内蒙古鄂尔多斯市2021届新高考第二次模拟数学试题含解析

内蒙古鄂尔多斯市2021届新高考第二次模拟数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()0x
e f x x a a
=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．()0,e
C ．(),e +∞
D ．1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】
【分析】
函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数x e y a
=的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数x e y a
=的变化趋势，从而得a 的范围．
【详解】 由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即x
e x a
>， x
e y a
=的图象永远在y x =的上方， 设x e y a =与y x =的切点()00,x y ，则0001x x e a e x a
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =， 易知a 越小，x e y a
=图象越靠上，所以0a e <<. 故选：B ．
【点睛】
本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．
2．设,,D E F 分别为ABC ∆的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=u u u v u u u v
（ ）
A ．12AD u u u v
B ．AD uuu v
C ．BC uuu v
D ．12
BC u u u v 【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.
【详解】
根据题意,可得几何关系如下图所示:
()12EB BC BA =-+u u u v u u u v u u u v ,()12FC CB CA =-+u u u v u u u v u u u v ()()
1122EB FC BC BA CB CA +=-+-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1122AB AC AD =+=u u u v u u u v u u u v 故选:B
【点睛】
本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.
3．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12
log 2f a f ⎛
⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()4,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单
调递增，分析可得()()()1222log 2log 2log 2f a f f a f a ⎛⎫<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭
，解可得a 的取值范围，即可得答案.
【详解】
将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象，
由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称，
即函数()y f x =为偶函数，由()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，得()()2log 2f a f <， Q 函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得
144a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫
⎪⎝⎭. 故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题. 4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题:
①1EF B C ⊥;
② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;
③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
④ 三棱锥B EFG -的体积为56
. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
【解析】
【分析】
画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可．
【详解】
如图；
连接相关点的线段，O 为BC 的中点，
连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；
直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确；
过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：
是五边形EHFGI ．所以③不正确；
如图：
三棱锥B EFG -的体积为：
由条件易知F 是GM 中点，
所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=
2311522131=2222BEM ABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 1551326F EBM V -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56
，④正确； 故选：C ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．
5．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是
①函数()f x 的最小正周期为π；
②函数()f x 的图象是轴对称图形；
③函数()f x 2；
④函数()f x 的最小值为1-．
A ．①③
B ．②④
C ．②③
D ．②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确；
因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22
c )|os 2x x x f x x πππ+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22
f x f x ππ+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；
易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π
=对称，所以只需研究函数()f x 在
3
[,]22ππ上的极大值与最小值即可．当322
x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5
444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34
x π=，③正确；
因为5444x πππ≤-≤，所以1)4
x π-≤-≤()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ．
6．已知i 为虚数单位，则()2312i i i +=-（ ）
A ．7455i +
B ．7455i -
C ．4755i +
D ．4755
i - 【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数乘除运算法则，即可求解.
【详解】
()()()()()2322323741222255
i i i i i i i i i i +-++===+-++-. 故选：A.
【点睛】
本题考查复数代数运算，属于基础题题.
7．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ）
A ．[]1,1-
B ．[]2,2e e --
C ．[]2e,1-
D ．[]2ln 22,1-
【答案】D
【解析】
【分析】
由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x x
f x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f x
g x 即可得a 的取值范围.
【详解】
由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，
令()()2g 2，x x
f x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=，
()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减，
()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，
又()g 2x
x x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==， ∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.
8．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）
A ．58
B ．57
C ．56
D ．55
【答案】B
【解析】
【分析】 先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.
【详解】
本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，
228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数
是57.
故选：B.
【点睛】
本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 9．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是（ ）.
A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少
C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍
D ．2016年与2019年艺体达线人数相同
【答案】A
【解析】
【分析】
设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，通过简单的计算逐一验证选项A 、B 、C 、D.
【详解】
设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，2016年高考不上线人数为0.3x ，
2019年不上线人数为1.20.280.3360.3x x x ⨯=>，故A 正确；
2016年高考一本人数0.3x ，2019年高考一本人数1.20.260.3120.3x x x ⨯=>，故B 错误； 2019年二本达线人数1.20.40.48x x ⨯=，2016年二本达线人数0.34x ，增加了
0.480.340.410.34x x x
-≈倍，故C 错误； 2016年艺体达线人数0.06x ，2019年艺体达线人数1.20.060.072x x ⨯=，故D 错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.
