新人教版八年级上勾股定理的实际应用
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始经过4个侧面缠绕一圈到达点
B时，最短距离为 AB，此时， 由勾股定理，得 AB＝10，即所
用细线最短为 10cm.
聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物，
它自己腰杆不硬，为了得到 阳光的沐浴，常常会选择高 大的树木为依托，缠绕其树 干盘旋而上。如图(1)所示。
葛藤又是一种聪明的植
物，它绕树干攀升的路线， 总是沿着最短路径 ——螺旋
一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得
内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管 放进杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要
做多长？
C
A
B
如图，将一根 25 ㎝长的细木棒放入长、 宽、高分别为8㎝、6㎝和10 ㎝的长方体 无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最 短长度是多少㎝．(保留1 位小数)
C
B
A
D
有一个圆柱,它的
研A
D
究
3.6 米
A B １. ２米O C
D
３. ６米 3米
B
OC
挑战“试一试”:
一辆装满货物的卡
车，其外形高 2.5 米，
宽1.6 米，要开进厂门 A
B
形状如图的某工厂， 米 问这辆卡车能否通过 2.3
该工厂的厂门 ? 说明理
由。
D
2米
C
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽1.6 米
分析 由于厂门宽度足够,所 A
A
3
③ AB? （3＋2）2 ? 12 ? 26
A1
3
B
2
1
C B
1
2
C
B 2 C
如果长方形的长、宽、高分 别是a、b、c（a＞b＞c），则 从顶点A到B的最短线是：
a 2 ? (b ? c)2
B
A
2.如图，长方体的长为 15 cm ，
宽为 10 cm，高为20 cm，点B离
点C 5 cm, 一只蚂蚁如果要沿着长
C
20秒
B
3000米
5000米
A
小结：
实际问题 ? 构? 造?直角?三角??形 ? 数学问题 （在直角三角形中已知 两边，可以
求出第三边。）
(在直角三角形中，知道一边及 另两边关系，可以求出未知的两 边.)
A
A.
.
B
C
B
正方体中最短路线问题
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正 方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的 最短路程又是多少呢？
B
A
B
B
前面
右面 10
A
B
A
10
上面10Biblioteka 左面C前面
10
10
A
10
10
C
B
10
上面
C 10
最短路程问题
如图长为 3cm ，宽为 2cm ，高为 1cm 的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬 行的最短路程又是多少呢？
以卡车能否通过,只要看当 米 卡车位于厂门正中间时其 2.3 高度是否小于CH ．如图所 示,点D在离厂门中线0.8米 N 处,且CD⊥AB, 与地面交 于H．
C
O
┏B
D
M
2米 H
解 在Rt △OCD 中，由勾股定理得
CD＝ OC 2 ? OD2 ＝ 12 ? 0.82 ＝0.6米，
CH ＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
是多少？
解: 设水池的深度为X米, 则芦苇高为
(X+1)米. 根据题意得:
AB2 ? BC2 ? AC2
D
C
B
即 （x+1)2 ? 52 ? x2 解得 x=12
所以 x+1=13米
答: 水池的深度为12米,
A
芦苇高为13米.
例2.一架飞机在天空中水平飞行 ,某一时
刻正好飞到一个男孩头顶正上方 3000米 处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶 5000 米，试求这架飞机的飞行速度 ?
方体的表面从点 A爬到点 B ，需要
爬行的最短距离是多少？
5B
C
20
15
A
10
E
5B C
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
5
B C
20
15 A 20
B
5 E 10 C
A 10 F
2.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸 的距离分别为AC、BD，且AC=3，BD=5，CD=6， 若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问 在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？
因此高度上有0.4米的余量， 所以卡车能通过厂门．
A
C
┏B
OD
米 2.3
N
M
2米 H
D C
A
在我国古代数学著作《九章 算术》中记载了一道有趣的 问题，这个问题是：
有一个水池，水的正视图 是一个边长为10尺的正方形， B 在水池的中央有一根新生的芦 苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇拉向岸边，它的顶端 恰好到达岸边的水面，问这个 水池的深度和这根芦苇的长度各
探索1 、一个门框的尺寸如图所示，一块
长3m 、宽2.2m 的薄木板能否从门框内
D 通过? 为C什解么?：连接AC，在Rt△ABC中根 据勾股定理：
∵AC2 ? AB2 ? BC2
2m
? 12 ? 22 ? 5
A 1m B
? AC? 5 ? 2.236
例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙
∵∠DCE=90° ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52 ∴CE＝1.5m
∴BE ＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
答；梯子底端 B不是外移0.4m
乘风y=破0 浪
18m 5m
?
