，第 19、20 小题各 10 分，第 21 小题 5 分，共 25 分） 19.设 G ＝{a ，b ，c}，G 的代数运算“ ο ”
由右边的运算表给出，证明：(G ， ο )作成一个群。

ο
a b c
a a
b
c b b c a c
c
a
b
20.设
⎩⎝ c b ⎫ ⎫
d ⎭ ⎭
⎧⎛ a 0 ⎫ ⎫ ⎩⎝ c 0 ⎭ ⎭
已知 R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。

证明：I 是 R 的一个子环，但不是理想。

21.设(R ，＋，·)是一个环，如果(R ，＋)是一个循环群，证明：R 是一个交换环。

近世代数模拟试题一 参考答案
一、单项选择题。

1、C ；
2、D ；
3、B ；
4、C ；
5、D ；
二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。

1、 {(1,-1) 1,0) 1,
1)(2,-1) (2,0) (2,1)}；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同 构;7、零、-a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、解：把 σ 和τ 写成不相杂轮换的乘积：
σ = (1653)(247)(8)
τ = (123)(48)(57)(6)
可知 σ 为奇置换，τ 为偶置换。

σ 和τ 可以写成如下对换的乘积：
σ = (13)(15)(16)(24)(27)
τ = (13)(12)(48)(57)
2、解：设A 是任意方阵，令 B = 1
2 1
( A + A ') C = ( A - A ')
， ，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称
1 1 1 1
1 1 1 1
3、答：（ M m ， + m ）不是群，因为 M m 中有两个不同的单位元素 0 和 m 。

四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）
1、对于 G 中任意元 x ，y ，由于 ( xy) 2 = e ，所以 xy = ( xy) -1 = y -1 x -1 = yx （对每个 x ，从 x 2 = e 可 得 x = x -1 ）。

2、证明在 F 里
Q=⎨所有⎬(a,b∈R,b≠0) -..
ab-1=b-1a=a
b
(a,b∈R,b≠0)
有意义，作F的子集-⎧a⎫
⎩b⎭
Q显然是R的一个商域证毕。

近世代数模拟试题二参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。

1、C；
2、D；
3、B；
4、B；
5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、变换群；
2、交换环；
3、25；
4、模n乘余类加群；
5、{2}；
6、一一映射；
7、不都等于零的元；
8、右单位元；
9、消去律成立；10、交换环；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：H的3个右陪集为：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}
H的3个左陪集为：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}
2、答：（E， ）不是群，因为（E， ）中无单位元。

3、解方法一、辗转相除法。

列以下算式：
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以p=4,q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明设e是群<G，*>的幺元。

令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b ＝b。

所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。

若x'∈G也是a*x＝b的解，则x'＝e*x'＝(a－1*a)*x'＝a－1*(a*x')＝a－1*b＝x。

所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。

若m︱a–b也记为a≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

近世代数模拟试题三参考答案
一、单项选择题1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；
2、a；
3、2；
4、24；
5、；
6、相等；
7、商群；
8、特征；
9、m n；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，
x
可得总共 8 种。

..
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意 a,b∈S1∩S2 有 a-b, ab∈S1∩S2： 因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab∈S1 和 a-b, ab∈S2 ， 因而 a-b, ab∈S1∩S2 ，所以 S1∩S2 是子环。

S1+S2 不一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：
3、解： 1． στ = (1243)(56) ， τ -1σ = (16524) ； 2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）
1、证明：假定 μ 是 R 的一个理想而 μ 不是零理想，那么 a ≠ 0 ∈ μ ，由理想的定义 a -1a = 1 ∈ μ ， 因而 R 的任意元 b = b 1 ∈ μ 这就是说 μ =R ，证毕。

2、证 必要性：将 b 代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ， 所以 b=a-1。

近 世 代 数 试 卷
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题 1 分， 共 10 分）
1、设 A 与 B 都是非空集合，那么 A ⋃ B = { x ∈ A 且x ∈ B }。