10．设非零向量a r ，b r ，c r ，满足||2b =r ，||1a =r ，且b r 与a r 的夹角为θ，则“||b a -=r r 是“3
πθ=”的（ ）．
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用数量积的定义可得θ，即可判断出结论．
【详解】
解：||b a -=r r ∴2223b a a b +-=r r r r g ，221221cos 3θ∴+-⨯⨯⨯=， 解得1cos 2θ=，[0θ∈，]π，解得3πθ=，
∴ “||b a -=r r 是“3
πθ=”的充分必要条件． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
11．设,a b r r 为非零向量，则“a b a b +=+r r r r ”是“a r 与b r 共线”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.
【详解】 若a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r 共线，且方向相同，充分性；
当a r 与b r 共线，方向相反时，a b a b ≠++r r r r ，故不必要.
故选：A .
【点睛】
本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
12．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）
A ．甲的数据分析素养高于乙
B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C ．乙的六大素养中逻辑推理最差
D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲
【答案】D
【解析】
【分析】
根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.
【详解】
对于A 选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A 选项错误.
对于B 选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B 选项错误.
对于C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C 选项错误.
对于D 选项，甲的总得分45334322+++++=分，乙的总得分54545427+++++=分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D 选项正确.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在2()n x x
-的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则n =_______，x 项的系数等于________.
【答案】8 1
【解析】
【分析】
根据二项式系数和的性质可得n,再利用展开式的通项公式求含x 项的系数即可.
【详解】
由于所有项的二项式系数之和为2256n =，8n =，
故2)n x
的二项展开式的通项公式为34218(2)r r r r T C x -+=⋅-⋅， 令3412
r -=，求得2r =，可得含x 项的系数等于284112C =， 故答案为：8；1．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
14．已知点P 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，过点P 的一条直线与圆2222x y a b +=+相交于, A B 两点，若存在点P ，使得22
||||PA PB a b ⋅=-，则椭圆的离心率取值范围为_________.
【答案】2⎫⎪⎪⎣⎭
【解析】
【分析】
设()00,P x y ，设出直线AB 的参数方程，利用参数的几何意义可得22||||,PA PB b a ⎡⎤∈⎣⎦,由题意得到
222a b …，据此求得离心率的取值范围.
【详解】
设()00,P x y ，直线AB 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨
=+⎩，(t 为参数) 代入圆2222x y a b +=+，
化简得：()22222
00002cos sin 0t x y t x y a b αα++++--=， ()
22222222120000||||PA PB t t x y a b a b x y ∴==+--=+-+，
222200,x y b a ⎡⎤+∈⎣⎦Q ，
22||||,PA PB b a ⎡⎤∴∈⎣⎦， Q 存在点P ，使得22||||PA PB a b ⋅=-，
222a b b ∴-…，即222a b …，
222a c ∴„，
212e ∴…，
2
1
2
e ∴
≤<， 故答案为：2,1⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
【点睛】
本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.
15．若变量x ，y 满足：220
2403110x y x y x y -+≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，且满足()()1110t x t y t ++-++=，则参数t 的取值范围为
_______. 【答案】1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据变量x ，y 满足：2202403110x y x y x y -+≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，画出可行域，由()()1110t x t y t ++-++=，解得直线过定点
()1,0A -，直线绕定点旋转与可行域有交点即可，再结合图象利用斜率求解.
【详解】
由变量x ，y 满足：2202403110x y x y x y -+≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，画出可行域如图所示阴影部分，
由()()1110t x t y t ++-++=，整理得()110x y t x y +++-+=，
由10
10
x y x y ++=⎧⎨
-+=⎩，解得1,0x y =-=，
所以直线()()1110t x t y t ++-++=过定点()1,0A -，
由2203110x y x y -+≤⎧⎨-+≥⎩，解得()1,4C ，
由2403110
x y x y +-≥⎧⎨-+≥⎩，解得()2,3B -， 要使()()1110t x t y t ++-++=，则与可行域有交点， 当1t =时，满足条件，
当1t ≠时，直线得斜率应该不小于AC ，而不大于AB ，
即
121t t +≥-或1
31t t +≤--， 解得1
23
t ≤≤，且1t ≠，
综上：参数t 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
故答案为：1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，还考查了转化运算求解的能力，属于中档题. 16．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()
()f x g x x
=
的最小值为m ，则2m a +=________.
【答案】0 【解析】 【分析】
求出(),(1),(1)f x f f ''，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出a 的值，求()g x '，求出单调区间，进而求出极小值最小值，即可求解. 【详解】
()1ln f x x '=+，(1)1f '=，(1)2f a =-，
切线1l 的方程：21y a x +=-，
又1l 过原点，所以21a =-，()ln 1f x x x =+，
1
()ln g x x x =+
，22111()x g x x x x
-'=-=. 当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.
