第二型曲线积分、格林公式

∵T
1
{dx, dy,dz} 1 {dx, dy, dz} 。
(dx)2 (dy)2 (dz)2
ds
∴ ATds A{dx, dy, dz} Pdx Qdy Rdz 。
∴第二型曲线积分也可记作
C P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz ，

{P[x(t), y(t), z(t)]x(t) Q[x(t), y(t), z(t)]y(t)
R[x(t), y(t), z(t)]z(t)]}dt
10
第五章 多元函数微分学及其应用
注（1）当 C 是平面曲线，其参数方程为 x x(t), y y(t) 时，
其中 cos , cos , c o s 是 C 上点 ( x, y, z) 处对于所给方向的
单位切向量T 的方向余弦。
15
第五章 多元函数微分学及其应用
二、格林公式
1、单连通区域与复连通区域 若平面区域 D 内任一封闭曲线围成的部分都属于 D，则 D 称为单连通区域，否则称为复连通区域。
t 单调地由 变到 时，动点 M( x, y, z) 描出由点 A 到点 B 的
曲线弧 C。设 A( x, y, z) {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} 在 C 上
连续，则

C A( x, y, z) ds C Pdx Qdy Rdz
把曲线段 C 任意分成 n 个有向小弧段
⌒
Ai-1 Ai
(i

1,2,,
n)
，第
i
段弧
⌒
Ai-1 Ai
A1
A2
的长度记为 si 。
A Ao
o
x
B An Ai-1 Ai
Mi
y
2
第五章 多元函数微分学及其应用
近似：
M i
( i
,i
,
i
)
⌒
Ai-1 Ai
，则质点沿曲线
C
从点
Ai -1
终点的有向光滑曲线弧。用分点 A Ao , A1, A2 , An-1, An B ，
把 C 任意分成 n 个有向小弧段
⌒
Ai-1 Ai (i 1,2,, n),
⌒
Ai-1 Ai
⌒ 的长度记为 si，令d m1ianx{si } ， Mi (i ,i , i ) Ai-1 Ai ，
通俗地说，单连通域就是不含有“洞”(包括点“洞”)的区域。
2．区域 D 的边界曲线 C 的正向
规定 C 的正向如下：
DC
当观察者沿 C 的此方向行走时，
D 靠近它的部分总在它的左侧。
D
C2
C1
16
第五章 多元函数微分学及其应用
3．定理3.1（Green 定理）
设 D 是以逐段光滑曲线 C 为边界的平面闭区域，函数 P( x, y) 、


第二型曲线积分，记作 CA ( x, y, z)T( x, y, z)ds ，即:


n

A( C
x,
y,
z
)

T
(
x,
y,
z)ds

lim
d 0

i 1
A(
i
,i
,
i
)

Ti
(
i
,i
,

i
)si

可以证明，当 A( x, y, z) 在有向光滑曲线 C 上连续时，


C A( x, y, z)T( x, y, z)ds 必存在。
引例中力场 F 所作 的功可以表示为


W C F ( x, y, z) T ( x, y, z)ds 。
6
第五章 多元函数微分学及其应用




设向量值函数 A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k ，
n


作和式 A(i ,i , i ) Ti (i ,i , i )si ，其中Ti T(i ,i , i )
i 1
是 C 上点 Mi 处 相应于所给方向的单位切线向量。
如果当 d 0 时，和式的极限总存在，则称此极限为
5
第五章 多元函数微分学及其应用

向量值函数（或向量场） A( x, y, z) 沿有向曲线 C 的
1
3
14
第五章 多元函数微分学及其应用
5、两类曲线积分之间的联系
∵单位切向量 T

1
{dx, dy, dz} {cos ,cos ,cos } ，
ds
∴ dx cosds ， dy cos ds ， dz cosds 。
CA Tds C Pdx Qdy Rdz C (P cos Q cos R cos )ds
1
(-
y)dy

-
1
-
1

-1.
OB
1
0
22
13
第五章 多元函数微分学及其应用
例．计算曲线积分 xdx y2dy (3z - y - 1 )dz，
是 从点 A(2, 3, 4) 到 B(1, 1, 1) 的直线段。
解：∵直线 AB 的点向式方程为 x - 1 y - 1 z - 1 ，
曲线积分与路径无关
第五章 多元函数微分学及其应用
一、第二型曲线积分
1、 第二型曲线积分的概念与性质
引例：变力沿曲线所作的功

设有一空间力场 F F(x, y, z) ，一质点在力场 F 的作用下 ，
沿空间光滑曲线 C 从 A 点移到 B 点，求力场 F 所作的功 W 。
z 分割： 任取点列 Ao , A1 , A2 , An-1 , An ，
C
-1
-1
5
12
第五章 多元函数微分学及其应用
例．计算曲线积分 C ( x y)dx ( x - y)dy ，
路径 C 是（1）圆弧 AB；（2）折线 AOB。
y
B(0, 1)
(1) ( x y)dx ( x - y)dy AB
x
o
A(1,0)
2 [(cost sint )(-sint ) (cost - sint )cost]dt
则有 C A( x, y) ds C Pdx Qdy
{P[ x(t), y(t)]x(t) Q[ x(t), y(t)] y(t)}dt 。
（2）当平面曲线 C 为 y y( x), a x b ， 起点 x a ，
终点 x b ，则有
0
y
2 [cos2t - sin2t]dt -1. 0
B(0, 1)
(2) ( x y)dx ( x - y)dy AOB
x
( x y)dx ( x - y)dy AO
o
A(1,0)
( x y)dx ( x - y)dy
0
xdx
力场所作第五章多元函数微分学及其应用力场所作的功的近似值为力场所作的功为第五章多元函数微分学及其应用所在空间中一条以a为起点b时和式的极限总存在则称此极限为第五章多元函数微分学及其应用第二型曲线积分记作ds引例中力场所作的功可以表示为ds在有向光滑曲线c上连续时ds必存在
第七章 向量值函数的积分
第二型曲线积分 Green公式
Q( x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则有
C
Pdx

