【配套K12】四川省宜宾市一中2017-2018学年高三数学上学期第三周 导数的应用(一)教学设计

导数的应用(一)

考点梳理

函数的单调性与导数

①在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内________；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内________；

②如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )在这个区间上是________．

自查自纠

①单调递增 单调递减 ②常数函数 基础自测

(2016·宁夏模拟)函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(e ，＋∞) C ．(－∞，0)和(0，＋∞) D ．R

解：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋e

x

>0，故单调递增区间是(0，＋∞)．故选A .

(2016·湛江模拟)函数f (x )＝ln x

x

的单调递减区间是( )

A ．(e ，＋∞)

B ．(1，＋∞)

C ．(0，e)

D ．(0，1)

解：f ′(x )＝1－ln x

x

2

，由x ＞0及f ′(x )＜0解得x ＞e.故选A .

(2017·浙江)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )

A B

C D

解：由导函数y ＝f ′(x )的图象可知，该图象在x 轴的负半轴上有一个零点(不妨设为x 1)，并且当x <x 1时，

f ′(x )<0，该图象在x 轴的正半轴上有两个零点(从左到右依次设为x 2，x 3)，且当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0；

当x ∈(x 2，x 3)时，f ′(x )<0；当x >x 3时，f ′(x )>0.因此函数f (x )在x ＝x 1处取得极小值，在x ＝x 2处取得极大

值，在x ＝x 3处取得极小值．对照四个选项，选项A 中，在x ＝x 1处取得极大值，不合题意；选项B 中，极大值点应大于0，不合题意；选项C 中，在x ＝x 1处取得极大值，也不合题意；选项D 合题意．故选D .

函数f (x )＝x ＋2cos x (x ∈(0，π))的单调递减区间为________．

解：f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＜0得sin x ＞12，故π6＜x ＜5π6.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫π6

，5π6.

(2017·兰州模拟)若f (x )＝－12x 2

＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是

________．

解：由已知得f ′(x )＝－x ＋

b

x ＋2

≤0在[－1，＋∞)上恒成立，所以b ≤(x ＋1)2

－1在[－1，＋∞)上恒成立，所以b ≤－1.故填(－∞，－1]．

类型一 导数法研究函数的单调性

(1)函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上是( ) A ．增函数 B ．减函数

C ．在(0，π)上单调递增，在(π，2π)上单调递减

D ．在(0，π)上单调递减，在(π，2π)上单调递增

解：f ′(x )＝1－cos x ＞0在(0，2π)上恒成立，所以f (x )在R 上递增，在(0，2π)上为增函数．故选A .

(2)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2

＋4ax ＋24a ，其中常数a ＞1，则f (x )的单调减区间为________．

解：f ′(x )＝x 2

－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )，

由a ＞1知，当x ＜2时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数； 当2＜x ＜2a 时，f ′(x )＜0，故f (x )在区间(2，2a )上是减函数； 当x ＞2a 时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数．

综上，当a ＞1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2，2a )上是减函数．故填(2，2a )．

(3)函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≤0 B ．a ＜0 C ．a ≥0 D ．a ＞0

解：函数f (x )＝x 3

－ax 为R 上增函数的充分必要条件是f ′(x )＝3x 2

－a ≥0在R 上恒成立，所以a ≤(3x 2

)min .因为(3x 2

)min ＝0，所以a ≤0.而(－∞，0)⊆(－∞，0]．故选B .

【点拨】(1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号．不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式，其解集即为函数的单调区间，含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解，其解集即为函数的单调区间．(2)所有求解和讨论都在函数的定义域内，不要超出定义域的范围．确定函数单调区间的步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．应注意的是，个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f (x )＝x 3

，f ′(x )＝3x 2

≥0(x ＝0时，f ′(x )＝0)，但f (x )＝x 3

在R 上是增函数．

(2015·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2

(a ∈R)在x ＝－43

处取得极值．

(1)确定a 的值；

(2)若g (x )＝f (x )e x

，求函数g (x )的单调减区间． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2

＋2x ，

因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭

⎪⎫－43＝0， 所以3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－8

3

＝0，解得a ＝12.

(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x

，

故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x 3＋x 2e x

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x

＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，得x (x ＋1)(x ＋4)<0. 解之得－1<x <0或x <－4.

所以g (x )的单调减区间为(－1，0)和(－∞，－4)．

类型二 利用导数研究含参数函数的单调性

(2016·山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1

x

2，a ∈R.

(1)讨论f (x )的单调性； (2)略．

解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）

x

3

. 当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．

①0＜a ＜2时，2

a

＞1，

当x ∈(0，1)或x ∈⎝

⎛

⎭⎪⎫2a

，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1，

2a 时，f ′(x )＜0，f (x )

单调递减；

②a ＝2时，2

a

＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； ③a ＞2时，0＜2

a

＜1，

当x ∈⎝

⎛⎭⎪⎫

0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝

⎛

⎭

⎪⎫

2

a

，1时，f ′(x )＜0，f (x )

单调递减．

综上所述，

当a ≤0时，函数f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；