故函数()
()f x g x x
=的最小值(1)1g =，所以1,20m m a =+=. 故答案为:0. 【点睛】
本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题.. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品，以x （单位：盒，100200x ≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y （单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.
（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数和众数； （2）将y 表示为x 的函数；
（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.
【答案】（1）153x =，众数为150；（2）8048008000
x y -⎧=⎨⎩ ()
()100160160200x x ≤<≤≤；（3）0.90 【解析】 【分析】
（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数；（2）
由已知条件推导出当100160x 剟
时，50(160)?30804800y x x x =--=-，当160200x <…时，160508000y =⨯=，由此能将y 表示为x 的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元
的概率． 【详解】
（1）由直方图可估计需求量x 的众数为150 ，
由直方图可知[)100120，
的频率为：200.0050=0.10⨯ 由直方图可知[)120140，
的频率为：200.010=0.20⨯ 由直方图可知[)140160，
的频率为：200.0150=0.30⨯ 由直方图可知[)160180，
的频率为：200.0125=0.25⨯ 由直方图可知
[]180200，
的频率为：200.0075=0.15⨯ ∴估计需求量x 的平均数为：
0.101100.201300.301500.251700.15190153=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x
（2）当100160≤<x 时，5030(160)804800=--=-y x x x 当160200≤≤x 时，50160=8000=⨯y
∴8048008000x y -⎧=⎨⎩
100160160200（）
（）≤<≤≤x x
（3）由（2）知 当160200≤≤x 时，50160=8000>4800=⨯y 当100160≤<x 时，8048004800=-≥y x 得120160≤<x ∴开学季利润不少于4800元的需求量为120200≤≤x
由频率分布直方图可所求概率0.200.300.250.150.90=+++=P 【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．
18．已知数列{}n a 和{}n b 满足，12a =，11b =，()
*
12n n a a n N +=∈，
()*1231111
123n n b b b b b n N n
+++++=-∈L .
（Ⅰ）求n a 与n b ；
（Ⅱ）记数列{}n c 的前n 项和为n T ，且2
1
,,1,,n n n n
n b b c n a +⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，若对*n N ∈，22n k T T ≥恒成立，求正
整数k 的值.
【答案】（Ⅰ）2n
n a =,n b n =；（Ⅱ）1
【解析】 【分析】
（Ⅰ）易得{}n a 为等比数列,再利用前n 项和与通项的关系求解{}n b 的通项公式即可.
（Ⅱ）由题可知要求2n T 的最小值,再分析222n n T T --的正负即可得2n T 随n 的增大而增大再判定可知1k =即可. 【详解】
（Ⅰ）因为(
)*
12n n a a n N
+=∈,故{}n
a 是以1
2a
=为首项,2为公比的等比数列,故2n n a =.
又当1n =时, 121b b =-,解得22b =. 当2n ≥时, 1231111
123n n b b b b b n
++
+++=-L …① 1231111
1231n n b b b b b n -++++=--L …②
①-②有
11n n n b b b n +=-,即()1,12n n b b n n n +=≥+.当1n =时111b =也满足.故n b n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为常数列,
所以
1
11
n b b n ==.即n b n =. 故2n
n a =,n b n =
（Ⅱ）因为对*n N ∈,22n k T T ≥恒成立.故只需求2n T 的最小值即可.
设00T =,则()
222212,n n n n T T c c n N -+
--=+∈,
又()()2122221212111111
21212414
n n n n n n n b b a n n c n c --+-=-=--+-+=
,
又当1n =时
21
111041434n n -
=->-,2n =时21111
04141516
n
n -=->-. 当3n ≥时,因为(
)
0124...2n
n
n
n n n n C C C C =++++⋅
()()012322
1281448412n n n n n C C C n n n n -⎡⎤≥++⋅=++=++>-⎢⎥
⎣
⎦. 故
21
1
0414
n
n -
>-. 综上可知2120n n c c -+>.故2n T 随着n 的增大而增大,故22n T T ≥,故1k = 【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式的方法,同时也考查了根据数列的增减性判断最值的问题,需要根据题意求解2n T 的通项,并根据二项式定理分析其正负,从而得到最小项.属于难题.
