哈尔滨市第九中学2022-2023学年高一上数学期末学业质量监测试题含解析
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A.140B.143
C.152D.156
9．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝ ；则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )
A.②①③④B.②③①④
C.④①③②D.④③①②
10．已知 ，则 （）.
A. B.
C. D.
11．已知空间直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点为 ，则 点的坐标为
【详解】∵ 为钝角，且 ，
∴ ，
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6、C
【解析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．
【详解】设底面半径为r，则 ，所以 .
所以圆锥 高 .
所以体积 .
A. B.1
C. D.2
5．已知 为钝角，且 ，则 （）
A. B.
C. D.
6．半径为 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）
A. B.
C. D.
7．已知 ，若 ，则
A.1B.2
C.3D.4
8．有位同学家开了个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到一天所卖的热饮杯数(y)与当天气温(x℃)之间的线性关系，其回归方程为 ＝－2.35x＋147.77．如果某天气温为2℃，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是
故选：A.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、 ##
【解析】由 可得 时，函数 取最小值，由此可求 .
【详解】 ，其中 ， ．因为 ，所以 ， ，解得 ， ，则
故答案为： .
14、
【解析】根据二次函数的性质，结合给定的区间求最大值即可.
【详解】由 ，则开口向上且对称轴为 ，又 ，
∴ ， ，故函数最大值为 .
22．在平面直角坐标系中，已知圆心 在直线 上的圆 经过点 ，但不经过坐标原点，并且直线 与圆 相交所得的弦长为4.
（1）求圆 的一般方程；
（2）若从点 发出的光线经过 轴反射，反射光线刚好通过圆 的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、A
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
3、C
【解析】转化为一元二次方程 两根问题，用韦达定理求出 ，进而求出答案.
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知函数 的图象的对称轴为直线 ，则（）
A. B.
C. D.
2．已知函数 ，函数 ，若 有两个零点，则m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知关于 的不等式 的解集是 ，则 的值是（）
A. B.2
C.22D.
4．已知函数 ，将 图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，若对任意 ，都有 成立，则 的值为
2、A
【解析】
存在两个零点，等价于 与 的图像有两个交点，数形结合求解.
【详解】
存在两个零点，等价于 与 的图像有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图像：
由图可知，当直线在 处的函数值小于等于1，即可保证图像有两个交点，
故： ，解得：
故选：A.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
【解析】根据二次函数的图像的开口向上，对称轴为 ，可得 ，且函数在 上递增，再根据函数的对称性以及单调性即可求解.
【详解】二次函数的图像的开口向上，对称轴为 ，
且函数在 上递增，
根据二次函数的对称性可知 ，
又 ，所以 ，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的单调性以及对称性比较函数值的大小，属于基础题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍；
(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.
18．如图，在直三棱柱 中，底面 为等边三角形， .
（Ⅰ）求三棱锥 的体积；
（Ⅱ）在线段 上寻找一点 ，使得 ，请说明作法和理由.
19．已知 的部分图象如图.
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在 上的单调增区间.
20．设函数 .
（1）若函数 的图象C过点 ，直线 与图象C交于A，B两点，且 ，求a，b；
（2）当 ， 时，根据定义证明函数 在区间 上单调递增.
21．已知函数
（1）求函数 的最小正周期、单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值.
试题解析：
(1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－ x＋ ，
所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－ ，
则所求直线的斜率k＝2×(－ )＝－
又直线经过点(－1，－3)，
因此所求直线的方程为y＋3＝－ (x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，
因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋ ＋|a|＝12，
【解析】（1）根据余弦函数的图象与性质，求出f（x）的最小正周期和单调增、减区间；
（2）求出x∈[ ， ]时2x 的取值范围，从而求得f（x）的最大最小值
【详解】（1）函数f（x） cos（2x ）中，它的最小正周期为T π，
令﹣π+2kπ≤2x 2kπ，k∈Z，
解得 kπ≤x kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间为[ kπ， kπ]，k∈Z；
11、C
【解析】∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z），
∴点 关于z轴的对称点的坐标为：
故选：C
12、A
【解析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得 ， ，进而结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由 ，可得 ， ，
由换底公式得 ， ，
所以 ，
又因为 ，可得
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）3x＋4y＋15＝0 （2）4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.
