安徽省屯溪一中高三数学第一次月考试题 理 新人教A版

（理 科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知{}
{}
1,0,2,sin ,P Q y y R θθ=-==∈，则=P
Q （ ）.
A.∅
B. {}0
C. {}1,0-
D. {}
1,0,2- 2.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）. A. x x f -=
)( B. x
x f 1)(=
C.x
x x f 22)(-=- D. x x f tan )(-= 3．下列说法错误的是（ ）
A ．若命题2
:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2
:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠； B ．“1
sin 2
θ=
”是“30θ=”的充分不必要条件； C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”；
D ．已知1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2
>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题.
4. 设3
.054
12
1
log ,9.0,5.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）.
A. b c a >>
B. b a c >>
C. c b a >>
D. c a b >> 5.
函
数
lg x y x
=
的图象大致是（ ）.
6. 在极坐标系中，点 (,
)π
23
到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（ ）.
32
19
π+
2
49
π+
7. 过点（0，1）引x 2
+y 2
－4x +3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为（ ）.
A ．
3
2
B ．31
C ．
54 D ． 5
3 8. 函数()sin()(,0)4
f x x x R π
ωω=+
∈>的最小正周期为π，
为了得到函数()f x 的图象，只要将sin 2y x =的图象（ ）.
A ．向左平移
8π个单位长度 B ．向右平移8π
个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4
π
个单位长度
9. 已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ＋1）＝－f （x ）。

当x ∈［0,1］时，f （x ）＝
1
2
－x ，若g （x ）＝f （x ）－m （x ＋1）在区间（－1,2］有3个零点，则实数m 的取值范围是（ ）. A.（－
14，16） B.（－14，16］ C.11[,]64- D.11
(,)64
- 10. 已知函数()|lg |f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22
a b a b
+-的最小值等于（ ）.
A
． B
．2 D
．第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知函数2211()1
x x f x x ax x ⎧+<⎪
=⎨⎪+≥⎩，若4)]0([2+=a f f ，则实数a 等于 ．
12. 曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是 ．
13．某出租车公司规定乘车收费标准如下：3 km 以内为起步价8元(即行程不超过3 km ，一
律收费8元)；若超过3 km ，除起步价外，超过的部分再按1.5元/km 计价；若司机再与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱．已知该乘客下车时乘车里程数为7.4 km ，则该乘客应付的车费为________．
14. 在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆为参数）θθ
θ(sin 3cos 2⎩⎨
⎧==y x 的右焦点，且与直线
423x t
y t =-⎧⎨
=-⎩
（t 为参数）平行的直线截椭圆所得弦长为 ． 15.下列命题： ①函数1
1
+-=
x x y 的单调区间是),1()1,(+∞---∞ . ②函数()
()21f x x x x =⋅+--有2个零点.
③已知函数1)(+-=mx e x f x
的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线x y 2
1
=
垂直的切线，则实数m 的取值范围是2>m .
④若函数⎩⎨
⎧≥<+-=)1(
log )1(4)13()(x x x a x a x f a 对任意的21x x ≠都有,0)
()(1212<--x x x f x f 则实
数a 的取值范围是（-
1,7
1
]. 其中正确命题的序号为_________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，本大题75分. 16.（本小题12分）
已知全集U=R ，非空集合{
2
3
x A x x -=-＜}0，{()()22B x x a x a =---＜}0. （1）当1
2
a =
时，求()U C B A ⋂； （2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.
17．（本小题12分）设函数()sin cos f x x x =+，()()()()2
'g x f x f x f x =⋅+⎡⎤⎣⎦ （1）求()g x 的周期和对称中心； （2）求()g x 在]4
,4[π
π-上值域.
18. （本小题12分）已知函数b ax ax x g ++-=12)(2
（0>a ）在区间]3,0[上有最大值4和最小值1．设x
x g x f )
()(=
， (1）求a 、b 的值；
（2）若不等式02)2(≥⋅-x
x
k f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围.
19. （本小题12分）如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =1，
AD =3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.
（1）证明：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF;
（2）当BE 等于何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45°.
20. （本小题13分）已知函数.),1()(R x x a e x f x
∈--= （1）若实数,0>a 求函数)(x f 在),0(+∞上的极值；
（2）记函数)2()(x f x g =，设函数)(x g y =的图像C 与y 轴交于P 点，曲线C 在P 点处的切线与两坐标轴所围成图形的面积为).(a S 则当1>a 时，求)(a S 的最小值.
21. （本小题14分） 已知函数x x f ln )(=，若)(22)()(R b b
x x x f x g ∈--++=
（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线方程；
（2）若函数()g x 在区间1
[,]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围；
（3）当n
n
m n f n m f n m 2)2()(0-<-+<<时，求证：.
2013-2014学年度屯溪一中高三第一次月考数学试题
（理科参考答案）
一、选择题： BDD 6.BDABA 二．填空题： 11.0或2 12．
3
1 13． 15元 14、
4
15 15.②③
三、解答题：
16.已知全集U=R ，非空集合{
2
3
x A x x -=-＜}0，{()()22B x x a x a =---＜}0. （1）当1
2
a =
时，求()U C B A ⋂； （2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.
17．设函数()sin cos f x x x =+，()()()()2
'g x f x f x f x =⋅+⎡⎤⎣⎦ （1）求()g x 的周期和对称中心； （2）求()g x 在]4
,
4[π
π-
上值域。