19．已知如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示。

（Ⅰ）求证：AE 平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）5
；（Ⅲ）1:5
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，AE⊥BD于E，能证明AE⊥平面BCD;
（Ⅱ）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;
（Ⅲ）利用体积公式分别求出三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积，再作比写出答案即可．
【详解】
（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，
如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系E-xyz，
设AB=BD=DC=AD=2，
则BE=ED=1，∴
则E （0，0，0），D （0，1，0），B （0，-1，0），A （0，0
，
F
0，0），C
2，0），
)
DC =u u u r
，(AD =u u u r
，
由AE ⊥平面BCD 知平面BCD
的一个法向量为(EA =u u u r
，
设平面ADC 的一个法向量(,,)n x y z =r
，
则00
n DC y n AD y ⎧⋅=+=⎪
⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取x=1
，得1)(,1n =-r ，
∴,=5n EA cos n EA n EA
⋅=-⋅r u u u r
r u u u r r u u u r ＜＞，
∴二面角A-DC-B
． （Ⅲ）三棱锥B-AEF 与四棱锥A-FEDC 的体积的比为：1:5. 【点睛】
本题考查线面垂直的证明、几何体体积计算、二面角有关的立体几何综合题，属于中等题. 20．设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <). （i ）求a 的取值范围； （ii ）求证:12x x ⋅随着
2
1
x x 的增大而增大. 【答案】（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
（ii ）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）求出导函数11(),(0,)ax f x a x x x
-'=
-=∈+∞，分类讨论即可求解； （2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设2
1
1x t x =
>，通过转化
()1212(1)ln ln ln ln 1
t t
x x x x t +=+=
-，讨论函数的单调性得证.
【详解】
（1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x
-'=
-=∈+∞ 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a >时，()0f x '>的解集为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，
所以()f x 的单调增区间为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
； （2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫
==->
⎪⎝⎭
，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <
，所以存在111,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()10f x =，又因为
221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫
=-=-- ⎪⎝⎭
，设
11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫
⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则22
2112()0a g a a a a --'=+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫
<=-< ⎪⎝⎭
，即
210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，因为211a a >，所以存在2211,x a a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综
上，10,a e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212ln ln x
x
x x =，因为21x x >，所以2
11x
x >，设211x t x =
>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1
ln ln 1
t x t =-，所以21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t t x x x x t +=+=
-，设(1)ln ()(1)1
t t
h t t t +=
>-，则2
2
11ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则
2
22
12(1)()10t H t t t t -'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t 单调递增，即()12ln x x 随着2
1
x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证.
【点睛】
此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.
21．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且1
3
AFO π
∠=.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点A 作斜率为1k 、()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N .证明：当
1
211
k k k =
-时，直线MN 过定点. 【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）在1Rt AFO ∆中，计算出1AF 的值，可得出a 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准
方程；
（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出1212k k k k =+，利用韦达定理和斜率公式化简得出m 与k 所满足的关系式，代入直线MN 的方程，即可得出直线MN 所过定点的坐标. 【详解】
（1）在1Rt AFO ∆中，OA b =，11OF c ==
，1AF a =
=，
1
3
AFO π
∠=Q ，16
OAF π
∠=
，1122a AF OF ∴===
，b ∴=
=
因此，椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=；
（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y
联立22
143
x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得()222
4384120k x kmx m +++-=， 且122843km x x k +=-+，2122412
43m x x k -=+，
1211k k k =
-Q ，1212k k k k ∴=+
，1212
=，
∴代入()1,2i i y kx m i =+=，化简得()
(
)((
)2
2
121
2
2130k k x x k m x x m
-+-++-+=，
化简得(
(2
3m m =，
m ≠Q ，(3m ∴=，3
m ∴=，
直线:MN y kx =+MN 过定点⎛ ⎝. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题. 22．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足πsin sin 3c A a C ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
. （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若ABC V 的面积为1a b -=，求c 和()cos 2A C -的值.
【答案】（Ⅰ）3π
；（Ⅱ）c =，()6
os 22c 1A C -=
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）运用正弦定理和二角和的正弦公式，化简πsin sin 3c A a C ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，即可求出角C 的大小； （Ⅱ）通过面积公式和 1a b -=，可以求出,a b ，这样用余弦定理可以求出c ，用余弦定理求出cos A ，根据同角的三角函数关系，可以求出sin A ，这样可以求出sin 2,cos 2A A ,最后利用二角差的余弦公式求出()cos 2A C -的值. 【详解】
（Ⅰ）由正弦定理可知：
sin sin a c A C =,已知πsin sin 3c A a C ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以
sin sin sin (sin cos
cos sin )33
C A A C C π
π
⋅=⋅⋅+⋅，(0,)sin 0A A π∈∴≠Q ,
所以有sin tan 3
C C C C π
=⇒=⇒=
.
（Ⅱ）41
sin 12,132a S ab C ab a b b =⎧=⋅==-=⇒⎨
=⎩
，由余弦定理可知：
2
2
2
2cos 13c a b ab C c =+-⋅=⇒=222cos sin 2b c a A A bc +-==⇒==
,
211
sin 22sin cos 22cos 113
A A A A A =⋅=
=-=-,
()cos 2cos 2cos sin 2s 1111
132i 1326
n 2A C A C A C -
⨯+=+⋅=
-⋅=.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函数关系，考查了运算能力.