【解析】根据直线经过点A，再根据斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率 2倍求出斜率的值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；直线经过点M（0，4），说明直线在y轴的截距为4，可设直线 在x轴的截距为a，利用三角形周长为12列方程求出a ,利用直线方程的截距式写出直线的方程，然后化为一般方程.
18、 (1) (2)见解析
【解析】（1）取BC中点E连结AE，三棱锥C1﹣CB1A的体积 ，由此能求出结果．（2）在矩形BB1C1C中，连结EC1，推导出Rt△C1CE∽Rt△CBF，从而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得 ，连结CF，CF即为所求直线
解析：（1）取 中点 连结 .在等边三角形 中， ，
解得a＝±3，
所以所求直线的方程为 或 ，
即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.
【点睛】当直线经过点A，并给出斜率的条件时，根据斜率与已知直线的斜率关系求出斜率值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；当涉及到直线与梁坐标轴所围成的三角形的周长和面积时，一般利用直线方程的截距式解决问题较方便一些，但使用点斜式也好，截距式也好，它们都有不足之处，点斜式只能表达斜率存在的直线，截距式只能表达截距存在而且不为零的直线，因此使用时要注意补充答案.
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选A
【点睛】本题考查运用奇函数的性质求函数值，解题的关键是根据题意构造函数 ，体现了转化思想在解题中的应用，同时也考查观察、构造的能力，属于基础题
8、B
【解析】 一个热饮杯数与当天气温之际的线性关系，其回归方程
某天气温为 时，即
则该小卖部大约能卖出热饮的线性回归方程的应用，即根据所给的或者是做出的线性回归方程，预报 的值，这是一些解答题
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
令2kπ≤2x π+2kπ，k∈Z，
解得 kπ≤x kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调减区间为[ kπ， kπ]，k∈Z；
（2）x∈[ ， ]时， 2x≤π，所以 2x ；
令2x ，解得x ，此时f（x）取得最小值为f（ ） （ ）＝﹣1；
令2x 0，解得x ，此时f（x）取得最大值为f（ ） 1
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记单调区间是关键，是基础题
9、D
【解析】图一与幂函数图像相对应，所以应 ④；图二与反比例函数相对应，所以应为③；图三与指数函数相对应，所以应为①；图四与对数函数图像相对应，所以应为②
所以对应顺序为④③①②，故选D
10、C
【解析】将 分子分母同除以 ，再将 代入求解.
【详解】 .
故选：C
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
故选：C.
【点睛】本题考查圆锥的性质及体积，圆锥问题抓住两个关键点：（1）圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长；（2）圆锥底面半径r、高h、母线l组成直角三角形，满足勾股定理，本题考查这两种关系的应用，属于简单题.
7、A
【解析】构造函数 ，则 为奇函数，根据 可求得 ，进而可得到
【详解】令 ，则 为奇函数，且 ，
又∵ 面 ，∴ .
点睛：这个题目考查的是立体几何中椎体体积的求法，异面直线垂直的证法；对于异面直线的问题，一般是平移到同一平面，再求线线角问题；或者通过证明线面垂直得到线线垂直；对于棱锥体积，可以等体积转化到底面积和高好求的椎体中
19、（1） ；（2） 和 .
【解析】（1）由图知： 且 可求 ，再由 ，结合已知求 ，写出解析式即可.
A. B.
C. D.
12．设 ，且 ，则 （）
A. B.10
C.20D.100
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知函数 对于任意 ，都有 成立，则 ___________
14．函数 的最大值为___________.
15．函数 ，若 为偶函数，则最小的正数 的值为______
16．定义在 上的函数 满足 则 ________.
（2）由正弦函数的单调性，知 上 递增，再结合给定区间，讨论 值确定其增区间.
【详解】（1）由图知： 且 ，
∴ .
又 ，即 ，而 ，
∴ .
综上， .
（2）∵ ，
∴ .
