高一物理之匀变速直线运动位移与时间、速度的关系

高一物理之匀变速直线运动位移与时间、速度的关系
课程目标
一、学习目标：
1.掌握用v—t图象描述位移的方法；
2. 掌握并运用匀变速直线运动的位移与时间、位移与速度的关系；
3.通过对微分思想的理解，明确“面积”与位移的关系；熟悉位移公式在不同形式中的应用。

二、重点、难点：
重点：位移与时间的推导关系，位移与速度的推导关系x＝v0t＋at2/2、v2 －v02＝2ax。

难点：
1. 对公式中各物理量的理解与准确应用。

2. 速度—时间图象中的面积表示位移。

三、考点分析：
知识梳理
一、物理思维方法归纳总结
◆“无限逼近”的思维方法——极限思想：如果△t的值非常小，那么所有小矩形的面积之和就能非常准确地代表物体发生的位移。

◆先微分再求总和的方法——微元法：如果Δt的值极小，那么所有小矩形的面积之和刚好等于v－t图象下面的面积。

◆逆向转换，即逆着物体原来的运动过程考虑，如火车进站刹车滑行，逆着车行方向考虑时就把火车原来的一个匀减速运动转化为一个初速为零的匀加速运动。

◆利用时间等分、位移等分的比例关系，对物体运动的时间和位移进行合理的分割。

应用匀变速直线运动及初速度为零的匀变速直线运动的特殊关系，是研究匀变速直线运动的重要方法，比用常规方法简捷得多。

二、知识点总结
1. 匀变速直线运动三公式的讨论 在解题过程中选用公式的基本方法为：
（1）如果题目中无位移x ，也不需要求位移，一般选用速度公式at v v 0t +=； （2）如果题中无末速度v ，也不需要求末速度，一般选用位移公式
；
（3）如果题中无运动时间t ，也不需要求运动时间，一般选用推导公式v 2－v 02＝2ax 。

注：①对以上公式中的加速度a ，有：当物体做加速运动时，a 为正；当物体做减速运动时，a 为负。

②如果物体做初速度为零的匀加速运动，那以上公式中的v 0＝0。

③匀变速运动的各公式均是矢量式，式中x ，v 0 ，a 要选取统一的正方向，还要注意各量的符号。

④不能机械地套用公式，要具体问题具体分析（如刹车问题）。

2. 利用图象求位移
v －t 图象
位移的求法 联系
图象法 公式法
匀速直线运动
匀速直
线运动的位移对应v －t 图线与t 轴所围成的面积。

x ＝vt
其中横轴上方的面积代表位移为正方向，横轴下方的面积代表位移为负方向
2021
at t v x +=
匀变 速直 线运动
速度图线与t 轴包围的面积为匀变速直线运动的位移。

x ＝v 0t ＋at 2/2 v 2
－v 02
＝2ax 。

3. 运动学中的几个推论证明
设物体做匀变速运动，初速度为v 0，末速度为v t ，加速度为a ，运动时间为t ，中间时刻的速度为v t/2，中间位置的速度为v s/2，证明：
推导：根据运动学公式： v t ＝v 0＋at ，s ＝v 0t ＋at 2/2， 中间时刻的速度：v t/2＝v 0＋at/2
平均速度： 又（v 0＋v t ）/2＝（v 0＋v 0＋at ）/2＝v 0＋at/2 所以2/)v v (v v t 02/t +== ②v t 2－v 02＝2as
推导：根据v t ＝v 0＋at ，得：t ＝（v t －v 0）/a 把t 代入s ＝v 0t ＋at 2/2，
得：v t 2－v 02＝2as
典型例题
知识点一：公式应用
例 1. 做匀变速直线运动的物体的位移随时间的变化规律为)m (5.1t 24x 2-=，
根据这一关系式可以知道，物体速度为零的时刻是（ ）
A. 1.5 s
B. 8 s
C. 16 s
D. 24 s
正确选项：B
解题思路：对比s ＝v 0t ＋at 2/2，相应位置的数值即是所对应的物理量。

解答过程：可通过判断v 0＝24m/s ，a ＝－3m/s 2，得知物体做匀减速直线运
t v x =2/at v t
2
/at t v t s v 020+=+=
=
动。

再根据v t ＝v 0＋at ，解得t ＝8s 。

解题后的思考：匀变速直线运动中位移与时间的二次方有关，据此也可判断物体做匀变速直线运动。

例2. 根据匀变速运动的位移公式和，则下列关于做匀加速直线运动的物体在t 秒内的位移，说法正确的是（
）
A. 加速度大的物体位移大
B. 初速度大的物体位移大
C. 末速度大的物体位移大
D. 平均速度大的物体位移
大
正确选项：D
解题思路：公式中，位移除了与时间有关外还和两个物理量有
关，仅有某一个量决定不了位移的大小，而公式中，位移只与时间和平均速度有关，时间一定。

