2020年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科)
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|3x−x2>0}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=()
A. {x|−1<x<3}
B. {x|−1<x<0}
C. {x|0<x<1}
D. {x|1<x<3}
+(1−i)2(i为虚数单位)，则|z|=()
2.已知复数z=2
1−i
A. 1
B. √2
C. 2√2
D. 2
3.已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a1=2，a8+a10=28，则S9=()
A. 36
B. 72
C. 144
D. 288
4.函数y=xe x在点(1,e)处的切线方程为()
A. y=2e x
B. y=x−1+e
C. y=−2e x+3e
D. y=2ex−e
5.函数y=e x(x2+2x+1)的图象可能是()
A. B.
C. D.
6.如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，
H是点B在AC上的射影，当C运动时，点H运动的轨迹()
A. 是圆
B. 是椭圆
C. 是抛物线
D. 不是平面图形
7. 甲、乙两人在同一天上午8时至10时随机到达养老院为老人服务，并且工作1小时后离开，则
两人在养老院相遇的概率为( ) A. 34 B. 13 C. 78 D. 35 8. 已知AD 为△ABC 边BC 的中线，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10，则|AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
9. 公元263年，数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，提出
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而
无所失矣”.如图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图，
则其输出的n 的值为(参考数据：√3≈1.73，tan π12≈0.27，tan π
24≈
0.13) A. 6
B. 12
C. 24
D. 48
10. 设点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2
a 2−y 22=1(a >0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线l 与
双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的面积为2√6，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y =±√3x
B. y =±√33x
C. y =±√2x
D. y =±√22
x 11. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是棱CC 1的中点，点A ，B ，D ，M 都在球O 的球面
上，则球O 的表面积为( )
A. 32π
B. 3π
C. 94π
D. 9π
12. 函数f(x)=(x −2)(ax +b)为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则f(2−x)>0的解集为( )
A. {x|−2<x <2}
B. {x|x >2或x <−2}
C. {x|0<x <4}
D. {x|x >4或x <0}
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若(√x +3
x )n 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中常数项为
______．
14.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=2与y轴的交点为M，与抛物线的交点为N，且
4|NF|=5|MN|，则p的值为______．
15.已知函数y=3sin (2x+π
4),x∈[0,π
2
]的单调增区间为[0,m]，则实数m的值为________．
16.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitMandelbrot)在20世纪70年代创立的
一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照下图1的分形规律可得到如图2所示的一个树形图，那么第12行的实心圆点的个数是_____．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3sin A，周长为4(√2+1)，
且sinB+sinC=√2sinA．
(1)求a及cos A的值；
(2)求cos(2A−π
3
)的值．
18.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
(1)求证：AC⊥平面BDEF；
(2)求二面角A−FC−B的余弦值．
(3)求AF与平面BFC所成角的正弦值．
19.某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，
从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
频率分布表
组别分组频数频率
第1组[50,60)80.16
第2组[60,70)a▓
第3组[70,80)200.40
第4组[80,90)▓0.08
第5组[90,100]2b
合计▓▓
(1)写出a，b，x，y的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加
环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；
(3)在(2)的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期
望．
20.已知椭圆E:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1，F2，离心率e=1
2
，过点F1且垂直于x
轴的直线被椭圆E截得的线段长为3．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l过椭圆E的右焦点F2，且与x轴不重合，交椭圆E于M，N两点，求|MN|的取值范
围．
21.已知函数f(x)=ax2+2ln(a−x)(a∈R)，设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l，若l与
直线x−2y+2=0垂直，求a的值．
22. 已知直线l 的参数方程为{x =m −12t y =√32t
(其中t 为参数，m 为常数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l 与曲线C 交于点A ，
B 两点． (1)若|AB|=√152，求实数m 的值； (2)若m =1，点P 坐标为(1,0)，求1|PA|+1|PB|的值．
23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)．