Qdy


D
(
Q x
-
P y
)dxdy
其中 C 是 D 的取正向的边界曲线。
—格林（Green）公式
17
第五章 多元函数微分学及其应用
例．计算 xy2dy - x2 ydx ，其中 C 为顺时针方向的圆周 C x2 y2 R2 。 R4 2
C-
C
其中C -是与 C 反方向的有向曲线弧。 （方向性）
9
第五章 多元函数微分学及其应用
4、第二型曲线积分的计算
定理 1.1 设有向光滑曲线弧 C 的参数方程为 x x(t) , y y(t) ，
z z(t) ，曲线 C 的起点 A 对应 t ，终点 B 对应 t ，当
例．计算曲线积分 (e x sin y - my)dx (e x cos y - m)dy ，其中 C
C 为由点 A (a,0) 至点 O (0,0) 的上半圆周 x2 y2 ax （ a 0 ）。
m a2
8
18
第五章 多元函数微分学及其应用
例．计算 xy2dy - x2 ydx ，其中 C 为顺时针方向的圆周 C
2
d
R 3d

-2
R4

R4
-
.
D
0
0
4
2
错解： - ( x2 y2 )dxdy - R2d -R4 。
D
D
在这里，不能将曲线方程 x2 y2 R2代入被积函数。
19
第五章 多元函数微分学及其应用
例．计算曲线积分 (e x sin y - my)dx (e x cos y - m)dy ，其中 C
移动到 Ai 时 ，力场 F 所作 的功


Wi Fi [siTi ] F(i ,i , i )[siTi (i ,i , i )]
z
其中Ti T(i ,i , i ) 是质点在
点 Mi 处沿曲线 C 的单位 切线向量。
A2 A1
B An
Ai-1 Ai
上式是第二型曲线积分的数量形式或坐标形式，因此 第二型曲线积分也叫做对坐标的曲线积分。
7
第五章 多元函数微分学及其应用
通常将Tds 记为ds ，即 ds {dx,dy,dz}， ds 称为弧长向量微元。

则第二型曲线积分的向量形式为 C A ds 。
若 C 为平面有向光滑曲线弧，向量值函数



A( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j ，则有

CA ds C P( x, y)dx Q( x, y)dy 。
8
第五章 多元函数微分学及其应用
3、第二型曲线积分的性质


设 A A( x, y, z) ， B B( x, y, z) ，则
到点 B(1, 1) 的一段弧。
y B(1, 1)
解：方法 1 将所给积分化为对 x 的定积分来计算。
∴ xydx xydx xydx
C
AO
OBo Nhomakorabea0
x(-
x )dx
1
x
x dx 4 .
1
0
5
y2 x
x
A(1,-1)
方法 2 化为对 y 的定积分来计算。
∴ xydx 1 y2 y(y2 )dy 2 1 y4dy 4 。
1
2
3
x 1t
∴参数式方程为

y

1

2t
，
z 1 3t
xdx y2dy (3z - y - 1)dz
0{(1 t) (1 2t)2 2 [3(1 3t) - (1 2t) - 1] 3}dt 1
0 (6 30t 8t 2 )dt -23 2
Mi
Ti
A Ao
o
y
x
3
第五章 多元函数微分学及其应用
求和： 力场 F 所作的功的近似值为
n
n

W Wi F (i ,i , i ) [siTi (i ,i , i )] ，
i 1
i 1

取极限：令 d m1ianx{si } ，则力场 F 所作的功为
x2 y2 R2 。
y
解：∵ P( x, y) - x2 y ，Q( x, y) xy2 ，
Q - P x2 y2 ，
o
x y
C
Rx
∴ xy2dy - x2 ydx - xy2dy - x2 ydx
C
C-
-
( x2 y2 )dxdy -



（1） C (A B) ds C A ds C B ds ；
（ , 为常数）
（线性性质）



（2） A ds A ds A ds ；
C
C1
C2
其中C C1 C2, C1与C2首尾相接.（对积分弧段的可加性）


（3） A ds - A ds 。
n

W
lim d 0
i 1
F (i ,i , i ) [siTi (i ,i , i )]
n


lim
d 0
i 1
F (i
,i
,
i
) Ti
( i
,i
,
i
)si
。
4
第五章 多元函数微分学及其应用
2、第二型曲线积分的定义
设 C 是向量场 A( x, y, z) 所在空间中一条以 A 为起点，B 为
C A( x, y) ds C Pdx Qdy
b{P[ x, y( x)] Q[ x, y( x)] y( x)}dx 。 a
公式中定积分的下限、上限分别为对应于有向曲线
弧 C 的起点、终点的参数值，下限不一定小于上限。 11
第五章 多元函数微分学及其应用
例．计算 xydx ，其中 C 为抛物线 y2 x 上从点 A(1, - 1) C