人教A版高中数学必修二全书知识点讲解电子书

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判断棱柱、棱锥、棱台形状的方法 (1)棱柱：①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行． (2)棱锥：①只有一个面是多边形，此面即为底面； ②侧棱相交于一点． (3)棱台：①两个互相平行的面，即为底面； ②侧棱延长后相交于一点．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．( ) (2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．( ) (3)(教材改编，P8，T1(2))棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延 长线相交于一点．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)面数最少的多面体的面的个数是________． (2)三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个． (3)四棱台有________个顶点，________个面，________条边． 答案 (1)四 (2)四 (3)八 六 十二 3．(教材改编，P7，T2)有两个面平行的多面体不可能是( ) A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．以上都错 答案 B
解 将各平面图折起来的空间图形如下图所示．
1.正确理解多面体的概念 对多面体概念的理解，注意以下两个方面： (1)多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其他曲面围 成，也不是由空间多边形围成． (2)我们所说的多边形包括它内部的部分，故多面体是一个“封 闭”的几何体． 2.正确理解棱柱的定义 可以从以下三个方面理解棱柱： (1)棱柱的两个主要结构特征： ①有两个面平行； ②各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形． 通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”．
课堂达标自测 1．下列说法中，正确的是( ) A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 答案 D 解析 A 选项不符合棱柱的特点；B 选项中，如图①，构造四棱 柱 ABCD－A1B1C1D1，令四边形 ABCD 是梯形，可知平面 ABB1A1∥ 平面 DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C 选项中，如图
探究 3 空间几何体的展开图问题 例 3 如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何 体？
解 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定 义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台． 拓展提升
空间几何体的展开图 (1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥 空间想象能力和动手能力． (2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母， 先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面． (3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推． 【跟踪训练 3】 根据如下图所给的平面图形，画出立体图．
课堂互动探究 探究 1 对棱柱、棱锥、棱台概念的理解 例 1 下列命题中，真命题有________． ①棱柱的侧面都是平行四边形； ②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点； ③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形； ④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点； ⑤多面体至少有四个面． 解析 棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何 体，因而侧面是平行四边形，故①对． 棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其 侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对． 棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部
棱柱判断的方法 判断棱柱，依据棱柱的定义，先确定两个平行的面——底面，再 判断其余面——侧面是否为四边形及侧棱是否平行． 【跟踪训练 2】 判断下图甲、乙、丙所示的多面体是不是棱 台？
解 根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是不是棱台的标
准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、 下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，在图甲中多面体侧棱延长 线不相交于同一点，不是棱台；图乙中多面体不是由棱锥截得的，不 是棱台；图丙中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因 此也不是棱台．
1．1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 课前自主预习
知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念 1．空间几何体的定义
2．空间几何体的分类
3．相关概念
知识点二 棱柱的结构特征 1．棱柱的定义、图形及相关概念
2．棱柱的分类
□ (1)依据： 6 底面多边形的边数．
(2)举例：三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)…… 知识点三 棱锥的结构特征 1．棱锥的定义、图形及相关概念
④棱锥的各侧棱长相等． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 答案 B 解析 由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个 公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；四面体就是由四 个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体 都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故 ④错误． 5．一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为 60 cm，则每条 侧棱长为________cm. 答案 12 解析 由 n 棱柱有 2n 个顶点，于是知此棱柱为五棱柱，故有 5 条侧棱．又每条侧棱长都相等，且和为 60 cm，可知每条侧棱长为 12 cm.
