整数与整除

例 12、某班学生不到 50 人，在一次测验中， 1 1 有 的学生得优， 的学生得良， 7 3 1 的学生及格，问有多少人不及格？ 2
例13、 动物园的饲养员给三群猴子分花生， 如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒； 如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒； 如果只分给第三群，则每只猴子可得20粒。 那么，平均分给三群猴子，每只可得多少粒？
例17、 今天是星期一，从今天起 102009 天后是星期几？
（ 102009 102004 105 ，
102009 102004 105 (106 ) 334 105 1334 105 35 2 2 3 12 5(mod7)
所以与今天起 5 天后是星期几相同，是星期六）
am m
Hale Waihona Puke 则 N 的约数的个数为(1 a1 )(1 a2 )(1 a3 )(1 am )
（3）奇数与偶数的性质
3、数的整除特征 （1）能被2整除的数的特征 （2）能被5整除的数的特征 （3）能被4、25整除的数的特征 （4）能被8、125整除的数的特征
（5）能被3、9整除的数的特征
例4、27名小运动员所穿的运动服的号码恰是 1，2，3，4，…，26，27这27个自然数。 问：这27名小运动员能否站成一个圆圈， 使得任意相邻两个运动员的号码数之和都是质数？ （这些小运动员能否站成一排，使得任意 相邻两个运动员的号码数之和都是质数？）
（答案：3，26，5，24，7，22，9，20，11， 18，13，16，15，14，17，12，19，10，21， 8，23，6，25，4，27，2，1）
整数与整除
一、基础知识 1.概念
自然数、奇数与偶数、质数与合数、整除、余数、 同余、约数与倍数、最大公约数与最小公倍数、 分解质因数。
2、性质
（1）算术基本定理（质因数分解定理）
N p p p p
a1 1 a2 2 a3 3
am m
（2）约数个数定理
N p p p p
a1 1 a2 2 a3 3
例5、甲、乙两人岁数之和是一个两位数，这个 两位数是一个质数，这个质数的数字之和是13， 甲比乙也刚好大13岁，求甲乙两人各多少岁？
例6、现有11块铁，每块的重量都是整数。 任取其中10块，都可以分成质量相等的两组， 每组有5块，试说明这11块铁每块的质量都相等。 例7、有15名同学参加一篇论文的讨论会， 有没有可能每个同学都恰好与5名同学讨论 过问题？为什么？（每次讨论都是一对一）
（6）能被11整除的数的特征 （7）能被7、11、13整除的数的特征
二、例题
例1、将1999表示为两个质数之和： 1999=□+□， 在□中填入质数，共有多少种填法？ 例2、有一本书不小心被撕掉了12张。请问： 被撕掉的12张上的所有页码之和能否为2009？ 例3、求约数个数为10的最小的自然数。
例8、一个商人将弹子放在两种大小的盒子中， 每个大盒子装12个，小盒子装5个，恰好装完， 如果弹子的总数为99个，盒子数大于10， 问两种盒子各多少个？
例 9、19
93
93 的末位数字是几？
19
例 10 证明 333
777
777 能被 37 整除。
333
例11、 某数除193余4，除1087余7， 求这种数中最大的一个。
例 14、七位数 A1994BC 能被 9，5 和 8 整除， 试确定 A，B 和 C 的值。
例15、 任取一个四位数，乘 3456，用 A 表示 其积的各位数字之和。用 B 表示 A 的 各位数字之和，用 C 表示 B 的各位数 字之和。求 C。
例 16、已知 2134 a4 64 a3 63 a2 62 a1 6 a0 ， 求 a4 ， a3 ， a2 ， a1 ， a0 分别等于多少？