新人教版高中数学必修2课件：8.4.1 平面

分析(1)根据条件,先适当确定其中的某一个平面,再根据点、线、面的位 置关系,将其附着于固定平面上,注意图形的立体感,要将被遮挡部分用虚 线表示.(2)用文字语言、符号语言表示一个图形时,应仔细观察图形有几 个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何.
解 (1)①符号语言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC;图形表示如图①所 示. ②符号语言:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC;图形表示 如图②所示.
思维脉络
课前篇 自主预习
激趣诱思
在数学语言的研究中,通常按数学语言所使用的主要词汇,将数学语言分为 三种:文字语言、符号语言、图形语言.例如“点A在直线l上”是利用文字来 描述,以语言的形式表达出来的,因而称其为该定理的文字语言;“A∈l”是用 符号的形式将定理表达出来,因而称其为符号语言;如果我们以图例或实物 来表示定理的条件和结论,则称其为该定理的图形语言.通过文字语言表达 数学问题,言简意赅,寓意深刻;通过符号语言表达数学问题,简明扼要,国际 通行;通过图形语言表达数学问题,形象生动,记忆深刻.几种语言各有特点, 在学习立体几何时,应充分发挥不同语言的教育功能.
依据;(2)判定 点在直线上
2.三个推论
推论 内容
图形
推论1
经过一条直线和这条直线外一点, 有且只有一个平面
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个 平面
推论3
经过两条平行直线,有且只有一个 平面
微思考 (1)如何理解基本事实1中的“有且只有一个”? 提示这里的“有”是说平面存在,“只有一个”是说平面唯一,本公理强调的是 存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅 用“只有一个”来代替“有且只有一个”,否则就没有表达存在性.确定一个平 面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词,也就是存在性和唯一性这两个 方面的,这个术语今后学习中会经常出现.
名师点析平面的概念可从以下三个方面理解 (1)“平面”是平的;(2)“平面”无厚度;(3)“平面”可以向四周无限延展.
微练习 判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)平面的形状是平行四边形; (2)任何一个平面图形都是一个平面; (3)两个平面相交的画法中,一个平面被另一个平面遮住时,被遮部分的线 段应画成虚线或不画; (4)三角形、圆、平行四边形都可以表示平面.
知识点二、点、直线、平面之间的位置关系
文字语言表达
图形语言表达
点 A 在直线 l 上
点 B 在直线 l 外
点 A 在平面 α 内
点 P 在平面 α 外
直线 l 在平面 α 内
直线 l 不在平面 α 内
平面 α 与 β 相交于直线 l
符号语言表达 A∈l B∉l A∈α P∉α l⊂α l⊄α
α∩β=l
变式训练下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是 ()
答案 D 解析 选项A错误,理由是两平面的交线没画出,且被遮挡的部分未用虚线画 出;选项B,C都错误,理由是被遮挡的部分未用虚线画出.D正确.
当堂检测
1.下列说法正确的是( ) A.镜面是一个平面 B.一个平面长10 m,宽5 m C.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍 D.所有的平面都是无限延展的 答案 D 解析 镜面可以抽象成平面,但不是平面,所以选项A不正确;平面没有大小, 所以选项B和选项C都不正确,故选D.
.(填“共线”或“不共线”)
答案 共线
解析 如图所示,连接A1B,BD1,CD1.
∵A1C∩平面ABC1D1=E, ∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1. ∵A1C⊂平面A1BCD1, ∴E∈平面A1BCD1. ∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1, ∴E∈BD1, ∴B,E,D1三点共线.
①
②
(2)文字语言:平面α内的直线m和n相交于点A.符号语言:m⊂α,n⊂α,且 m∩n=A.
方法点睛 用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形,有 几个平面且位置关系如何,有几条直线且位置关系如何,图中的直线和平面 的位置关系如何,有几点且在哪条直线或哪个平面上等,试着用文字语言表 示,然后用符号语言表示.根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注 意实线和虚线的区别.
反思感悟 点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的 唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可 先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上.
变式训练1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.
则B,E,D1三点的关系为
(2)两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗? 提示不能.要么没有公共点,要么有无数个公共点. (3)如果两个不重合的平面有无数个公共点,那么这些公共点有什么特点? 提示这些公共点落在同一条直线上.
微练习
空间任意四点最多可以确定平面的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 D
解析 空间任意四点最多可以确定平面的个数是4,例如空间任意四点为三
知识点拨
知识点一、平面
平面的 几何里所说的“平面”,就是从生活中一些物体中抽象出来的. 描述性 平面是向四周无限延展的
概念
我们通常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面
水平 常把平行四边形的一边画成
放置 横向
画 法 竖直 常把平行四边形的一边画成
放置 竖向
(1) 记 法 (2)
(3)
用希腊字母α,β,γ等表示平面,如平面α、平面β、平面γ等,并 将它写在代表平面的平行四边形的一个角内 用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母作为 这个平面的名称,如平面ABCD 用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字 母作为这个平面的名称,如平面AC或者平面BD
微练习
如图,点A
平面ABC;点A
平面BCD;BD
平
面ABD;平面ABC∩平面BCD=
.
