中考数学锐角三角函数与圆综合训练题

中考数学锐角三角函数与圆综合训练题
例题一 202X •X 〕如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，∠CDA=∠CBD ．
〔1〕求证：CD 2=CA •CB ；〔2〕求证：CD 是⊙O 的切线；〔3〕过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，假设BC=12，tan ∠CDA=，求BE 的长． 例题二〔202X •X 〕如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心，CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且
∠B=∠CAE ，EF ：FD=4：3．〔1〕求证：点F 是AD 的中点；〔2〕求cos ∠AED 的值；〔3〕如果BD=10，求半径CD 的长．
例题四〔202X•X 〕如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，连接
AD ，BD ，CD ．〔1〕求证：AD=CD ；〔2〕假设AB=10，cos ∠ABC=，求tan ∠DBC 的值．
综合练习1、如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E.
2、如图，AB 是⊙0的直径，C 是⊙0上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作直线MN
的垂线，垂足为点D ，且∠BAC=∠DAC ．〔1〕猜测直线MN 与⊙0的位置关系，并说明理由；〔2〕假设CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．
3、已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O
⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．〔1〕求证：BE 与O ⊙相切；〔2〕 连结AD 并延长交BE 于
点F ，假设9OB =，2
sin 3
ABC ∠=
，求BF 的长． 4、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ， AB ⊥CD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ． 〔1〕求证：CD ∥ BF ； 〔2〕假设⊙O 的半径为5， cos ∠BCD=
5
4
，求线段AD 的长． 5、如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，
AF ．〔1〕求证：直线PA 为⊙O 的切线；〔2〕试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等
量关系，并加以证明；〔3〕假设BC ＝6，tan ∠F ＝
1
2
，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长． 6、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过
A
C
B
D E
F O P
CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ．
〔1〕求证：KE=GE ；〔2〕假设2
KG =KD ·GE ，试推断AC 与EF 的位置关系， 并说 明理由；〔3〕 在〔2〕的条件下，假设sinE=
3
5
，AK=23，求FG 的长． 7、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。

〔1〕求证：BC ⊙O 是的切线；〔2〕连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数；〔3〕如果CD=15，BE=10，sinA=13
5
，求⊙O 的半径。

8、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点0，过点O 作 OE ⊥AC 交AB 于E,假设BC=4，△AOE 的面积为5，求sin ∠BOE 的值．
参考答案： 1
【
3、【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数
【答案】
〔1〕证明：连结OC ∵OD ⊥BC 所以∠EOC =∠EOB 在△EOC 和△EOB 中 ∴△EOC ≌△EOB 〔SAS 〕
∴∠OBE =∠OCE =90° ∴BE 与⊙O 相切 〔2〕解：过点D 作DH ⊥AB
∵△ODH ∽△OBD
∴OD ：OB =OH ：OD =DH ：BD 又∵sin ∠ABC =2
3
∴OD =6
∴OH =4，OH =5，DH =25 又∵△ADH ∽△AFB ∴AH ：AB =DH ：PB 13:18=25:FB ∴FB =
365
13
【点评】〔1〕利用全等三角形求出角度为90°，即得到相切的结论。

〔2〕利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。

4 分析】〔1〕由BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径，依据切线的性质，可得到BF ⊥AB ，然后利用平行线的判定得出CD ∥BF
〔2〕由AB 是圆O 的直径，得到∠ADB=90º ，由圆周角定理得出∠BAD=∠BCD ，再依据三角函数cos ∠BAD= cos ∠BCD=5
4=AD
AB 即可求出AD 的长
【解析】〔1〕证明：∵BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径
∴BF ⊥AB ∵CD ⊥AB ∴CD ∥BF
〔2〕解：∵AB 是圆O 的直径
∴∠ADB=90º ∵圆O 的半径5 ∴AB=10 ∵∠BAD=∠BCD ∴
cos ∠BAD= cos ∠BCD=
45=AD
AB
∴105
4
cos ⨯=
⋅∠=AB BAD AD =8 D C
O
B
A
D
C
O B
A
H
∴AD=8
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。