如图，大风将一根木 制旗杆吹裂，随时都 可能倒下，十分危急。 接警后“119”迅速 赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。 现在需要划出一个安 全警戒区域，那么你 能确定这个安全区域 的半径至少是多少米 吗？
B
A
3
12
分析：蚂蚁由 A爬到B 过程中较短的路
线有多少种情况？
B
(1)经过前面和上底面 ;
2
(2)经过前面和右面 ; (3)经过左面和上底面 .
B
A
3
A
3
1
C
B 1 2C
B 2
A
A1
3
C
观察下列哪个距离最小？你发现了什么？
① AB? 32 ? (1? 2)2 ? 18
A
3
② AB? （1＋3）2 ? 22 ? 20
线前进的。若将树干的侧面 展开成一个平面，如图（ 2 ），可清楚的看出葛藤在这 个平面上是沿直线上升的。
数学奇闻
（1）
聪明的葛藤
有 一棵树直立在地上，树高 2丈，粗3尺，有一 根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕 7周到达树顶， 请问这根葛藤条有多长？（ 1丈等于10尺）
C
20尺
A
B
3×7=21（尺）
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽 和高分别等于36cm，10cm和6cm，A和B是这个 台阶的两个相对的端点，A点上有一只小虫子， 想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只小 虫子从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线 路是多少？
bc
a
d
帮一帮消防员
一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼
9米处，升起云梯到失火的窗口，已知发
生火灾的窗口距地面有 14.2米，云梯底部
距地面 2.2米，问云梯至少需要搭出多少
米可以够到失火的窗口?
A
B
E
C
D
探
一辆高３米，宽２.４米的卡车要通
索 过一个半径为３.６米的半圆形隧道，
与 它能顺利通过吗？
蚂蚁爬行的最短路程是 15厘米.
青岛市）如图1，长方体 的底面边长分别为1cm 和 3cm，高为6cm.如果用一根
细线从点A开始经过4个侧面 缠绕一圈到达点B，那么所
用细线最短需要＿＿cm；
如果从点A开始经过4个侧 面缠绕n圈到达点B，那么所
用细线最短需要＿＿＿ cm.
解：如图2，依题意，得从点 A开
B
高等于12厘米,底
面半径等于3厘米,
我怎 么走
在圆柱下底面上的
会最 近呢 ?
A点有一只蚂蚁,它
想从点A爬到点B ,
蚂蚁沿着圆柱侧面
A
爬行的最短路程是
多少? (π的值取3)
B
9cm B
高 12cm
A
A 长18cm (π的值取3)
∵ AB2=92+122=81+144=225= 152 ∴ AB=15(cm)
A′
C
M
D
A B
您们能否利用上面的知识求出代数式 x2 +4 ? (12? x)2 ? 9 的最小值吗
如图，有两棵树，一棵高 8m，另一棵高 2m，
两树相距 8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一
棵树的树梢，至少飞了
（）
A.7m
B.8m
C.9m
A
D.10m
8m
C
B
2m
8m
帮一帮农民
如图所示，要修一个种植蔬菜的育苗大棚， 棚宽a=2m ，高 b=1.5m ，长 d=12m ，则修 盖在顶上的塑料薄膜需要的面积为多少?
复习
1.勾股定理 〈注意〉运用勾股定理
必须满足前提条件：在
直角三角形中.同时还
a
c
要明确直角三角形的直 角边与斜边.
b
a2 +b 2 =c 2
2.日常生活中常见的垂直关系： 直立的树杆、旗杆与地面; 水平方向与竖直方向; 东西方向与南北方向; 圆柱体、长方体的高与底面， 等等.
一 回顾交流
1 已知直角三角形ABC的三边为a,b,c ， ∠C＝ 90° ，则 a,b,c 三者之间的关系 是 a2 ? b2 ? c2 。
AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A
沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m
吗？
A
解：在Rt△ABC中，
D
∵∠ACB=90°
∴ AC2+ BC2＝AB2
2.42+ BC2＝2.52 ∴BC＝0.7m 由题意得：DE＝AB＝2.5m
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
C
B
E
在Rt△DCE中，
2 矩形的一边长是5，对角线是13，则它
的面积是 60
。
二.y复=0习面积法证明勾股定理
已知 S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
在直线l上依次摆放着七个正方形（如
图）．已知斜放置的三个正方形的 面积分别是1、2、3，正放置的四个 正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4， 则S1＋S2＋S3＋S4=_____．
B时，最短距离为 AB，此时， 由勾股定理，得 AB＝10，即所
用细线最短为 10cm.
聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物，
它自己腰杆不硬，为了得到 阳光的沐浴，常常会选择高 大的树木为依托，缠绕其树 干盘旋而上。如图(1)所示。
葛藤又是一种聪明的植
物，它绕树干攀升的路线， 总是沿着最短路径 ——螺旋
一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得
内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管 放进杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要
做多长？
C
A
B
如图，将一根 25 ㎝长的细木棒放入长、 宽、高分别为8㎝、6㎝和10 ㎝的长方体 无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最 短长度是多少㎝．(保留1 位小数)
C
B
A
D
有一个圆柱,它的
研A
D
究
3.6 米
A B １. ２米O C
D
３. ６米 3米
B
OC
挑战“试一试”:
一辆装满货物的卡
车，其外形高 2.5 米，
宽1.6 米，要开进厂门 A
B
形状如图的某工厂， 米 问这辆卡车能否通过 2.3
该工厂的厂门 ? 说明理
由。
D
2米
C
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽1.6 米
分析 由于厂门宽度足够,所 A
A
3
③ AB? （3＋2）2 ? 12 ? 26
A1
3
B
2
1
C B
1
2
C
B 2 C
如果长方形的长、宽、高分 别是a、b、c（a＞b＞c），则 从顶点A到B的最短线是：
a 2 ? (b ? c)2
B
A
2.如图，长方体的长为 15 cm ，
宽为 10 cm，高为20 cm，点B离
点C 5 cm, 一只蚂蚁如果要沿着长
C
20秒
B
3000米
5000米
A
小结：
实际问题 ? 构? 造?直角?三角??形 ? 数学问题 （在直角三角形中已知 两边，可以
求出第三边。）
(在直角三角形中，知道一边及 另两边关系，可以求出未知的两 边.)
A
A.
.
B
C
B
正方体中最短路线问题
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正 方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的 最短路程又是多少呢？
B
A
B
B
前面
右面 10
A
B
A
10
上面10Biblioteka 左面C前面
10
10
A
10
10
C
B
10
上面
C 10
最短路程问题
如图长为 3cm ，宽为 2cm ，高为 1cm 的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬 行的最短路程又是多少呢？
以卡车能否通过,只要看当 米 卡车位于厂门正中间时其 2.3 高度是否小于CH ．如图所 示,点D在离厂门中线0.8米 N 处,且CD⊥AB, 与地面交 于H．
C
O
┏B
D
M
2米 H
解 在Rt △OCD 中，由勾股定理得
CD＝ OC 2 ? OD2 ＝ 12 ? 0.82 ＝0.6米，
CH ＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
是多少？
解: 设水池的深度为X米, 则芦苇高为
(X+1)米. 根据题意得:
AB2 ? BC2 ? AC2
D
C
B
即 （x+1)2 ? 52 ? x2 解得 x=12
所以 x+1=13米
答: 水池的深度为12米,
A
芦苇高为13米.
例2.一架飞机在天空中水平飞行 ,某一时
刻正好飞到一个男孩头顶正上方 3000米 处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶 5000 米，试求这架飞机的飞行速度 ?
方体的表面从点 A爬到点 B ，需要
爬行的最短距离是多少？
5B
C
20
15
A
10
E
5B C
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
5
B C
20
15 A 20
B
5 E 10 C
A 10 F
2.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸 的距离分别为AC、BD，且AC=3，BD=5，CD=6， 若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问 在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？
因此高度上有0.4米的余量， 所以卡车能通过厂门．
A
C
┏B
OD
米 2.3
N
M
2米 H
D C
A
在我国古代数学著作《九章 算术》中记载了一道有趣的 问题，这个问题是：
有一个水池，水的正视图 是一个边长为10尺的正方形， B 在水池的中央有一根新生的芦 苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇拉向岸边，它的顶端 恰好到达岸边的水面，问这个 水池的深度和这根芦苇的长度各
探索1 、一个门框的尺寸如图所示，一块
长3m 、宽2.2m 的薄木板能否从门框内
D 通过? 为C什解么?：连接AC，在Rt△ABC中根 据勾股定理：
∵AC2 ? AB2 ? BC2
2m
? 12 ? 22 ? 5
A 1m B
? AC? 5 ? 2.236
例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙
∵∠DCE=90° ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52 ∴CE＝1.5m
∴BE ＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
答；梯子底端 B不是外移0.4m
乘风y=破0 浪
18m 5m
?