当 时， ；当 时， ，又 ，
∴函数 在 上的单调增区间为 和 .
20、（1） ，
（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得， ，设 ， ，由题意得， 即 的两根为 或 ，结合方程根与系数关系及 ，代入可求；
（2） ，先设 ，利用作差法比较 与 的大小即可判断
【小问1详解】
由题意得， ，
设 ， ，
由题意得， 即 的两根为 或 ，
所以 ，
所以 ，
整理得， ，
解得， 或 （舍 ；
故 ， ；
小问2详解】
证明：当 ， 时， ，
设 ，则 ， ，
，
所以 ，
所以 在区间 ， 上单调递增
21、 (1) ,增区间是 ，减区间是 (2) ，
故答案为： .
15、
【解析】根据三角函数的奇偶性知 应可用诱导公式化为余弦函数
【详解】 ，其为偶函数，则 ， ， ，
其中最小的正数为
故答案
【点睛】本题考查三角函数的奇偶性，解题时直接利用诱导公式分析即可
16、
【解析】 表示周期为3的函数，故 ，故可以得出结果
【详解】解：
表示周期为3的函数，
【点睛】本题考查了函数的周期性，解题的关键是要能根据函数周期性的定义得出函数的周期，从而进行解题
又∵在直三棱柱 中，侧面 面 ，
面 面 ，∴ 面 ，
∴ 为三棱锥 的高，又∵ ，∴ ，
又∵底面 为直角三角形，∴ ，
∴三棱锥 的体积
（2）作法：在 上取 ，使得 ，连结 ， 即为所求直线.
证明：如图，在矩形 中，连结 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ 面 ，而 面 ，∴ ，
又∵ ，∴ 面 ，
【详解】由题意得：2与3是方程 的两个根，故 ， ，所以 .
故选：C
4、D
【解析】利用辅助角公式化简 的解析式，再利用正弦型函数 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 的值
【详解】
，（其中 ， ），
将 图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，得到
，
∴ ， ，解得 ，故选D.
5、C
【解析】先求出 ，再利用和角的余弦公式计算求解.
C.152D.156
9．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝ ；则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )
A.②①③④B.②③①④
C.④①③②D.④③①②
10．已知 ，则 （）.
A. B.
C. D.
11．已知空间直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点为 ，则 点的坐标为
【详解】∵ 为钝角，且 ，
∴ ，
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6、C
【解析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．
【详解】设底面半径为r，则 ，所以 .
所以圆锥 高 .
所以体积 .
A. B.1
C. D.2
5．已知 为钝角，且 ，则 （）
A. B.
C. D.
6．半径为 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）
A. B.
C. D.
7．已知 ，若 ，则
A.1B.2
C.3D.4
8．有位同学家开了个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到一天所卖的热饮杯数(y)与当天气温(x℃)之间的线性关系，其回归方程为 ＝－2.35x＋147.77．如果某天气温为2℃，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是
故选：A.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、 ##
【解析】由 可得 时，函数 取最小值，由此可求 .
【详解】 ，其中 ， ．因为 ，所以 ， ，解得 ， ，则
故答案为： .
14、
【解析】根据二次函数的性质，结合给定的区间求最大值即可.
【详解】由 ，则开口向上且对称轴为 ，又 ，
∴ ， ，故函数最大值为 .
22．在平面直角坐标系中，已知圆心 在直线 上的圆 经过点 ，但不经过坐标原点，并且直线 与圆 相交所得的弦长为4.
（1）求圆 的一般方程；
（2）若从点 发出的光线经过 轴反射，反射光线刚好通过圆 的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、A
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
3、C
【解析】转化为一元二次方程 两根问题，用韦达定理求出 ，进而求出答案.
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知函数 的图象的对称轴为直线 ，则（）
A. B.
C. D.
2．已知函数 ，函数 ，若 有两个零点，则m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知关于 的不等式 的解集是 ，则 的值是（）
A. B.2
C.22D.
4．已知函数 ，将 图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，若对任意 ，都有 成立，则 的值为
2、A
【解析】
存在两个零点，等价于 与 的图像有两个交点，数形结合求解.
