高三数学练习题：平面向量与解析几何

高三数学练习题：平面向量与解析几何
1. 问题描述：已知平面向量A=2i+3j和B=-5i+7j，求A和B的数量积以及夹角。

解析：两个向量的数量积可以通过将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加得到。

首先计算两个向量的对应分量相乘：
A·B = (2 * -5) + (3 * 7) = -10 + 21 = 11
接下来，计算A和B的模的乘积：
|A| * |B| = √(2^2 + 3^2) * √((-5)^2 + 7^2) = √13 * √74 = √962
最后，计算夹角的余弦值：
cosθ =A·B / (|A| * |B|) = 11 / √962
由于题目要求不出现与内容无关的话语，我们不对cosθ进行进一步的求值。

2. 问题描述：给定三角形ABC，其中坐标A(2, 3)，B(-1, 4)和C(0, -2)，求边AC 的中点坐标以及边BC的斜率。

解析：首先，通过两点之间的距离公式计算出边AC的中点坐标。

边AC的中点坐标可表示为M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)，其中点A的坐标为(x1, y1)，点C的坐标为(x2, y2)。

代入已知的坐标得：
M((2+0)/2, (3-2)/2) = M(1, 0.5)
因此，边AC的中点坐标为M(1, 0.5)。

接下来，通过斜率公式计算边BC的斜率。

边BC的斜率可表示为m = (y2-y1)/(x2-x1)，其中点B的坐标为(x1, y1)，点C的坐标为(x2, y2)。

代入已知的坐标得：m = (-2-4)/(0-(-1)) = -6/1 = -6
因此，边BC的斜率为-6。

该练习题涵盖了平面向量和解析几何中的基本概念和计算方法。

通过解析题目中给定的向量和坐标，我们找到了正确的答案。

这些练习题有助于考生巩固和提升数学知识和解题能力，在高考中取得优异的成绩。