平均速度越大位移越大。

解题后的思考：做题时选择用什么公式要看题目中给出的已知条件。

例3. 有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24ｍ和64ｍ，连续相等的时间为4 s ，求质点的初速度和加速度大小。

解题思路：根据题意告诉的已知量，选择使用包含已知量的公式。

解答过程：（1）常规解法：由位移公式得
s 1＝v A t ＋at 2
s 2＝［v A ·2t ＋a （2t ）2］－（v A t ＋at 2）
将s 1＝24 ｍ，s 2＝64 ｍ，t ＝4s 代入两式求得 v A ＝1 m/s ，a ＝2.5 m/s 2. （2）用平均速度求解：
424t s v 11==m/s ＝6 m/s ， 4
64t s v 22==
m/s ＝16 m/s 又＋at 即16＝6＋a×4，得a ＝2.5 m/s 2，再由s 1＝v A t ＋at 2求得v A
2/20at t v x +=t v x =2
at t v x 20+=t v x =2
1
2121
12v v =2
1
＝1 m/s.（3）用平均速度求解：
设物体通过A 、B 、C 三点的速度分别为v A 、v B 、v C 则有
=+2v v B A t s 1
=+2v v C B t s 2 t
2s s 2v v 21C A +=
+ 解得v A ＝1ｍ／s ，v B ＝11 ｍ／s v C ＝21ｍ／s ，所以，加速度为 a ＝
4
1
11t v v A B -=
-ｍ／s 2 ＝2.5 ｍ／s 2 解题后的思考：运动学中的不少题目可有多种解法，但首先应熟练掌握基本
的、常规的解法，熟能生巧，达到一定熟练程度后，再根据题目给出的条件选用合适的公式求解。

例4. 推动弹头加速运动，若把子弹在枪筒中的运动看成是做匀加速直线运动，设子弹的加速度a ＝5×105m/s 2，枪筒长x ＝0.64m ，求子弹射出枪口时的速度。

解答过程：以子弹射出枪口时速度v 方向为正方向
由位移公式：20at 2
1
t v x +=
又由速度公式：at v v 0+=
可得：ax 2v v 2
02=-
解题后的思考：此题用基本公式求解比较麻烦，选择使用推导公式v 2 －v 02 ＝2ax 可直接算出结果。

知识点二：做题方法技巧
例1. 做匀减速直线运动的物体经4 s 后停止，若其在第1 s 内的位移是14 m ，则最后1 s 的位移与4 s 内的位移各是多少？
解答过程：
解法一：（常规解法）设初速度为v 0，加速度大小为a ，由已知条件及公式：
v ＝v 0＋at ，x ＝v 0t ＋2at 21可列方程0a 4v ,14a 2
1
v 00=+=+
解得20s /m 4a ,s /m 16v -==
最后1 s 的位移为前4 s 的位移减前3 s 的位移 代入数值m 2x 1=
4 s 内的位移为：m 32at 21
t v x 20=+=
解法二：（逆向思维法）
思路点拨：将时间反演，则上述运动就是一初速度为零的匀加速直线运动.
则14＝2324at 2
1at 21-
其中t 4＝4 s ，t 3＝3 s ，解得a ＝4 m/s 2 最后1 s 内的位移为m 2at 2
1x 2
11==
4s 内的位移为m 32at 2
1x 2
42==
解法三：（平均速度求解）
思路点拨：匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度.
由第1秒内位移为14 m 解出v 0.5＝2
1at 21＝14 m/s ，v 4＝0
由v 4＝v 0.5＋a×3.5得出a ＝－4 m /s 2 再由v ＝v 0＋at 得：v 0＝16 m/s ，v 3＝4 m/s
故最后1秒内的位移为：x 1＝2
1at 2
1＝2 m
4 s 内的位移为：x 2＝2
4at 2
1＝32 m.
解题后的思考：通过用多种方法解决同一问题，可以加深学生对公式的理解，提高学生灵活应用公式解决实际问题的能力.发散学生思维，培养多角度看问题的意识。

例2. 从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s 时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车。

汽车从开出到停止共历时20s ，行进了50 m 。

求汽车的最大速度。

解题思路：汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最高速度后，立即改做匀减速运动，可以应用解析法，也可应用图象法进行解答。

解答过程：
解法一：解析法（公式法）
设汽车最高速度为v m ，由题意，可得方程组 解得11t a v m = 0t a v 22m =+ 整理得520
5022=⨯==
t x v m m/s 解法二：用平均速度公式求解
汽车在匀加速阶段和匀减速阶段的平均速度相等，都等于
2
m
v ，故全过程的平均速度等于2m v ，由平均速度公式得2m v ＝t
x
，解得5205022=⨯==t x v m m/s 。