【详解】
存在两个零点，等价于 与 的图像有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图像：
由图可知，当直线在 处的函数值小于等于1，即可保证图像有两个交点，
故： ，解得：
故选：A.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
【解析】根据二次函数的图像的开口向上，对称轴为 ，可得 ，且函数在 上递增，再根据函数的对称性以及单调性即可求解.
【详解】二次函数的图像的开口向上，对称轴为 ，
且函数在 上递增，
根据二次函数的对称性可知 ，
又 ，所以 ，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的单调性以及对称性比较函数值的大小，属于基础题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍；
(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.
18．如图，在直三棱柱 中，底面 为等边三角形， .
（Ⅰ）求三棱锥 的体积；
（Ⅱ）在线段 上寻找一点 ，使得 ，请说明作法和理由.
19．已知 的部分图象如图.
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在 上的单调增区间.
20．设函数 .
（1）若函数 的图象C过点 ，直线 与图象C交于A，B两点，且 ，求a，b；
（2）当 ， 时，根据定义证明函数 在区间 上单调递增.
21．已知函数
（1）求函数 的最小正周期、单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值.
试题解析：
(1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－ x＋ ，
所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－ ，
则所求直线的斜率k＝2×(－ )＝－
又直线经过点(－1，－3)，
因此所求直线的方程为y＋3＝－ (x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，
因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋ ＋|a|＝12，
【解析】（1）根据余弦函数的图象与性质，求出f（x）的最小正周期和单调增、减区间；
（2）求出x∈[ ， ]时2x 的取值范围，从而求得f（x）的最大最小值
【详解】（1）函数f（x） cos（2x ）中，它的最小正周期为T π，
令﹣π+2kπ≤2x 2kπ，k∈Z，
解得 kπ≤x kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间为[ kπ， kπ]，k∈Z；
11、C
【解析】∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z），
∴点 关于z轴的对称点的坐标为：
故选：C
12、A
【解析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得 ， ，进而结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由 ，可得 ， ，
由换底公式得 ， ，
所以 ，
又因为 ，可得
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）3x＋4y＋15＝0 （2）4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.
【解析】根据直线经过点A，再根据斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率 2倍求出斜率的值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；直线经过点M（0，4），说明直线在y轴的截距为4，可设直线 在x轴的截距为a，利用三角形周长为12列方程求出a ,利用直线方程的截距式写出直线的方程，然后化为一般方程.
18、 (1) (2)见解析
【解析】（1）取BC中点E连结AE，三棱锥C1﹣CB1A的体积 ，由此能求出结果．（2）在矩形BB1C1C中，连结EC1，推导出Rt△C1CE∽Rt△CBF，从而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得 ，连结CF，CF即为所求直线
解析：（1）取 中点 连结 .在等边三角形 中， ，
解得a＝±3，
所以所求直线的方程为 或 ，
即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.
【点睛】当直线经过点A，并给出斜率的条件时，根据斜率与已知直线的斜率关系求出斜率值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；当涉及到直线与梁坐标轴所围成的三角形的周长和面积时，一般利用直线方程的截距式解决问题较方便一些，但使用点斜式也好，截距式也好，它们都有不足之处，点斜式只能表达斜率存在的直线，截距式只能表达截距存在而且不为零的直线，因此使用时要注意补充答案.
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选A
【点睛】本题考查运用奇函数的性质求函数值，解题的关键是根据题意构造函数 ，体现了转化思想在解题中的应用，同时也考查观察、构造的能力，属于基础题
8、B
【解析】 一个热饮杯数与当天气温之际的线性关系，其回归方程
某天气温为 时，即
则该小卖部大约能卖出热饮的线性回归方程的应用，即根据所给的或者是做出的线性回归方程，预报 的值，这是一些解答题
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
令2kπ≤2x π+2kπ，k∈Z，
解得 kπ≤x kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调减区间为[ kπ， kπ]，k∈Z；
（2）x∈[ ， ]时， 2x≤π，所以 2x ；
令2x ，解得x ，此时f（x）取得最小值为f（ ） （ ）＝﹣1；
令2x 0，解得x ，此时f（x）取得最大值为f（ ） 1
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记单调区间是关键，是基础题
9、D
【解析】图一与幂函数图像相对应，所以应 ④；图二与反比例函数相对应，所以应为③；图三与指数函数相对应，所以应为①；图四与对数函数图像相对应，所以应为②
所以对应顺序为④③①②，故选D
10、C
【解析】将 分子分母同除以 ，再将 代入求解.
