【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题七 第二讲 不等式选

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题七 第二讲 不等式选讲（选修4-5）
（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "
1．(2013·陕西高考改编)设a ，b ∈R ，|a －b |>2，求关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集．
解：∵|x －a |＋|x －b |≥|a －b |＞2，∴|x －a |＋|x －b |＞2恒成立，则解集为R.
2．若x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y
的取值范围． 解：依题意得1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋2y )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y x ＋x y ≥3＋2 2y x ·x y
＝3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2－1，y ＝2－22时取等号，因此1x ＋1y
的取值范围是[3＋22，＋∞)． 3．设x ，y ，z 为正数，求证：
2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．
证明：因为x 2＋y 2≥2xy >0，
所以x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)≥xy (x ＋y )，
同理y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，z 3＋x 3≥zx (z ＋x )，
三式相加即可得
2(x 3＋y 3＋z 3)≥xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )，
又因为xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )＝x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )，
所以2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．
4．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.
(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；
(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.
又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.
(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，
2x ＋1，x >2.
所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；
当x >2时，g (x )>5.
综上可得，g (x )的最小值为5.
从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．
5．(2012·新课标全国卷)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.
(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝－3时，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，
2x －5，x ≥3.
当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；
当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；
当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；
所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．
(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.
当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |
⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .
由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.
故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．
6．(2013·呼和浩特模拟)设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)．
(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤8；
(2)若f (x )≥6恒成立，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝1时，|x |＋2|x －1|≤8，
∵f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2，x ≥1，－x ＋2，0<x <1，
－3x ＋2，x ≤0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，3x －2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，－x ＋2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，－3x ＋2≤8，
解得1≤x ≤103
或0<x <1或－2≤x ≤0， ∴不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x －2≤x ≤103.
(2)∵f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2a ，x ≥a ，－x ＋2a ，0<x <a ，－3x ＋2a ，x ≤0，
若f (x )≥6恒成立，由图像可得a ≥6(图像略)，即a 的取值范围为[6，＋∞)．。