如图，大风将一根木 制旗杆吹裂，随时都 可能倒下，十分危急。 接警后“119”迅速 赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。 现在需要划出一个安 全警戒区域，那么你 能确定这个安全区域 的半径至少是多少米 吗？
B
A
3
12
分析：蚂蚁由 A爬到B 过程中较短的路
线有多少种情况？
B
(1)经过前面和上底面 ;
2
(2)经过前面和右面 ; (3)经过左面和上底面 .
B
A
3
A
3
1
C
B 1 2C
B 2
A
A1
3
C
观察下列哪个距离最小？你发现了什么？
① AB? 32 ? (1? 2)2 ? 18
A
3
② AB? （1＋3）2 ? 22 ? 20
线前进的。若将树干的侧面 展开成一个平面，如图（ 2 ），可清楚的看出葛藤在这 个平面上是沿直线上升的。
数学奇闻
（1）
聪明的葛藤
有 一棵树直立在地上，树高 2丈，粗3尺，有一 根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕 7周到达树顶， 请问这根葛藤条有多长？（ 1丈等于10尺）
C
20尺
A
B
3×7=21（尺）
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽 和高分别等于36cm，10cm和6cm，A和B是这个 台阶的两个相对的端点，A点上有一只小虫子， 想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只小 虫子从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线 路是多少？
bc
a
d
帮一帮消防员
一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼
9米处，升起云梯到失火的窗口，已知发
生火灾的窗口距地面有 14.2米，云梯底部
距地面 2.2米，问云梯至少需要搭出多少
米可以够到失火的窗口?
A
B
E
C
D
探
一辆高３米，宽２.４米的卡车要通
索 过一个半径为３.６米的半圆形隧道，
与 它能顺利通过吗？
蚂蚁爬行的最短路程是 15厘米.
青岛市）如图1，长方体 的底面边长分别为1cm 和 3cm，高为6cm.如果用一根
细线从点A开始经过4个侧面 缠绕一圈到达点B，那么所
用细线最短需要＿＿cm；
如果从点A开始经过4个侧 面缠绕n圈到达点B，那么所
用细线最短需要＿＿＿ cm.
解：如图2，依题意，得从点 A开
B
高等于12厘米,底
面半径等于3厘米,
我怎 么走
在圆柱下底面上的
会最 近呢 ?
A点有一只蚂蚁,它
想从点A爬到点B ,
蚂蚁沿着圆柱侧面
A
爬行的最短路程是
多少? (π的值取3)
B
9cm B
高 12cm
A
A 长18cm (π的值取3)
∵ AB2=92+122=81+144=225= 152 ∴ AB=15(cm)
A′
C
M
D
A B
您们能否利用上面的知识求出代数式 x2 +4 ? (12? x)2 ? 9 的最小值吗
如图，有两棵树，一棵高 8m，另一棵高 2m，
两树相距 8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一
棵树的树梢，至少飞了
（）
A.7m
B.8m
C.9m
A
D.10m
8m
C
B
2m
8m
帮一帮农民
如图所示，要修一个种植蔬菜的育苗大棚， 棚宽a=2m ，高 b=1.5m ，长 d=12m ，则修 盖在顶上的塑料薄膜需要的面积为多少?
复习
1.勾股定理 〈注意〉运用勾股定理
必须满足前提条件：在
直角三角形中.同时还
a
c
要明确直角三角形的直 角边与斜边.
b
a2 +b 2 =c 2
2.日常生活中常见的垂直关系： 直立的树杆、旗杆与地面; 水平方向与竖直方向; 东西方向与南北方向; 圆柱体、长方体的高与底面， 等等.
一 回顾交流
1 已知直角三角形ABC的三边为a,b,c ， ∠C＝ 90° ，则 a,b,c 三者之间的关系 是 a2 ? b2 ? c2 。
AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A
沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m
吗？
A
解：在Rt△ABC中，
D
∵∠ACB=90°
∴ AC2+ BC2＝AB2
2.42+ BC2＝2.52 ∴BC＝0.7m 由题意得：DE＝AB＝2.5m
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
C
B
E
在Rt△DCE中，
2 矩形的一边长是5，对角线是13，则它
的面积是 60
。
二.y复=0习面积法证明勾股定理
已知 S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
在直线l上依次摆放着七个正方形（如
图）．已知斜放置的三个正方形的 面积分别是1、2、3，正放置的四个 正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4， 则S1＋S2＋S3＋S4=_____．