（ f ）
2、设 A 、 B 、 D 都是非空集合，则 A ⨯ B 到 D 的每个映射都叫作二元运算。

（ f ）
3、只要 f 是 A 到 A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f -1 。

（ t ）
4、如果循环群 G = (a )中生成元 a 的阶是无限的，则 G 与整数加群同构。

（t ）
5、如果群 G 的子群 H 是循环群，那么 G 也是循环群。

（ f ）
6、群 G 的子群 H 是不变子群的充要条件为 ∀g ∈ G, ∀h ∈ H ; g -1 H g ⊆ H 。

（ t ）
7、如果环 R 的阶 ≥ 2 ，那么 R 的单位元1 ≠ 0 。

（ t ）
8、若环 R 满足左消去律，那么 R 必定没有右零因子。

（ t ）
9、 F ( x ) 中满足条件 p (α ) = 0 的多项式叫做元α 在域 F 上的极小多项式。

（ f ）
10、若域 E 的特征是无限大，那么 E 含有一个与 Z (p )同构的子域，这里 Z 是整数环，(p )是
由素数 p 生成的主理想。

（ f ）
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干 后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题 1 分，共 10 分）
1、设 A , A ,Λ , A 和 D 都是非空集合，而 f 是 A ⨯ A ⨯ Λ ⨯ A 到 D 的一个映射，那么（ 2 ）
8、设 f : R → R 是环同态满射， f (a) = b ，那么下列错误的结论为（ 4 ）3
9、下列正确的命题是（ 4 ）1
① f 的同态核是 G 的不变子群； ② G 的不变子群的逆象是 G 的不变子群；③G 的子群
的象是 G 的子群；
④ G 的不变子群的象是 G 的不变子群。

①若 a 是零元，则 b 是零元；
②若 a 是单位元，则 b 是单位元； n a I I { ..
①集合 A , A ,Λ , A , D 中两两都不相同；② A , A ,Λ , A 的次序不能调换；
1 2 n 1 2 n
③ A ⨯ A ⨯ Λ ⨯ A 中不同的元对应的象必不相同；
1 2 n
④一个元 (a , a ,Λ , a )的象可以不唯一。

1 2 n
2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4
①在整数集 Z 上， a οb = a + b ； ②在有理数集 Q 上， a οb = ab ；
ab
③在正实数集 R + 上， a οb = a ln b ；④在集合 { ∈ Z n ≥ 0}上， a οb = a - b 。

3、设 ο是整数集 Z 上的二元运算，其中 a οb = max { , b }（即取 a 与 b 中的最大者），那么 ο在 Z 中（ 4 ）3
①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

4、设 (G,ο)为群，其中 G 是实数集，而乘法 ο: a οb = a + b + k ，这里 k 为 G 中固定的常数。

那 么群 (G,ο)中的单位元 e 和元 x 的逆元分别是（ 4 ） ①0 和 - x ； ②1 和 0； ③ k 和 x - 2k ； ④ - k 和 - ( x + 2k ) 。

5、设 a, b , c 和 x 都是群 G 中的元素且 x 2 a = bxc -1 , acx = xac ，那么 x = （ 2 ）1 ① bc -1a -1 ； ② c -1a -1 ； ③ a -1bc -1 ； ④ b -1ca 。

6、设 H 是群 G 的子群，且 G 有左陪集分类 {H , aH , b H , cH }。

如果 6，那么 G 的阶 G =（ 3 ） 2
①6； ②24； ③10； ④12。

7、设 f : G → G 是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2 ）4
1 2 1 2 1 1 2 1 2
1 2 ③若 a 不是零因子，则 b 不是零因子；④若 R 是不交换的，则 R 不交换。

2 1 ①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。

10、若 I 是域 F 的有限扩域， E 是 I 的有限扩域，那么（1 ）4 ① (E : I ) = (E : I )( : F )； ② (F : E ) = (I : F )(E : I )； ③ (I : F ) = (E : F )(F : I )； ④ (E : F ) = (E : I )( : F )。

三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。

每空 1 分，共 10 分）
1、设集合 A = {- 1,0,1}； B = 1,2}，则有 B ⨯ A =。

2、如果 f 是 A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f -1 [f (a )]= a 。