23．已知函数()2
2ln 2
x f x mx x =++，m R ∈.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）已知()f x 在1x =处的切线与y 轴垂直，若方程()f x t =有三个实数解1x 、2x 、3x （123x x x <<），求证：132x x +>.
【答案】（1
）①当m ≥- ()f x 在()0,∞+单调递增,
②当m <-()f x
单调递增区间为
0,2m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
,2m ⎛⎫
-++∞
⎪ ⎪⎝⎭,
单调递减区间为,22m m ⎛---+ ⎪⎝⎭
（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）先求解导函数，然后对参数m 分类讨论，分析出每种情况下函数()f x 的单调性即可；
（2）根据条件先求解出m 的值，然后构造函数1()()(2)(02)x f x f x x ϕ=--<<分析出12,x x 之间的关系，再构造函数2()()(4)(14)x f x f x x ϕ=--<<分析出23,x x 之间的关系，由此证明出132x x +>. 【详解】
（1）2()2ln 2x f x mx x =++
，222()x mx f x x m m x x '++=++==++
①当m ≥-()0f x '≥恒成立，则()f x 在()0,∞+单调递增
②当m <-()0f x '=得220x mx ++=，
解得1x =
，2x =
又1212
20x x m x x +=->⎧⎨
=>⎩，∴120x x <<
∴当0,
2m x ⎛-∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增；
当x ⎝⎭
时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当,2m x ⎛⎫
-+∈+∞
⎪ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增. （2）依题意得，()130f m '=+=，则3m =-
由（1）得，()f x 在()0,1单调递增，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增 ∴若方程()f x t =有三个实数解()123123,,x x x x x x <<， 则123012x x x <<<<< 法一：双偏移法
设1()()(2)(02)x f x f x x ϕ=--<<，则2
1
224(1)()402(2)
x x x x x x ϕ'
-=+
-=≥-- ∴()1x ϕ在()0,2上单调递增，∴(0,1)x ∀∈，11()(1)0x ϕϕ<= ∴()()()()111112001x f x f x x ϕ=--<<<，即()()112h x h x <-
∵()()12f x f x t ==，∴()()212f x f x <-，其中()21,2x ∈，()121,2x -∈ ∵()f x 在()1,2上单调递减，∴212x x >-，即122x x +>
设2()()(4)(14)x f x f x x ϕ=--<<，2
2
222(2)()204(4)
x x x x x x ϕ'
-=+
-=≥-- ∴()2x ϕ在()1,4上单调递增，∴()1,2x ∀∈，()()2220x ϕϕ<= ∴()()()()222224012x f x f x x ϕ=--<<<，即()()22 4f x f x <-
∵()()23f x f x t ==，∴()()324f x f x <-，其中()32,x ∈+∞，()242,3x -∈ ∵()f x 在()2,+∞上单调递增，∴324x x <-，即231242x x x x +<<++ ∴132x x +>. 法二：直接证明法
∵122x +>，32x >，()f x 在()2,+∞上单调递增， ∴要证132x x +>，即证()()()1312f x f x t f x +>==
设()(2)()(0)x f x f x x ϕ=+->，则222(1)(1)
()22(2)
x x x x x x x ϕ'=-+=
++
∴()x ϕ在()
1上单调递减，在
)
1,+∞上单调递增
∴1(0,1)x ∀∈，()11)1)1)2[ln(23]0x f f ϕϕ≥=-=>
∴()()()11120x f x f x ϕ=+->，即()()()1132f x f x f x +>=
（注意：若ln(230>没有证明，扣3分）
关于ln(230+>的证明：
（1）0x ∀>且1
x e
≠
时，ln 2x ex <-（需要证明），其中 2.721e <<+
∴ln(2(221)(223e <--<--=
∴ln(2ln
ln(23
==->
∴ln(230+>
（21 2.73e >>，∴ln(42ln(12ln 2e +=+>=
∴ln 2ln(22++>，即ln(22ln 2+>-
∵1021024=，772.71046e >>，∴1072e <，则10ln 27ln 20.7<⇒<
∴ln(22ln 220.7 1.33>->-=>-【点睛】
本题考查函数与倒导数的综合应用，难度较难.（1）对于含参函数单调性的分析，可通过分析参数的临界值，由此分类讨论函数单调性；（2）利用导数证明不等式常用方法：构造函数，利用新函数的单调性确定函数的最值，从而达到证明不等式的目的.。