(1)当a =2时，求不等式f(x)>8的解集；
(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，求实数a 的取值范围．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：
本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
解：∵A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<1}，
∴A∩B={x|0<x<1}．
故选：C．
2.答案：B
解析：
通过化简，计算即可．
本题考查求复数的模，注意解题方法的积累，属于基础题．
解：∵z=2
1−i +(1−i)2=2(1+i)
(1−i)(1+i)
−2i=2(1+i)
1−i2
−2i=1−i，
∴|z|=√2．
故选B．
3.答案：B
解析：
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
根据{a n}是等差数列，a8+a10=28，得2a9=28，即a9=14，S9=a1+a9
2
×9可得答案．解：由题意{a n}是等差数列且a8+a10=28，得2a9=28，即a9=14．
∴S9=2+14
2
×9=72，
故选B．
4.答案：D
解析：
本题考查切线方程的求法，考查计算能力．求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
解：函数f(x)=xe x，可得：f′(x)=(1+x)e x，
则f′(1)=2e，f(1)=e；
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y−e=2e(x−1)，
y=2ex−e．
故选D．
5.答案：A
解析：
本题考查了函数图象的识别，考查了函数值的变化趋势，属于基础题．
解：y=e x(x2+2x+1)=e x(x+1)2≥0，故排除B，D，
当x=−1时，y=0，故排除C，
故选A．
6.答案：A
解析：
本题主要考查立体几何中的垂直关系与动点轨迹的交汇，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，难度一般．
由已知证得，，从而得出BH⊥AD,BH⊥HE，即可得出点H的运动轨迹．
解：如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，再过点B作BE⊥AD于E，连接HE，
因为AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD．
又由BD为圆的直径得BC⊥CD，且AB∩BC=B，
所以CD⊥平面ABC，
所以CD⊥BH．
又BH⊥AC，且AC∩CD=C，
所以BH⊥平面ACD，
所以BH⊥AD，BH⊥HE．
所以当点C运动时，点H运动的轨迹是以BE为直径的圆．
故选A．
7.答案：A
解析：
本题考查了几何概型的概率计算，作出图形是解题关键，属于中档题．作出表示两人到达养老院的时间的平面区域，根据面积比得出概率．解：以x，y表示甲，乙两人到达养老院的时间，
若两人相遇，则需满足|x−y|≤1，
作出平面区域如图所示：
则
．
故选：A ．
8.答案：B
解析：解：如图，
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；
∴BC
⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
； ∴100=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2；
∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=68；
又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )； ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=14
×(68−32)=9； ∴|AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3． 故选B ．
可画出图形，对BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的两边平方即可求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=68，而对AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的两边平方，即可求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的值，从而求出|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 考查向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量数量积的运算．
解析：
本题考查了程序框图和循环结构，属于基础题．
模拟循环程序，进行模拟计算，列出循环过程中S和n的数值，若满足判断框的条件，即可结束循环．
解：模拟执行程序，可得：
当n=6时，，输出的S值为2√3≈3.46，不满足判断框条件S<3.2，继续执行循环体；
当n=12时，，不满足判断框条件S<3.2，继续执行循环体；
当n=24时，≈24×0.13=3.12，满足判断框条件S<3.2，退出循环．
所以输出的n的值为24．
故选C．
10.答案：D
解析：
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．设F1(−c,0)，A(−c,y0)，c2=a2+2，A点代入双曲线的方程，解得y0，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．
解：不妨设F1(−c,0)，A(−c,y0)，c2=a2+2，
则c2
a −y02
2
=1，则y02=2⋅c2−a2
a2
=4
a2
，
又S△ABF
2
=2√6，
即为1
2⋅2c⋅|2y0|=4c
a
=2√6，
即为c
a =√6
2
，则b
a
=√c2
a2
−1=√2
2
，
故该双曲线的渐近线方程为y=±√2
2
x.故选：D．
解析：
本题考查三棱锥的外接球的半径与棱长的关系，及球的表面积公式，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
由已知可得线段AM的中点E为球O的球心，在直角三角形ACM中，求得AM，即得球O的半径，利用球的表面积公式可求．
解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱CC1的中点，如图：
∵AB⊥BC,AB⊥BB1，BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，
所以AB⊥平面BCC1B1，
∵BM⊂平面BCC1B1，
∴AB⊥BM，即△ABM为直角三角形，
同理AD⊥DM，△ADM也为直角三角形，
取AM的中点E，则EA=EB=EM=ED，所以点E为球O的球心，
在直角三角形ACM中，AC=√AB2+BC2=√2，CM=1
2
，
∴AM=√AC2+CM2=√2+1
4=3
2
，
则球O的半径R=3
4
，
则球O的表面积为4πR2=4π×9
16=9π
4
．
故选C．
12.答案：D
解析：函数f(x)=ax2+(b−2a)x−2b为偶函数，则b−2a=0，故f(x)=ax2−4a=a(x−2)(x+ 2)，因为函数f(x)在(0,+∞)单调递增，所以a>0.根据二次函数的性质可知，不等式f(2−x)>0的
