2024七年级数学下册第12章证明12.3互逆命题课件新版苏科版

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另解1： ∵ ∠ 1= ∠ 2，∠ 2= ∠ GHD， ∴∠ 1= ∠ GHD.∴ AB ∥ CD. ∵∠ 2＋∠ 3=180°,∠ 2＋∠ DHP=180°, ∴∠ 3= ∠ DHP.∴ EF ∥ CD.∴ AB ∥ EF.
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另解2： ∵∠ 2＋∠ 3=180°,∠ 3＋∠ HPF=180°, ∴∠ 2= ∠ HPF. ∵∠ 1= ∠ 2, ∴∠ 1= ∠ HPF. ∴ AB ∥ EF.
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知识点 4 直角三角形的性质与判定
1. 性质 直角三角形的两个锐角互余. 符号语言：如图12.3-2，在△ ABC 中， ∵∠ C=90°，∴∠ A＋∠ B=90° .
2. 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形. 符号语言：如图12.3-2，在△ ABC 中， ∵∠ A＋∠ B=90°，∴△ ABC 是直角三角形.
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证明：∵∠ ACB=90°， ∴∠ A＋∠ B=90°(直角三角形的性质). ∵∠ ACD= ∠ B， ∴∠ A＋∠ ACD=90°(等量代换). ∴△ ACD 是直角三角形(直角三角形的判定). ∴∠ CDA=90°，∴ CD ⊥ AB.
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(2)你在(1)中的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 解题秘方：利用直角三角形的性质与判定求出CD 与AB 的夹角为90° 解：用到的两个互逆的真命题是“直角三角形的两个锐 角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”.
那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中的一个命题
叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题，即其
中一个命题是另一个命题的逆命题.
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2. 拓展 如果互逆的两个命题中的原命题与逆命题都是真命
题，这时我们也称它们是互逆定理，如平行线的性质定 理和判定定理就是互逆定理.
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特别解读 1. 如果一个命题是真命题， 那么它的逆命题可
第12章 证 明
12.3 互逆命题
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
互逆命题、逆命题 反例 平行的基本性质 直角三角形的性质与判定
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
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知识点 1 互逆命题、逆命题
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1. 定义
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命
题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，
能是真命题，也可能是假命题. 2. 逆命题是相对于另一个命题(原命题)而言的，
每个命题都有逆命题.
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例 1 下列各组命题是否为互逆命题？
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(1)“有理数的平方是非负数”与“如果一个数的平方
是非负数，那么这个数是有理数”；
(2)“等底等高的两个三角形面积相等”与“如果两个
三角形的面积相等，那么这两个三角形等底等高”；
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方法点拨 要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例
即可．而正确的反例需要符合命题的条件，不符合 命题的结论. 此题针对选项逐一判断，选择符合反例 的定义的一项即可.
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知识点 3 平行的基本性质
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1. 平行的基本性质
如果两条直线都与同一条直线平行，那么这两条
直线也互相平行. 简称：平行于同一条直线的两条直
内角和定理证明.
2. 在直角三角形中，若已知两个锐角之间的倍分
关系，可以结合两锐角互余求出每个锐角的大小，
而不必再使用三角形内角和定理求解.
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例4 (1)如图12.3-3，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， ∠ ACD= ∠ B. 求证：CD ⊥ AB；
解题秘方：利用直角三角形的性质 与判定求出CD 与AB的夹角为90°
n2”是假命题，所列举的反例可以是( )
A. m=3，n=6
B. m=6，n=3
C. m=－3，n=－6
D. m=－6，n=－3
解题秘方：紧扣举反例“符合命题的条件，不符合 命题的结论”逐一进行判断．
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解：A. ∵ 3<6，不符合命题的条件，∴所列举反例错误； B. ∵ 6>3，62>32，符合命题的条件，也符合命题的结 论，∴所列举反例错误； C. ∵ －3>－6，(－3)2<(－6)2，符合命题的条件，不 符合命题的结论，可以推出原命题是假命题，∴所列举 反例正确；D. ∵ －6<－3，不符合命题的条件，∴所列 举反例错误. 答案：C
例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例.
2. 易错警示
举反例时，要符合命题的条件，但不符合命题的
结论.
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特别解读 反例的列举必须符合实际，举反例时，可以用
文字语言来表述，也可以用数据来说明，还可以用 图形来表示.
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例2 [期中·南京建邺区] 为说明命题“若m>n，则m2>
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方法点拨 判断两个命题是否为互逆命题，先确定每一个命
题的条件和结论，然后根据两个命题是否将条件和 结论互换位置进行判断. 对于条件与结论不是很明显 的命题， 可先将命题改写为“ 如果……， 那么……” 的形式.
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知识点 2 反例
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1. 定义 举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的
(3)“若ab=0，则a=0 或b=0”与“如果ab ≠ 0，那么
a ≠ 0 且b ≠ 0”.
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解题秘方：紧扣互逆命题的定义进行判断.
解：(1)(2)中的命题是互逆命题；(3)中第一个命题的 条件是“ab=0”，结论是“a=0 或b=0”；而第二个命 题的条件是“ab ≠ 0”，结论是“a ≠ 0 且b ≠ 0”，故 它们不是互逆命题.
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3. 应用 利用直角三角形的性质可以得到两个锐角的数量关 系，而在判定一个三角形是直角三角形时，除利用直角 三角形的定义外，还可找出两个互余的锐角，从而直接 判定其为直角三角形.
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知识储备
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1.“直角三角形的两个锐角互余”及“有两个角
互余的三角形是直角三角形”都可以利用三角形的
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解：AB ∥ EF. 理由如下：
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∵ ∠ 1= ∠ 2，∠ 1= ∠ AGH，
∴∠ 2= ∠ AGH.
∴ AB ∥ CD(同位角相等，两直线平行).
∵∠ 2＋ ∠ 3=180°，∠ 3= ∠ EPH，
∴∠ 2＋ ∠ EPH=180°.
∴ EF ∥ CD(同旁内角互补，两直线平行).
∴ AB ∥ EF(平行于同一条直线的两条直线平行).
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教你一招
证明两条直线垂直的方法：
1.定义法：推导相交的两条直线的夹角中有一个 角为直角.
2. 证明直角三角形法：在三角形中，推导出两个 角的和为90°，从而得到三角形为直角三角形.
互逆命题
互逆命题
命题 结构
条件 结论
结论 条件
结构 逆命题
线平行.
此性质体现了平行具有传递性.
2. 符号语言
如果a ∥ c，b ∥ c，那么a ∥ b.
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例 3 如图12.3-1，直线MN 和直线AB、CD、EF 分别交于 点G、H、P，∠ 1= ∠ 2，∠ 2＋∠ 3=180 °. 试问： AB与EF 平行吗？为什么？ 解题秘方：本题考查了平行线 的判定方法，解题的关键是根 据已知的角的数量关系选择合 适的判定方法进行说明.