2．棱锥的分类
□ (1)依据： 6 底面多边形的边数． □ □ (2)举例： 7 三棱锥(底面是三角形)、 8 四棱锥(底面是四边
形)…… 知识点四 棱台的结构特征 1．棱台的定义、图形及相关概念
2．棱台的分类
□ (1)依据： 5 由几棱锥截得． □ (2)举 例 ： 6 三 棱 台 (由 三 棱 锥 截 得 )、 四 棱 台 (由 四 棱 锥 截
答案 A 解析 两个☆不能并列相邻，B、D 错误；两个※不能并列相 邻，C 错误，故选 A.也可通过实物制作检验来判定．
5．下列三种叙述，其中正确的有( ) ①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台； ②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 答案 A 解析 ①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点；②不 正确，因为侧棱延长后不交于一点；③不正确，因为它们的侧棱延长 后不一定交于一点，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的 几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台． 二、填空题 6．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________． ①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱 长都相等；③棱柱中至少有 2 个面的形状完全相同；④相邻两个面的 交线叫做侧棱． 答案 ①③ 解析 ①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面 上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个 底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误， 因为底面和侧面的交线不是侧棱． 7.如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别为 CD，BC 的中点，沿 AE，AF，EF 将其折成一个多面体，则此多面体是________．
答案 三棱锥(或四面体) 解析 此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体． 8．长方体 AC1 的长、宽、高分别为 3、2、1，从 A 到 C1 沿长方 体的表面的最短距离为________． 答案 3 2 解析 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝3，BC＝2， BB1＝1.如图(1)所示，将侧面 ABB1A1 和侧面 BCC1B1 展开，则有 AC1 ＝ 52＋12＝ 26，即经过侧面 ABB1A1 和侧面 BCC1B1 时的最短距离是 26；
课后课时精练 A 级：基础巩固练 一、选择题 1．下列几何体中，柱体有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 答案 D 解析 根据棱柱的定义知，这 4 个几何体都是棱柱． 2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
答案 D 解析 图 A 缺少一个面；图 B 有五个侧面而两底面是四边形， 多了一个侧面；图 C 也是多一个侧面，故选 D. 3．具有下列哪个条件的多面体是棱台( ) A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 答案 D 解析 棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要是棱台应具备两 个条件：一是上、下底面平行，二是各侧棱延长后必须交于一点，选 项 C 只具备一个条件，选项 A，B 则两条件都不具备． 4．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则 这个正方体礼品盒的表面展开图应该为 ( )
②，底面 ABCD 可以是平行四边形；D 选项是棱柱的特点．故选 D.
2．下列三种叙述，正确的有( ) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；② 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个 面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 答案 A 解析 本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底 面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选 A.
3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是( )
答案 C 解析 本题考查三棱柱展开图的形状．显然 C 无法将其折成三 棱柱，故选 C. 4．下列说法中，正确的是( ) ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几 何体是棱锥； ③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
探究 2 对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断 例 2 如图长方体 ABCD－A1B1C1D1，
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面 BCEF 把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还 是棱柱吗？ 解 (1)是棱柱．是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行 的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边 都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱． (2)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱 BB1F－CC1E 和棱柱 ABFA1－DCED1. [条件探究] 若本例(2)中将平面 BCEF 改为平面 ABC1D1，则分 成的两部分各是什么体？ 解 截 后 的 两 部 分 分 别 为 棱 柱 ADD1－ BCC1 和 棱 柱 AA1D1－ BB1C1. 拓展提升
(2)有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行，如长方
体，有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面．
(3)从运动的观点来看，棱柱也可以看成是一个平面多边形从一
个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，其运动轨迹所形
成的几何体． 3.正确认识棱锥的结构特征 棱锥是一种非常重要的多面体，它有两个本质特征： (1)有一个面是多边形；
(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 4.正确认识棱台的结构特征 (1)上底面与下底面是互相平行的相似多边形； (2)侧面都是梯形；
(3)侧棱延长线必相交于一点． 5.立体图形的展开和平面图形的折叠 立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空间立体感的较好方 法，解此类问题可以结合常见几何体的定义和结构特征，进行空间想 象或亲自动手制作侧面展开图进行实践.
分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原 棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确.
因而真命题有②④⑤. 答案 ①②④⑤ 拓展提升
关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法 (1)根据几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定 义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模 型通过演示进行准确判断． (2)解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体 的结构特征，并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析，即要说 明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可． 【跟踪训练 1】 下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． 答案 ①② 解析 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； ②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．