解集为{x|2−x>2或2−x<−2}={x|x<0或x>4}．
13.答案：135
解析：解：(√x+3
x
)n的展开式中，令x=1，可得各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，
各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为4n
2n
=64，∴n=6，
∴(√x+3
x
)6展开式的展开式的通项公式为：
T r+1=C6r⋅3r⋅x3−3r2．
令3−3
2
r=0，求得r=2，
可得展开式中的常数项等于C62⋅32=135．
故答案为：135．
根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，求得n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．
14.答案：1
解析：
本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
设N(x0,2)，代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得p=1．
解：由题意知M(0,2)，
设N(x0,2)，代入y2=2px(p>0)中得x0=2
p
，
所以|MN|=2
p
，|NF|=
2
p
+p
2
，
因为4|NF|=5|MN|，
所以4(p
2
+2
p
)=5×2
p
，解得p=−1(舍去)或p=1．
故答案为1．
15.答案：π
8
解析：
本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题目．
求出y=3sin(2x+π
4)的单调递增区间，即可得到x∈[0,π
2
]的单调增区间，从而得到m的值．
解：由−π
2+2kπ≤2x+π
4
≤π
2
+2kπ，k∈Z，
得−3π
8+kπ≤x≤π
8
+kπ，k∈Z．
又0≤x≤π
2，所以0≤x≤π
8
，
即函数y=3sin(2x+π
4)，x∈[0,π
2
]的单调增区间为[0,π
8
]．
所以m=π
8
，
故答案为π
8
．
16.答案：89
解析：
本题主要考查了数列的应用，解题的关键构造这样一个数列{a n}表示空间圆点的个数变化规律，a n= a n−1+a n−2，属于中档题．
解：观察可发现如下规律：每行空心圆点个数等于上一行的实心圆点个数；每行实心圆点个数等于上一行所有圆点个数.设a n为第n行所有圆点个数．
∴第n行的空心圆点个数等于第n−1行的实心圆点个数，
也即第n−2行的所有圆点个数a n−2，
第n行的实心圆点个数等于第n−1行的所有圆点个数a n−1，
所以a n=a n−1+a n−2，
故各行中圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......
a11=89，
即第12行中实心圆点的个数是89，
故答案为89．
17.答案：解：(1)∵△ABC的面积为3sinA=1
2
bcsinA，∴可得：bc=6，
∵sinB+sinC=√2sinA，可得：b+c=√2a，
∴由周长为4(√2+1)=√2a+a，解得：a=4，
∴cosA=b2+c2−a2
2bc =(b+c)2−2bc−a2
2bc
=a2−12
12
=1
3
，
(2)∵cosA=1
3
，
∴sinA=√1−cos2A=2√2
3
，
∴sin2A=2sinAcosA=4√2
9，cos2A=2cos2A−1=−7
9
，
∴cos(2A−π
3)=cos2Acosπ
3
+sin2Asinπ
3
=4√6−7
18
．
解析：(1)由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cos A的值．(2)利用同角三角函数基本关系式可求sin A，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.答案：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．
因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，
且O为AC中点．又FA=FC，
所以AC⊥FO.
因为FO∩BD=O，FO,BD⊂平面BDEF，
所以AC⊥平面BDEF．
(2)解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF为等边三角形．
因为O为BD中点，所以FO⊥BD，
又AC⊥平面BDEF，AC⊂平面ABCD，
∴平面BDEF⊥平面ABCD，
又平面BDEF∩平面ABCD=BD，FO⊂平面BDEF，
故F O ⊥平面ABCD ． 又AO,BO ⊂平面ABCD ，
∴AO ⊥FO,BO ⊥FO ，又AO ⊥BO ，
由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．
设AB =2.因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°， 则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3． 所以O(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,1,0), C(−√3,0,0),F(0,0,√3)．
所以 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)． 设平面BFC 的法向量为n
⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以{√3x +√3z =0√3x +y =0，
取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−1)．
因为OA ，OB ，OF 两两垂直，OA ，OF 是平面AFC 内两条相交直线，则OB ⊥平面AFC ， 可知平面AFC 的法向量为v
⃗ =(0,1,0)． 由二面角A −FC −B 是锐二面角，得|cos <n ⃗ ,v ⃗ >|=
|n ⃗⃗ ⋅v ⃗ ||n ⃗⃗ ||v ⃗ |
=
√15
5
． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√15
5
；
(3)解：AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,√3)， 平面BFC 的法向量n ⃗ =(1,−√3,−1)，
所以cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AF ⃗⃗⃗⃗⃗
⋅n ⃗⃗
|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |
=√3
√6×√5
=−
√10
5
． 设AF 与平面BFC 所成角为θ，
则．
故AF 与平面BFC 所成角的正弦值为√10
5
．
解析：本题考查了直线和平面垂直的判定，考查了利用空间向量求线面角和面面角，解答的关键是建立正确的空间直角坐标系，是中档题．
(1)要证AC ⊥平面BDEF ，只要证AC 垂直于平面BDEF 内的两条相交直线即可，设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ，由已知FA =FC 可得AC ⊥FO ，再由ABCD 为菱形得到AC ⊥BD ，则由线面垂直的判定定理得到答案；
