第一讲 微分方程模型及案例分析

（1.4）可改写成模程：时 对师型r据马得(原，N实尔到我则)际是的萨们。背未就斯工不景知模是程妨，函型马师采它数的尔们用无，最萨一在法但斯简下建用根模单立工的型改。
物学（家1弗.4）赫被斯dd称N特t 为（LVkoe(gKr实是his进u际采tilN就cs问 用模t)）是N拟型题 尽首引合或的 可先进生方数 能提一物法学 简出总次来模 单的数项求。型 的（增（一1时 方。长.竞5次， 法）的争项总 。统系项计数）筹是算负律的，，是因由为荷当兰种数群学数生
2009年7月13日
Chen Yiping
例2 经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术
• 建立产值与资金、劳动力之间的关系
• 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大
• 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
产值
资金 K(t) 劳动力 L(t)
Q f0Lg( y) g( y) y
dQ dt
f0
Lg(
y)
dy dt
f
0
g
(
y)
dL dt
f0Ly 2 1[ f0 (1 ) y1 ]
dQ dt
0
1
K 0 / K0
e(1 )t
1
1
( A)
0 A成立
0
当t
1
(1 )
ln(1 )(1
大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效
果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛
有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天
230.9%的速率增长，此后增长速度不断
减慢，到第五天达到最大量375个，实验
数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的
Logistic曲线：
N
(t)
1
375 74e2.309t
几乎完全吻合，见图
2009年7月13日
来自百度文库
Chen Yiping
Malthus模型和Logistic模型的总结
☆ Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（1.3）所作的 模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，r 被称为该种群的内禀增长率。后一模型则假设环境只能供 养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。
dt
• 劳动力相对增长率为常数
dL L
dt
L(t) L0et
Q f0Lg( y) g( y) y
dK dt
f0 Ly
y K , K Ly L
dK L dy Ly
dt dt
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Chen Yiping
dK dt
f0 Ly
dK L dy Ly
dt dt
dy y
dt
K w L 1 r
w , r ,
K/L
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Chen Yiping
3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型)
要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件
模型 • 投资增长率与产值成正比 假设 (用一定比例扩大再生产)
dK Q, 0
03经济增长的条件dtdyyfdtdz10chenyiping2009年7月13日3问题?描述传染病的传播过程?分析受感染人数的变化规律?预报传染病高潮到来的时刻?预防传染病蔓延的手段?按照传播过程的一般规律用机理分析方法建立模型chenyiping2009年7月13日已感染人数病人it?每个病人每天有效接触足以使人致病人数为idi模型1假设ttittti若有效接触的是病人则不能使病人数增加必须区分已感染者病人和未感染者健康人建模00iiidtitteiti0
（1.6）
易见：
N(0)=N0
，lim t
N
(t
)
K
N(t)的图形请看图
2009年7月13日
Chen Yiping
模型检验
用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945 年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验， 数学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履 虫实验，实验结果都和Logistic曲线十分吻合。
2009年7月13日
Chen Yiping
☆ 常微分方程模型实例 例1 人口模型——Malthus模型与Logistic模型
为了保持自然资源的合理开发与利用，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。下面以 单种群增长模型为例，以简略分析一下这方面的问题。
种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大， 世代交迭,为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续 变量,由此引起的误差将是十分微小的。
z Q / L f0g( y) g(y) y , 0 1
Q f0L(K / L)
g(y)
Q(K, L) f0K L1 Douglas生产函数
Q , Q 0 K L
2Q , 2Q 0 K 2 L2
含义？
0
y
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Chen Yiping
1. Douglas生产函数
Q(K, L) f0 K L1
f 0y
Bernoulli方程
1
y(t)
f0
( y1 0
f0
)e (1 ) t
1
y0
K0
/ L0 , Q0
f
0
K 0
L1 0
,
K 0
Q0
y 1 0
f 0
K 0
K 0
1
y (t )
f0
[1 (1
K0 K
0
)e (1
) t
]
1
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3) 经济增长的条件 产值Q(t)增长 dQ/dt > 0
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）
资金来自贷款，利率 r 劳动力付工资 w
资金和劳动力创造的效益 S Q rK wL
求资金与劳动力的分配比例K/L(每个 劳动力占有的资金) ，使效益S最大
S 0, S 0
K
L
KQ K
,
LQ L
1
Q
Q
QK r QL w QK L QL K 1
它等应原当因与，人就口可数能量发有生关生3.5 x。10存11 竞争等马尔现萨斯模型人口预测
象。
3
2.5
几何级数增长
2
N/人
1.5
1
0.5
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0 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
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模型2 Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N)
（1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验 的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法 不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
2009年7月13日
Chen Yiping
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现 象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其 复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的 现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后 从数学上求解或分析所建方程及其解的性质， 再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、 模拟某些实际现象。
QK ~ 单位资金创造的产值 KQK , LQL 1
QL ~ 单位劳动力创造的产值 Q
Q
KQK LQL Q
~ 资金在产值中的份额 1- ~劳动力在产值中的份额
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数
Q(K, L) f0K L , 0 , 1, f0 0
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Chen Yiping
N er (tt0 ) 0
（1.2）
其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点： 种群数量翻一番所需的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：2N0 N0erT 故 T ln 2
r
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Chen Yiping
模型检预验测
假比如较人历口年数的真人能口保统持计每资3料4.，6年可增发加现一人倍口，增那长么的人实口际数情将况 与 以马几尔何萨级斯数模的型方的式预增报长结。果例基如本，相到符25，10例年如，，人1口96达1年2×世10界14个人， 口 大 数 量 即 而 肩数约量每使到上为每，3海2排46发.洋7成336005年现全二.年6亿增两部层增，所净加M 数生生者变了加人（以增一不物存几成。一口即aM 长l倍t太群空乎陆倍 达3故h.率a，0u大体间完地。3l6马t6不s两×h时的，全，检×模尔u1可者1才各有一每查0型s萨09能模也1）合成限致人1实5斯个7始型几，理员的，也0际模，0终假乎人，之自且只年上型只保设相口到间然按有至只是好持的同增总由资马19有不一9.常人。3长数于源氏6在完平个1数口率增有及模的群善方人，约大限食型2体的英站6为时的物计0总。尺在年2，算的%另人，活，一口人动人人实口范口的际数围数，
数学建模培训
第一讲 微分方程模型及案例分析
2009年7月13日
Chen Yiping
在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一.