3、设集合 A 有一个分类，其中 A 与 A 是 A 的两个类，如果 A ≠ A ，那么 A I A =
0 。

i
j i j
i
j
4、设群 G 中元素 a 的阶为 m ，如果 a n = e ，那么 m 与 n 存在整除关系为。

5、凯莱定理说：任一个子群都同一个
同构。

6、给出一个 5-循环置换 π = (31425) ，那么 π -1 =。

8、若 R 是一个有单位元的交换环， I 是 R 的一个理想，那么 R 是一个域当且仅当 I 是 ⎪ ⎪ ⎪π = ,π = ,π = ,π = ⎪2 1 4
3 ⎭ ⎝ 2、设 Z = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]}是模 6 的剩余类环，且 f ( x ), g ( x ) ∈ Z [x ]。

如果 f ( x ) = [3]x 3 + [5]x + [2]、
构成一个集合 G = {f }
3、设 I 和 I 为环 R 的两个理想，试证 I I I 和 I + I = {a + b a ∈ I , b ∈ I }都是 R 的理想。

4⎝1 2 3 4 ⎭ ⎝1 2 43 ⎭⎝ 2 1 3 4 ⎭ g ( x ) =
[4]x 2 + [5]x + [3]，计算 f ( x ) + g ( x ) 、 f ( x ) - g ( x ) 和 f ( x ) g ( x ) 以及它们的次数。

..
7、若 I 是有单位元的环 R 的由 a 生成的主理想，那么 I 中的元素可以表达为 x 。

I
一个最大理想 。

9、整环 I 的一个元 p 叫做一个素元，如果 、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有 平凡因子 。

10、若域 F 的一个扩域 E 叫做 F 的一个代数扩域，如果 。

四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线 上面。

指出错误 1 分，更正错误 2 分。

每小题 3 分，共 15 分）
1、如果一个集合 A 的代数运算 ο 同时适合消去律和分配律，那么在 a ο a οΛ ο a 里，元的
1 2 n
次序可以掉换。

结合律与交换律
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 G 作成一个群，如果满足 G 对于乘法 封闭；结合律成立、交换律成立。

消去律成立
3、设 I 和 S 是环 R 的理想且 I ⊆ S ⊆ R ，如果 I 是 R 的最大理想，那么 S ≠ 0 。

S=I 或 S=R
4、唯一分解环 I 的两个元 a 和 b 不一定会有最大公因子，若 d 和 d ' 都是 a 和 b 的最大公因子， 那么必有 d = d ' 。

一定有最大公因子；d 和 d′只能差一个单位因子
5 、 α 叫 做 域 F 的 一 个 代 数 元 ， 如 果 存 在 F 的 都 不 等 于 零 的 元 a , a ,Λ , a 使 得
0 1 n
a + a + α Λ + a α n = 0 。

0 1 n
不都等于零的元
五、计算题（共 15 分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换
⎛1 2 3 4 ⎫ ⎛1 2 3 4 ⎫ ⎛ 1 2 3 4 ⎫ ⎛ 1 2 3 4 ⎫
⎪ 1 2 3 组成的群 G ，试写出 G 的乘法表，并且求出 G 的单位元及π -1 ,π -1 ,π -1 ,π -1 和 G 的所有子群。

1
2
3
4
6 6
六、证明题（每小题 10 分，共 40 分）
1、设a 和 b 是一个群 G 的两个元且 ab = ba ，又设a 的阶 a = m ，b 的阶 b = n ，并且(m , n ) = 1 ， 证明： ab 的阶 ab = mn 。

2、设 R 为实数集， ∀a, b ∈ R, a ≠ 0 ，令 f : R → R, x α ax + b , ∀x ∈ R ，将 R 的所有这样的变换
(a,b )
∀a, b ∈ R, a ≠ 0 ，试证明：对于变换普通的乘法， G 作成一个群。

(a,b )
1
2
1
2
1
2
1
2
,(,(,,
(..
4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。

近世代数试卷参考解答
一、判断题12345678910
××√√×√√√××
二、单项选择题12345678910
②④③④①②④③①④
三、填空题
1、{(1,-1)1,0)1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)}。

2、a。

3、φ。

4、m n。

5、变换群。

6、13524)。

7、∑x ay,x,y∈R。

8、一个最大理想。

i i i i
9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。

10、E的每一个元都是F上的一个代数元。

四、改错题
1、如果一个集合A的代数运算ο同时适合消去律和分配律，那么在aοaοΛοa里，元的
12n
次序可以掉换。

结合律与交换律
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

消去律成立
3、设I和S是环R的理想且I⊆S⊆R，如果I是R的最大理想，那么S≠0。

S=I或S=R
4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d=d′。

一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子
5、α叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a,a,Λ,a使得
01n
a+a+αΛ+aαn=0。