圆是一个特别的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。

圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。

因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。

在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用
题、阅读理解题、探究存在性问题仍是中考命题的热点.
5【解析】〔1〕要证PA是⊙O的切线，只要连接OB，再证∠PAO＝∠PBO＝90°即可．〔2〕OD，OP分别是Rt△OAD，Rt△OPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2＝OD·OP，再将EF＝2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系．〔3〕利用tan∠F＝1
2
，得出AD，OD之间的关系，
据此设未知数后，依据AD＝BD，OD＝1
2
BC＝3，AO＝OC＝OF＝FD－OF，将AB，AC也表达成含未知数的
代数式，再在Rt△ABC中运用勾股定理构建方程求解．【答案】解：〔1〕证明：如下列图，连接OB，
∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°．
∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB．又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∴直线PA为⊙O的切线．
〔2〕EF2＝4OD·OP．
证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，
∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°．
∴∠OAD＝∠OPA．∴△OAD∽△OPA．∴OD
OA
＝
OA
OP
，即OA2＝OD·OP．
又∵EF＝2OA，∴EF2＝4OD·OP．
〔3〕∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝1
2
BC＝3．
设AD＝x，∵tan∠F＝1
2
，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x－3)2＝x2＋32．解之得，x1＝4，x2＝0〔不合题意，舍去〕．
AD＝4，OA＝2x－3＝5．
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．
而AC＝2OA＝10，BC＝6，
∴cos∠ACB＝
6
10
＝
3
5
．
P
∵OA 2＝OD·OP ， ∴3(PE ＋5)＝25． ∴PE ＝
103
． 【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，并富有探究性．要证某线是圆的切线，假设已知此线过圆上某点，连接圆心与这点〔即为半径〕，再证垂直即可；假设此线与圆的切点未知，可以过圆心作这条直线的垂线段〔即为垂直〕，再证半径即可．其它，与圆有关的探究、计算问题，多与相似三角形和勾股定理有关，上来从这方面着手分析思考，有利于思路的快速翻开． 6、解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明∠EGK=∠EKG ，然后依据等角对等边，即可证明第〔1〕小
题；对于第〔2〕小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，依据角的关系可以推断两条直线的位置关系；对于第〔3〕小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG 的长。

答案：〔1〕如下列图，连接OG ，
∵EG 是⊙O 的切线∴OG ⊥GE ∴∠OGK+∠EGK ＝90°∵CD ⊥AB ∴∠OAG+∠AKH ＝90°∵OG=OA ∴∠OGK=∠OAG ∴∠EGK=∠AKH=∠EKG ∴KE=GE ；
〔2〕AC ∥EF 理由如下：
∵2
KG =KD ·GE ，GE=KE ∴KG KE
KD KG
∴△KGD ∽△KGE ∴∠KGD ＝∠E ∠KGD ＝∠C ∴∠E ＝∠C ∴AC ∥EF
〔3〕∵在〔2〕的条件下， ∴AC ∥EF
∴∠CAF ＝∠F ，∠E ＝∠C ∵sinE=35
∴sinC=
35,sinF=45,tanE=tanC=34
连接BG ，过G 作GN ⊥AB 于N ，交⊙O 于Q 则弧BQ=弧BG ∴∠BGN ＝∠BAG 设AH=3k ，则CH=4k
于是BH=221616==33CH k k AH k ，OG=+25=26
BH AH k
∵EG 是切线，CD ⊥AB ∴∠OGF ＝90° ∴∠FOG+∠F=∠E+∠F ∴∠FOG=∠E
∴NG=OGsin ∠FOG=
25365k ⋅=52
k
∴BN=OB-ON=OG-OGcos ∠FOG=25451-=656
k k
⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴BG=22510
+=
6
k NG BN
点评：此题的第〔3〕小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比拟根底，同
学们应争取做对。

7、【解析】〔1〕连接OB ，证OB ⊥BC ，即证∠OBE+∠EBC=90°。

通过OA=OB ，CE=CB ，∠AED=∠BEC ，可将∠OBE 、∠EBC 分别转化为∠A 、∠AED ，结合CD ⊥OA 可证∠OBE+∠EBC=90°；
〔2〕连接OF ，由CD 垂直平分OA 得AF=OF=OA ，再结合圆心角与圆周角关系易求∠ABF 的度数；，∴ 〔3〕作CG ⊥BE 于G ，得∠A=∠ECG ，CG 是BE 垂直平分线，由CD=15，BE=10，sinA=13
5
，可求EG 、CE 、CG 、DE 长度，通过△ADE ∽△CGE 可求AD ，从而计算半径OA 。

【答案】〔1〕证明：连接OB 。

∵OA=OB ，∴∠A=∠OBE 。

∵CE=CB ，∴∠CEB=∠EBC ，∵∠AED =∠EBC ，∴∠AED = ∠EBC ，又∵CD ⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，∴BC ⊙O 是的切线； 〔2〕∵CD 垂直平分OA ，∴OF=AF ，又OA=OF ，∴OA=OF=AF ，∴∠O=60°，∴∠ABF=30°； 〔3〕作CG ⊥BE 于G ，则∠A=∠ECG 。

∵CE=CB ，BD=10，∴EG=BG=5，∵sinECG=sinA=
13
5
，∴CE=13，CG=12.又CD=15，∴DE=2。

∵ADE ∽△CGE ，∴
EG DE CG AD =，即
5
2
12=AD ，∴AD=524，∴OA=548，即⊙O 的半径是548。

【点评】此题将多个知识点结合在一起，问题设计层层递进，梯度鲜亮，是一道中档偏上的题，有肯定区分度．我们必须学会由已知条件寻觅相应的定理、性质的根本图形，以及在不能直接依据已知条件解决问题时，要学会运用转化的思想。

Q
N。