☆ 微分方程建模的对象
涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边 际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑” 等词语的确定性
☆ 微连续分问方题程。建模的基本方法
☆ 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得 的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相 符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因， 对模型进行修改。
☆ Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题,只要 这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
可用
dx dt
f
(x0 )(x x0 )
(2) 来代替.
易知 x0也是方程(2)的平衡点.(2)的通解为 x(t) Ce f (x0 )t x0 ,
关于x0是否稳定有以下结论： ①若 f (x0) 0, 则x0是稳定的； ②若 f (x0) 0, 则x0是不稳定的.
2009年7月13日
Chen Yiping
量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。
2009年7月13日
Chen Yiping
对（1.5）分离变量：
1 N
K
1
N
dN
kKdt
两边积分并整理得： N
1
K CekKt
令N(0)=N0，求得：
C K N0 N0
故（1.5）的满足初始条件N(0)=N0的解为：
N (t)
N0
N0K (K N0 )ekKt
Q(t)
技术 f(t) = f0
Q(t) f0F (K (t), L(t)) F为待定函数
2009年7月13日
Chen Yiping
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
静态模型 Q(K, L) f0F(K, L)
每个劳动 力的产值
z
Q L
每个劳动 力的投资
y
K L
模型假设 z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
如果
lim
t
x(t)
x0 ,
lim
t
y(t)
y0 , 则称平衡点P0是稳定的.
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则. 设
f (P0 ) f (P0 )
p
f (P0 x
)
g ( P0 y
)
,
x q
g(P0 )
y g(P0 )
x
y
则当p＞0且q＞0时, 平衡点P0是稳定的； 当p＜0或q＜0时, 平衡点P0是不稳定的.
2009年7月13日
Chen Yiping
☆ 常微分方程平衡点的稳定性及判断方法
设 dx f (x)
(1)
dt
称代数方程 f (x)=0 的实根x = x0为方程(1)的平衡点(或奇 点). 它也是方程(1)的解.
如果
lim
t
x(t)
x0
,则称平衡点x0是稳定的.
由于 f (x) f (x0 )(x x0 ), 在讨论方程(1)的稳定性时,
的K-种N恰此群为时数环量得境的到还上微能界供分为养方K（的程近种：似群地数将量K，看（成1.常5）数指）出，，N种表群示增当长前率的与种两群者数的量乘，
积被成 称正为比统，计正筹好算dd符律Nt 合的统原(r计因为r规。a了(NN律得))最N，出简得一或单到个的d了d有Nt形实实式验际r是(结1意常果义K数N的的)，支N此持（，1这.4）就是（1.5）也
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模型1 马尔萨斯（Malthus）模型
英国人口统计学家马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现， 人口净增长率r基本上是一常数, (r=b-d,b为出生率, d为死亡率), 即：
1 N
dN dt
r
或
dN dt
rN
（1.1）
（1.1）的解为：N (t)
从而有： dN r(N )N
（1.3）
(1.5)式还有另dt 一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限
增恶长 化对的、马种疾群病尔个增萨体多斯，等模当原种因型群，引数出入量 生一过 率次多 将时 降项， 低（由 而竞于 死争人 亡项均 率资 却）源 会，占 提令有 高率。r(的设N)下环=降境r-a及能N环供境养
关于常微分方程组的平衡点及其稳定性, 设
dx dt
f
(x, y),
dy dt
g(x,
y).
(3)
代数方程组
f (x, y) 0,
g
(
x,
y)
0.
的实根x = x0, y = y0称为方程(3)的平衡点, 记作P0 (x0, y0). 它也是方程(3)的解.
2009年7月13日
Chen Yiping