中考数学综合题专题复习【反比例函数】专题解析附详细答案

中考数学综合题专题复习【反比例函数】专题解析附详细答案

一、反比例函数

1．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1， y1），B（x2， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点

C．

（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．

（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．

（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．

【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3，

∴y= ，

∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，

∴y2= =1，

∴B（3，1），

∵直线y=ax+b经过A、B两点，

∴解得，

∴直线为y=﹣x+4，

令y=0，则x=4，

∴P（4，O）

（2）解：如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG 交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，

∴= ，= = ，

∵b=y1+1，AB=BP，

∴= ，

= = ，

∴B（，y1）

∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，

∴x1•y1= • y1，

解得x1=2，

代入= ，解得y1=2，

∴A（2，2），B（4，1）

（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1， x2， x0之间的关系为x1+x2=x0

【解析】【分析】（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y

轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出 = ， = = ，

根据题意得出 = ， = = ，从而求得B（， y1），然后根据k=xy得

出x1•y1= • y1，求得x1=2，代入 = ，解得y1=2，即可求得A、B的坐标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0．

2．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．

（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；

（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；

（3）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点，请说明理由．

【答案】（1）解：由题意知，点A（a，），B（b，﹣），

∵AB∥x轴，

∴，

∴a=﹣b；

∴AB=a﹣b=2a，

∴S△OAB= •2a• =3

（2）解：由（1）知，点A（a，），B（b，﹣），

∴OA2=a2+（）2， OB2=b2+（﹣）2，

∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，

∴OA=OB，

∴OA2=OB2，

∴a2+（）2=b2+（﹣）2，

∴a2﹣b2=（）2﹣（）2，

∴（a+b）（a﹣b）=（ + ）（﹣）= ，

∵a＞0，b＜0，

∴ab＜0，a﹣b≠0，

∵a+b≠0，

∴1= ，

∴ab=3（舍）或ab=﹣3，

即：ab的值为﹣3；

（3）解：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．

理由：如图，

∵a≥3，AC=2，

∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴，

∴直线CD一定与函数y1= （x＞0）的图象有交点，

∵四边形ACDE是边长为2的正方形，且点D在点A（a，）的左上方，

∴C（a﹣2，），

∴D（a﹣2， +2），

设直线CD与函数y1= （x＞0）相交于点F，

∴F（a﹣2，），

∴FC= ﹣ = ，

∴2﹣FC=2﹣ = ，

∵a≥3，

∴a﹣2＞0，a﹣3≥0，

∴≥0，

∴2﹣FC≥0，

∴FC≤2，

∴点F在线段CD上，

即：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．

【解析】【分析】（1）先判断出a=﹣b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面积公式即可

得出结论；（2）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出

直线CD和函数y1= （x＞0）必有交点，根据点A的坐标确定出点C，F的坐标，进而得出FC，再判断FC与2的大小即可．

3．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；

（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.

【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）

∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。∴A（﹣1，﹣2）。

又∵点A在上，∴，解得k=2。，

∴反比例函数的解析式为

（2）解：观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1。

（3）解：四边形OABC是菱形。证明如下：

∵A（﹣1，﹣2），∴。

由题意知：CB∥OA且CB= ，∴CB=OA。

∴四边形OABC是平行四边形。

∵C（2，n）在上，∴。∴C（2，1）。

∴。∴OC=OA。

∴平行四边形OABC是菱形。