可见，用平均速度公式求解，简便快捷，大家要注意多运用这种解法。

解法三：应用图象法，作出汽车运动全过程的v －t 图象，如图所示。

v －t
图线与t 轴围成三角形的面积与位移等值，故
2t v x m =
，所以520
50
22=⨯==t x v m m/s 解题后的思考：平均速度法和图象法比较简单也较常用，应熟练掌握。

例3. 甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一路标，从此时开始，甲
车一直做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一路标时速度又相同，则哪一辆车先经过下一个路标？
解答过程：由题目可知这三辆汽车的初、末速度相同，它们发生的位移相同，而题中并不知道乙、丙两车在各阶段是否做匀速直线运动，因此，我们只能分析它们的一般运动，即变速直线运动，这样用匀变速直线运动的规律就无法求解这一问题。

如果我们利用图象法，即在同一坐标系中，分别作出这三辆车的v －t 图象，如上图所示，由此可知：乙车到达下一个路标的时间最短，即乙车最先经过下一个路标。

解题后的思考：图象法是根据物体的运动规律及题中条件，将复杂的运动过程转化成简单、直观的图象的一种思维方法。

知识点三：关于刹车的问题
例1. 汽车以10m/s 的速度行驶，刹车加速度为5 m/s 2，求汽车刹车后1s ，2s ，3s 的位移。

判断下列解法是否正确。

已知：设初速度方向为正 v ＝10m/s ，a ＝－5m/s 2。

由公式：x ＝ v 0t ＋ at 2/2
可解出：x 1 ＝10×1－5×12/2＝7.5m x 2＝10×2－5×22/2＝10m x 3＝10×3－5×32/2＝7.5m
解答过程：结果中3s 时的位移和1s 时相同，但都比2s 时的位移小，刹车时间越长位移越小明显不对，问题在于没考虑刹车至停下用的时间，由v ＝v 0＋at 可知汽车停下用时2s ，故2s 后汽车的位移一共为10m ，故x 3 ＝10m 。

解题后的思考：
1. v ＝v 0＋at ，x ＝v 0t ＋at 2/2两式都是矢量式（应用时要先规定正方向）；
2. 解决刹车问题时要先判断停止时间，再计算位移。

例2. 在平直公路上，一辆汽车的速度为15m ／s 。

从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s 2的加速度运动，问刹车后10s 末汽车离开始刹车点有多远？
解题思路：
1. v ＝v 0＋at ，x ＝v 0t ＋at 2/2两式都是矢量式（应用时要先规定正方向）；
2. 解决刹车问题时要先判断停止时间，进而判断汽车做减速运动，是否运动了10s
解答过程：初速度v 0＝15m ／s ，a ＝ －2m ／s 2，经分析知汽车运动7.5s 就会停下，在后2.5s 内，汽车停止不动。

解：设汽车实际运动时间为t ，v t ＝0，a ＝ － 2m ／s 2 由at v v 0t +=知 汽车运动时间5.72
15
0=--=-=
a v t s 说明刹车后7.5s 汽车停止运动。

由ax 2v v 2
02
t =-得
汽车的位移25.56)
2(215a 2v v x 2
2
02
t =-⨯-=-=m
解题后的思考：
1. 解决刹车问题时要先判断停止时间。

对汽车做减速运动，是否运动了10s
也要进行判断。

2. 计算题求解，一般应先用字母代表物理量进行运算，得出用已知量表达未
知量的关系式，然后再把数值代入式中，求出未知量的值。

这样做能够清楚地看出未知量与已知量的关系，计算也比较简便。

提分技巧
1. 匀变速直线运动问题的解题思路
（1）首先是选择研究对象、分析题意，判断运动性质是匀速运动还是匀变速运动，加速度方向、位移方向如何等。

（2）建立直角坐标系，通常取v0方向为坐标正方向，并根据题意画出v－t 图象。

（3）根据已知条件及待求量，选定有关公式列方程。

要抓住加速度a这个关键量，因为它是联系各个公式的“桥梁”。

为了使解法简便，应尽量避免引入中间变量。

（4）统一单位，求解方程（或方程组）。

（5）验证结果，并注意对结果进行有关讨论，验证结果时，可以另辟思路，运用其他解法。

以上所说各点，最关键的是弄清运动的性质。

2. 匀变速直线运动问题解题的注意点
（1）匀减速运动：①对于匀减速运动中的位移、速度大小，可以通过将其看成是反向的匀加速运动来求得；②求物体做匀减速运动的位移，应注意先求出物体从减速到停止运动的时间。

（2）用平均速度解匀变速运动问题：如果题中给出一段位移及对应的时间，就可求出该段时间的平均速度。

因为有关平均速度的方程中，时间t都是一次函数，用平均速度解题一般会方便些。

注意物理量的矢量性：对运动过程中a、v、x赋值时，应注意它们的正、负号。