01n
不都等于零的元
测验题
一、填空题（42分）
1、设集合M与M分别有代数运算ο与ο，且M~M，则当ο满足结合律时，ο也满足结合律；当ο满足交换律时，ο也满足交换律。

2、对群中任意元素a,b,有(ab)-1=；
3、设群G中元素a的阶是n，n|m则a m=e；
4、设a是任意一个循环群，若|a|=∞，则a与整数加群同构；若|a|=n，
{}{}{} {,
7、设α=⎛
1234⎫
⎪⎪，β=
⎛

1234⎫
⎪⎪
，则αβ=7、⎛
1234⎫
⎪⎪
则a与n次单位根群；同构；
5、设G=a为6阶循环群，则G的生成元有a,a5；e}e,a3,e,a2,a4,e,a,a2,a3,a4,a5；
子群有；
6、n次对称群S的阶是n!;；置换τ=(1378)(24)的阶是4；
n
；
⎝2341⎭⎝4132⎭⎝4132⎭
；
8、设σ=(14)(235)，τ=(136)(25)，则στσ-1=；
9、设H是有限群G的一个子群，则|G|=|H|:(G:H)；
10、任意一个群都同一个双射）变换群；同构。

二、证明题（24）
1.设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程x n=e。

1、已知G=|n|，|a|=k,则
k|n
令n=kq,则a n=a kq=(a k)q=e
即G中每个元素都满足方程x n=e
1、叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H
与K的交H I K仍然是G的一个子群。

2、证明:如果群G中每个元素都满足方程x2=e，则G必为交换群。

三、解答题（34）
1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算aοb=a+b+4作成群。

2、写出三次对称群S的所有子群并写出S关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所
33
有右陪集。

7、 ⎛ 
⎪⎪
e , e , e, , e,
基础测试参考答案：
一、 填空题
1、满足结合律； 满足交换律；
2、 b -1a -1 ；
3、e ；
4、整数加群；n 次单位根群；
5、 a, a 5 ； { }{, a 3 }{ a 2 , a 4 }{ a, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 }；
6、n!;4
1 2 3 4 ⎫
⎝ 4 1 3 2 ⎭
8、(456)(32)
9、|H|:(G:H)
10、（双射）变换群；
二、证明题
1、已知G=|n|，|a|=k,则
k|n
令n=kq,则a n=a kq=(a k)q=e
即G中每个元素都满足方程x n=e
2、充要条件：a,b∈H,⇒ab∈H;a∈H⇒a-1∈H；证明：已知H、K为G的子群，令Q为H与K的交设a,b∈H,则a,b∈H,a,b∈K
H是G的子群，有ab∈H
K是G的子群，有ab∈K
∴ab∈Q
∀a∈H，则a∈H且a∈K
由定理1，可知
a-1∈H
综上所述，H也是G的子群。

3、证：
∀a,b∈G;
ab∈G
a⋅a-1=a⋅a=a2
由消元法得
a=a-1
ab=(ab)-1=b-1a-1=ba
G是交换群。

三、解答题
1、解：设G是一个非空集合，ο是它的一个代数运算，如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a,b,c，有(aοb)οc=aο(bοc)
（2）G中有元素e，它对G中每个元素a，都有eοa=a
（3）对G中每个元素a,在G中有元素a-1，使a-1οa=e
则G对代数运算ο作成一个群。

对任意整数a,b，显然a+b+4由a,b唯一确定，故ο为G的代数运算。

（aοb）οc=(a+b+4)οc=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8
aο(bοc)=a+b+c+8
即（aοb）οc=aο(bοc)满足结合律
a均有（-4）οa=-4+a+4=a
∀
故-4为G的左单位元。

（-8-a）οa=-8-a+a+4=-4
故-8-a是a的左逆元。

2、解：|S|=6其子群的阶数只能是1，2，3，6
3
1阶子群｛（1）｝
2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝
3阶子群｛（1）（123）（132）｝
6阶子群S
3
左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H
..（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H
（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H
右陪集：H（1）=｛（1）（23）｝=H（23）
H（13）=｛（13）（23）｝=H（123）
H（12）=｛（12）（132）｝=H（132）。