专题16 几个特殊函数对勾函数、绝对值函数等-2018原创

第16题 几个特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）
I.对勾函数
一、对勾函数的定义 形如)0,0(>>+
=b a x
b ax y 的函数，叫做对勾函数. 二、对勾函数)0,0()(>>+=b a x b ax x f 的图象与性质 1.定义域 0}{≠∈x R x
2.值域
当0>x 时，ab x
b ax x b ax 22=⋅≥+（当且仅当x b ax =，即a b x =时取等号）. 当0<x 时，ab x
b ax x b ax x b ax 2))((2)]()[(-=---≤-+--=+（当且仅当x b ax -=-，即a
b x -=时取等号）. 函数)0,0()(>>+=b a x
b ax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ⋃--∞）∞+. 3.奇偶性 由于双勾函数定义域关于原点对称，)()(x b ax x b ax x f +-=-
-=-)(x f -=，则对勾函数为奇函数.
4.单调性
由于2)(x b a x f -='，令0)(>'x f ，解得a b x -<或a
b x >，令0)(>'x f ，解得0<<-x a
b 或a b x <<0，所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数，在)0,(a b -上为减函数，在),
0(a b 上为减函数，在),(+∞a b 上为增函数. 5.渐近线
当0>x 时，0>+
x b ax ，当0<x 时，0<+x
b ax ，说明函数的的图象在第一、第三象限.
当0>x 时，x
b x b ax x f >+=)(，说明函数在第一象限的图象在直线ax y =的上方，当0<x 时，ax x
b ax x f <+=)(，说明函数在第三象限的图象在直线ax y =的下方. 双勾函数就是以y 轴和直线x y =为渐近线的双曲线. 特别1,1==b a 时，x x x f 1)(+
=，函数图象如下图所示：
例1.【河北唐山市2015届高三上学期期末(文)】已知1()1f x x x
=+
-，()2f a =，则()f a -=（ ）
A ．4-
B ．2-
C ．1-
D ．3-
例2.【云南省师范大学附属中学2015届高三月考文】若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ） A ．51(,
]8-∞ B ．(,3]-∞ C ．51[,)8
+∞ D ．[3,)+∞ 例2. 【山西省2016届高三四校联考】若函数)()(R b x
b x x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是
A.(]1,-∞-
B. ()0,1-
C. ()1,0
D. ()+∞,2 Ⅱ.绝对值函数
一、绝对值函数的定义
形如b ax y +=的函数，叫做绝对值函数. 二、绝对值函数b ax x f +=)(的图象与性质
1.定义域：R
2.值域：),0[+∞
3.单调性
函数)(x f 在）（a b
-∞-,上为减函数，在),(+∞-a
b 上为增函数. 特别0,1==b a 时，x x f =)(，图象如下图所示
例3.【浙江省台州中学2015届高三上第三次统考（理）】
函数{}
()min 2f x x =-，其
中 {},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩
，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别
123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的最大值为( )
A ．4
B ．3
C ． 2
D ．1
例 4.【北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷数学（文科）】设函数
3
||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤
（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；
（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是___.
Ⅲ.取整函数
一、取整函数的定义
若x 为实数，[]x 表示不超过的最大整数，则函数][)(x x f =叫做取整函数.举例如下：
,0]8.0[,0]35.0[,1]2.1[,2]8.2[=-===
1]9.1[-=-等.
考点1.取整函数与程序框图
例5. 【2016届高三山西省四校联考】执行图中的程序框图（其中[]x 表示不超过的最大整数），则输出的S 值为
A. 5
B. 7
C. 9
D. 12
2.取整函数与函数的周期性
例6.（陕西省西北工业大学附属中学2015届高三下学期二模考试数学（文）试题）x 为实数，
[]x 表示不超过的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 ( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．增函数
D ． 周期函数
三、取整函数与函数的零点
例7.（天津市南开中学2015届高三第三次月考数学（文）试题）已知,x R ∈符号[]
x 表示不超过的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x
=->有且仅有3个零点，则a 的取值范围
是 ．
例8.【2014学年杭州地区重点中学高三数学(理)】已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数[]()(0)x f x a x x
=-≠有且仅有3个零点，则的取值范围是 3443.,,4532A ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3443.,,4532B ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342C ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342D ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
例9.【2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（文科）试题】某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）
A ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
C ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
D ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。