【详解】 .
故选：C
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
故选：C.
【点睛】本题考查圆锥的性质及体积，圆锥问题抓住两个关键点：（1）圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长；（2）圆锥底面半径r、高h、母线l组成直角三角形，满足勾股定理，本题考查这两种关系的应用，属于简单题.
7、A
【解析】构造函数 ，则 为奇函数，根据 可求得 ，进而可得到
【详解】令 ，则 为奇函数，且 ，
又∵ 面 ，∴ .
点睛：这个题目考查的是立体几何中椎体体积的求法，异面直线垂直的证法；对于异面直线的问题，一般是平移到同一平面，再求线线角问题；或者通过证明线面垂直得到线线垂直；对于棱锥体积，可以等体积转化到底面积和高好求的椎体中
19、（1） ；（2） 和 .
【解析】（1）由图知： 且 可求 ，再由 ，结合已知求 ，写出解析式即可.
A. B.
C. D.
12．设 ，且 ，则 （）
A. B.10
C.20D.100
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知函数 对于任意 ，都有 成立，则 ___________
14．函数 的最大值为___________.
15．函数 ，若 为偶函数，则最小的正数 的值为______
16．定义在 上的函数 满足 则 ________.
（2）由正弦函数的单调性，知 上 递增，再结合给定区间，讨论 值确定其增区间.
【详解】（1）由图知： 且 ，
∴ .
又 ，即 ，而 ，
∴ .
综上， .
（2）∵ ，
∴ .
当 时， ；当 时， ，又 ，
∴函数 在 上的单调增区间为 和 .
20、（1） ，
（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得， ，设 ， ，由题意得， 即 的两根为 或 ，结合方程根与系数关系及 ，代入可求；
（2） ，先设 ，利用作差法比较 与 的大小即可判断
【小问1详解】
由题意得， ，
设 ， ，
由题意得， 即 的两根为 或 ，
所以 ，
所以 ，
整理得， ，
解得， 或 （舍 ；
故 ， ；
小问2详解】
证明：当 ， 时， ，
设 ，则 ， ，
，
所以 ，
所以 在区间 ， 上单调递增
21、 (1) ,增区间是 ，减区间是 (2) ，
故答案为： .
15、
【解析】根据三角函数的奇偶性知 应可用诱导公式化为余弦函数
【详解】 ，其为偶函数，则 ， ， ，
其中最小的正数为
故答案
【点睛】本题考查三角函数的奇偶性，解题时直接利用诱导公式分析即可
16、
【解析】 表示周期为3的函数，故 ，故可以得出结果
【详解】解：
表示周期为3的函数，
【点睛】本题考查了函数的周期性，解题的关键是要能根据函数周期性的定义得出函数的周期，从而进行解题
又∵在直三棱柱 中，侧面 面 ，
面 面 ，∴ 面 ，
∴ 为三棱锥 的高，又∵ ，∴ ，
又∵底面 为直角三角形，∴ ，
∴三棱锥 的体积
（2）作法：在 上取 ，使得 ，连结 ， 即为所求直线.
证明：如图，在矩形 中，连结 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ 面 ，而 面 ，∴ ，
又∵ ，∴ 面 ，
【详解】由题意得：2与3是方程 的两个根，故 ， ，所以 .
故选：C
4、D
【解析】利用辅助角公式化简 的解析式，再利用正弦型函数 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 的值
【详解】
，（其中 ， ），
将 图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，得到
，
∴ ， ，解得 ，故选D.
5、C
【解析】先求出 ，再利用和角的余弦公式计算求解.