群中元素的阶

近世代数
数学与信息科学系 授课教师:
§2.2

群中元素的阶
e,
aG , n Z , 规定 a0
n a n aa a ,
n a n ( a 1 )n a 1a 1 a 1
m n m n m n mn a aa , ( a ) a , m, n Z
定义１
在有理数域上二阶线性群 GL2 (Q) 中，
0 1 0 1 b a , 1 0 1 1
1 1 的阶分别为4,3, 但 ab 0 1
的阶无限。
1 0 0 2 1 1 c 与d cd 的阶为 2. 但 1 的阶都无限， 0 2 0 0 1 2
n
m nq r
(a ) a a
n q r
r
e. 但 a n,0 r n, 故必r 0,从而 n m.
反之，设 n m, 且令 m nq ， 因 a n, 故 a a nq (a n ) q e.
m
例4 证明：群中以下每组中的元素有相同
的阶：
1)a, Leabharlann ac ;２．定理中的条件 (m, n) 1 不能少。
小 结
元素的阶的定义 群的分类 元素的阶的性质
布置作业
P４４ 第１、5题
n k1
k m ( a 其次，设 ) e ，则 a km e 。由定理２知
n km , n1 k1m , 但 (n1 , k1 ) 1, 故 n1 m.
n 因此，a n1 . ( k , n)
k
推论１在群中设 a st，则 a t，其中 s, t
s
是正整数。 推论２在群中设
设 (ab) e, 则 (ab)
s
sm
m s sm sm ( a ) b b e,
但 b n , 故 n sm. 又因 (m, n) 1, 故 n s. 同理可得 m s. 再根据 (m, n) 1, 故 mn s.
从而 ab mn.
注
１．定理中的条件 ab ba 不能少。
设 a 为群 G 的一个元素，使 a
n
e
的最小正整数 n ，叫做元素 a 的阶。
如果这样的 n 不存在，则称 a 的阶为无限 （或称是零）。 元素a 的阶常用 a 表示。
例１在 4 次单位根群G {1,1, i,i}中，
1 的阶是 1, 1 的阶是 2 , i , i 的阶都是 4.
2)a, a .
1
1
定理３若群中元素 a 的阶是 n k a , k Z . ( k , n) 故有 (a
k n1 kn1
n，则
证明：设 (k , n) d 且n dn1 , k dk1 , (n1 , k1 ) 1.
) a a (a ) e.
d k1n1
例２ 在正有理数乘群 Q 中，
1 的阶是 1, 其余元素的阶均无限。 1 的阶是 1, 例３ 在非零有理数乘群Q 中，

1 的阶是 2 , 其余元素的阶均无限。
周期群 若群 G 中每个元素的阶都有限。
群 无扭群
若G 中除 e外，其余元素的阶均无限。
混合群 既不是周期群 又不是无扭群的 群。
定理１有限群中每个元素的阶均有限。 证明：设 G 为n 阶有限群， 任取 a G , 则 a, a , , a , a
s t
2
n
n 1
中 必有相等的。
设a a ,1 t s n 1, 则 a s t e, 从而 a 的阶有限。
定理２ 设群 G 中元素 a的阶是 n，则
a m e n m.
证明：设 a m e ，并令 m nq r ,0 r n. 则由于 a e ，故 a a
k
a n，则
a n (k , n) 1.
定理４若群中元素 a m, b n ，则当 ab ba
且 (m, n) 1 时， ab mn. 证明：由于 a m, b n, ab ba , 故
mn mn (ab) ( ab)( ab) ( ab) ( a m )n (bn )m e;