答案 ∈ ∉ ⊂ BC
知识点三、平面的基本性质
1.平面的基本性质
基本 事实
内容
图形
过不在一条直线
基本
事实1
上的三个点,有且 只有一个平面
符号
作用
A,B,C三点不 共线⇒存在唯 一的平面α使 A,B,C∈α
(1)确定平面 的依据;(2)判 定点、线共 面
要点笔记证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点, 再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线 上,则可得三线共点.
变式训练2如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H
分别是CD和AD上的点,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.
求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
分析证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面α内,即得P,Q,R共线.也可以 证明点Q既在平面APR内,也在平面α内,即点Q在平面APR与平面α的交线 PR上.
证明 (方法一)∵AB∩α=P, ∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平
证明 方法一(纳入平面法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面 α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2⊂α,∴B∈α. 同理可证C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α. ∴直线l1,l2,l3在同一平面内. 方法二(辅助平面法)∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一
2.下列说法中正确的是( ) A.空间三点可以确定一个平面 B.三角形一定是平面图形 C.若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合 D.四条边都相等的四边形是平面图形 答案 B 解析 必须是不共线的三点确定一个平面,故A错误;因为三角形的3个顶点 不共线,所以一定是平面图形,故B正确;当A,B,C,D四点在两个平面的交线 上时,满足条件,但是这两个平面相交,故C错误;比如四条边都相等的空间 四边形则不是平面图形,故D错误.故选B.
个平面β.
∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在
平面β内.
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
反思感悟 证明点、线共面问题常用方法有: (1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用 “纳入平面法”; (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β, 再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”; (3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”. 注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写 出已知与求证,再证明.
证明 延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,
∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH, ∴四边形EFGH为梯形, ∴EH,FG共面,且EH与FG不平行. ∵O∈EH,EH⊂平面ABD, ∴O∈平面ABD, ∵O∈FG,FG⊂平面BCD,∴O∈平面BCD. ∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD, ∴EH,BD,FG三条直线相交于同一点O.
解(1)不正确.平面常用平行四边形表示,但不是平行四边形,平面是无限延 展的. (2)不正确.平面图形与平面是两个不同的概念,平面图形具有大小、面积 等属性,而平面则没有,平面是无限延展的,不可度量的. (3)正确.符合直观图Байду номын сангаас法的规则. (4)正确.三角形、圆、平行四边形都是平面图形,都可以表示平面.
延伸探究如果把本例中的“不过同一点”删掉,那么这三条直线是否共面?
解 不一定共面. ①若三条直线两两相交,且过同一个点. 这三条直线在同一个平面内相交,如图.
这三条直线不共面.如图. ②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由【例1】可知,这三条直线共面.
探究二 证明点共线 例2已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图. 求证:P,Q,R三点共线.
棱锥A-BCD的顶点时,可以确定平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD.
课堂篇 探究学习
探究一 证明点、线共面 例1证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面. 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
分析先由l1与l2确定一个平面,再证明l3在这个平面内.也可以证明l1,l2确定 的平面α与l2,l3确定的平面β重合.
第八章 8.4.1 平面
内
01 课前篇 自主预习
容
索
02 课堂篇 探究学习
引
课标阐释
1.了解平面的概念,会用图形与字母表示平面.(数学抽象) 2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关 系.(数学抽象) 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实(基本事 实也称公理)及其推论.(逻辑推理、直观想象) 4.理解三个基本事实及推论的地位和作用.(逻辑推理)
素养形成
转化思想在文字语言、图形语言与符号语言中的应用 典例(1)用符号语言表示下列语句,并画出图形. ①三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相 交于PB,平面β与平面γ相交于PC; ②平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC. (2)用文字语言和符号语言表示下图.
探究三 证明线共点 例3如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于不同的直线,即 α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.
分析由a,b都在平面γ内且不平行,得a,b相交,再证明交点在c上,即证明交点 在以c为交线的两个平面α,β内.
证明 ∵α∩γ=b,β∩γ=a, ∴a⊂γ,b⊂γ. ∵直线a和b不平行,∴a,b必相交. 如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b.∵a⊂β,b⊂α, ∴P∈β,P∈α. 又α∩β=c,∴P∈c,即交线c经过点P.∴a,b,c三条直线必过同一点.
面ABC与平面α的交线上,
∴P,Q,R三点共线.
(方法二)∵AP∩AR=A, ∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又AB∩α=P,AC∩α=R,
∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR,C∈平面APR, ∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α, ∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
基本 事实
内容
如果一条直线上的
基本 两个点在一个平面内
事实2 ,那么这条直线在这
个平面内
如果两个不重合的平
基本 面有一个公共点,那
事实3 么它们有且只有一条
过该点的公共直线
图形
符号
作用
A∈l,B∈l,且 判定直线是 A∈α,B∈α⇒l 否在平面内 ⊂α
P∈α,且
(1)判定两个 平面相交的
P∈β⇒α∩β=l, 且P∈l