将军饮马问题

将军饮马问题-------------最短路径问题

一、小测

一、

二、将军饮马-----------最短路径问题

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．

有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题就是数学史中著名的“将军饮马问题”．

探索一

如图：在直线l找一点P，使得PA +PB 的和最小？

探索二

如图：在直线l找一点P，使得PA +PB 的和最小？

例1 ：如图，直线l是一条河，P 、Q 是两个村庄．计划在l上的某处修建一个水泵站M，向P、Q两地供水．现有如下四种铺设方案(图中实线表示铺设的管道)，则所需管道最短的是( )

例2：如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )

例3 如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为( )

练一练：如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，E为AC的中点，在AD上是否存在一点Q，使CQ+EQ最小，如果存在，写出作图思路，画出点Q的位置，并求出这个最小值；如果不存在，说明理由．

例4 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，作AD⊥BC于点D，1，点E为AC边上的中点，点P为BC上一动点，

AD=AB

2

则PA+PE的最小值为_________

检测：

如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN 上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=( )