17解：（1）
，
的周期
由Z k k x ∈=+
,4
2ππ
得 Z k k x ∈+
-
=,2
8
π
π
所以)(x g 的对称中心为Z k k ∈+
-
),1,2
8
(π
π
（2）因为]4,4[π
π-
∈x ，所以]4
3,4[42π
ππ-∈+x ，]1,22[)42sin(-
∈+πx 所以)(x g ]12,0[+∈
18.已知函数b ax ax x g ++-=12)(2
（0>a ）在区间]3,0[上有最大值4和最小值1．设
x
x g x f )
()(=
． (1）求a 、b 的值；
（2）若不等式02)2(≥⋅-x
x k f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围.
解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2
，
因为0>a ，对称轴为1=x ，所以)(x g 在区间]3,0[上是先减后增，故⎩
⎨
⎧==4)3(1
)1(g g ，解得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==4
343
b a ． （2）由（1）可得x
x x x x
g f 247
232432
)2()2(⋅+-⋅== ，
所以02)2(≥⋅-x
x k f 在]1,1[-∈x 上有解，可化为
022
4723243≥⋅-⋅+-⋅x x x k 在]1,1[-∈x 上有解。

即max 2
])2
1(47212343
[x x k ⋅+⋅-≤ 令x t 21=
，因]1,1[-∈x ，故⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,21t ， 记432347)(2+-=
t t t h ，对称轴为：73=t ，因为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈1,21t ，)(t h 单调递增， 故当2=t 时，)(t h 最大值为4
19
所以k 的取值范围是≤
k 419
． 19.如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面
ABCD ，PA =AB =1，AD =3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.
（1）证明：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF;
（2）当BE 等于何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45°
解：(1)
则P （0，0，1），B （0，1，0），
)0,0,3(),21
,21,0(D F 设)0,1,(,x E x BE 则=
0)2
1
,21,0()1,1,(=⋅-=⋅x AF PE ∴AF ⊥PE
(2)
20.已知函数.),1()(R x x a e x f x
∈--=
（1）若实数,0>a 求函数)(x f 在),0(+∞上的极值；
（2）记函数)2()(x f x g =，设函数)(x g y =的图像C 与y 轴交于P 点，曲线C 在P 点处的切线与两坐标轴所围成图形的面积为).(a S 则当1>a 时，求)(a S 的最小值。

解：（1）a e x f x
-=)('
当0>a 时，由a x a e x ln 0==-得
若10≤<a ，则0ln ≤a ，所以），在（∞+≥00)('x f 恒成立， 所以），在（∞+0)(x f 单调递增，无极值。

若1>a ，则)(,0)('ln 0x f x f a x <∈
）时，，（单调递减； )(,0)(',ln x f x f a x >+∞∈）时，（单调递增。

所以)(ln x f a x 时，=有极小值a a a a a a f ln )1(ln )(ln -=--=。

（2）)2()(x f x g ==).12(2--x a e
x
令,0=x 得a g +=1)0(，即)1,0(a P +
P 点处切线斜率：a g k 22)0('-==
P 点处切线方程：x a a y )22()1(-=+-
令,0=x 得a y +=1，令,0=y 得a
a
x 221---=
所以)
1(4)1(|22|2)1(|221||1|21)(2
2-+=-+=---+⋅=a a a a a a a a S
令01,1>>-=t a a t 得由
2)44
2(41)44(41444)(2=+⋅≥++=++==t
t t t t t t t S
当且仅当32,0,,4
===>=
a t t t
t ”，此时时取“即又 21.已知函数x x f ln )(=，若)(22)()(R b b
x x x f x g ∈--++=
（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线方程；
（2）若函数()g x 在区间1
[,]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围. （3）当n
n
m n f n m f n m 2)2()(0-<-+<<时，求证： 21.解: (1)因为0)1(,1)1('===f f k ，
所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线方程为1-=x y （2）)(x g =b x x
x --++
22
ln ，(x>0) )(x g '=
2
22
x x x -+，由)(x g '>0得x>1, 由)(x g '<0得0<x<1. 所以)(x g 的单调递增区间是（1，+∞）,单调递减区间（0, 1） x=1时，)(x g 取得极小值)1(g .
（3）当n
n
m n f n m f n m 2)2()(0-<-+<<时，要证 即证：n
n
m n n m 2)2ln()ln(-<-+ 即证：12)2ln(
-+<+n
n
m n n m 构造函数：)1,0(1ln )(∈+-=x x x x h
当
)1,0(∈x 时，,011
)('>-=
x
x h 所以）单调递增，
在（10)(x h ， 又120<+<n n m ，所以)1()2(h n n m h <+ 即12)2ln(-+<+n
n m n n m
所以n
n
m n f n m f 2)2()(-<-+。