(2)由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，求出二面角A −FC −B 的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；
(3)求出向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，直接用向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面BFC 的法向量所成角的余弦值求得AF 与平面BFC 所成角的正弦值．
19.答案：解：(1)由题意可知，样本容量=80.16=50，∴b =2
50=0.04，
第四组的频数=50×0.08=4， ∴a =50−8−20−2−4=16． y =
0.0410
=0.004，x =1650×1
10=0.032．
∴a =16，b =0.04，x =0.032，y =0.004．
(2)由(1)可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．
从竞赛成绩是80分)以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有C 62=15种情况．
设事件A ：随机抽取的2名同学来自同一组，则P(A)=C 42+C 22C 6
2=7
15．
所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是7
15． (3)由(2)可知，ξ的可能取值为0，1，2， 则P(ξ=0)=C 42
C 6
2=615=2
5，P(ξ=1)=
C 41C 21C 6
2=
8
15，P(ξ=2)=C 22
C 6
2=1
15
． 所以，ξ的分布列为
所以，Eξ=0×2
5+1×8
15+2×1
15=2
3．
解析：(1)利用频率=
频数样本容量
×100%，及
频率组距
表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ，b ，x ，y ；
(2)由(1)可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出；
(3)由(2)可知，ξ的可能取值为0，1，2，再利用组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式即可得出． 熟练掌握频率=
频数样本容量
×100%，及
频率组距
表示频率分布直方图的纵坐标、频率之和等于1、互斥事件
的概率、组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式是解题的关键．
20.答案：解：(1)由于c 2=a 2−b 2，将x =−c 代入椭圆方程
x 2
a 2
+y 2
b 2
=1，即y =±b 2
a ，
由题意知
2b 2a =3，即a =2
3b 2，
又e =c
a =1
2， 所以a =2，b =√3， 所以椭圆E 的方程为
x 24
+
y 23
=1.
(2)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程y =k(x −1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，
Δ>0，
则x 1+x 2=8k 2
4k 2+3，x 1x 2=
4k 2−124k 2+3
，
所以
，
所以|MN|∈(3,4)；
当直线l 与x 轴垂直时，|MN|=3. 综上所述，|MN|的取值范围为[3,4)．
解析：本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1) 由
2b 2a
=3，得a =23b 2，又e =c a =1
2，求出a ，b 即可．
(2)当直线l 与x 轴不垂直时，设l 的方程y =k(x −1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线方程与椭
圆方程联立，根据弦长公式求出|MN|，再与斜率不存在时比较即可．
21.答案：解：由f(x)=ax 2+2ln(a −x)得f′(x)=2ax −2
a−x ，
所以f′(1)=2a −2
a−1．
由题设可得2a −2a−1=−2，从而a2=2，解得a =±√2， 检验可得a =√2符合题意， 所以a =√2．
解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及两直线垂直的条件等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题，利用导数的几何意义求出x =1处的切线的斜率，再根据两直线垂直的条件：斜率之积为−1，建立方程，解之即可．
22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，
曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ， 转化为普通方程可得x 2+y 2=2y ， 即x 2+(y −1)2=1．
把{x =m −1
2
t
y =√3
2
t
代入x 2+(y −1)2=1， 并整理可得t 2−(m +√3)t +m 2=0①， 由条件可得△=(m +√3)2−4m 2>0， 解之得−√3
3<m <√3．
设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=m +√3，t 1t 2=m 2≥0， |AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2， =√(m +√3)2−4m 2=√15
2
， 解之得m =√3
2或√3
6
；
(2)当m =1时，①式变为：t 2−(1+√3)t +1=0， 所以：t 1+t 2=1+√3，t 1t 2=1，
由点P 的坐标为(1,0)可得1|PA|+1|PB|=1|t 1
|+1
|t 2
|=
|t 1|+|t 2||t 1t 2|
=
|t 1+t 2||t 1t 2|
=1+√3．
解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
(2)利用(1)的关系式，根据一元二次方程根和系数的关系和点到直线的距离公式的应用求出结果．
23.答案：解：(1)f(x)>8即|x +1|+|x −2|>8，
当x ≥2时，x +1+x −2>8，解得x >9
2； 当−1<x <2时，x +1+2−x >8，解得x ∈⌀； 当x ≤−1时，−x −1+2−x >8，可得x <−7
2． 综上可得，原不等式的解集为{x|x >9
2或x <−72}； (2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤3
2成立， 可得f(x)min ≤3
2，
由f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0) ≥|x +1−x +a|=|1+a|=a +1， 当−1≤x ≤a 时，f(x)取得最小值a +1， 由a +1≤3
2， 可得0<a ≤12， 即a 的范围是(0,12].
解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．
(1)去绝对值，讨论x 的范围，解不等式求并集，即可得到所求解集；
(2)由题意可得f(x)min≤3
，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值，解不等式可得a的范围．
2。