Besov函数类的宽度问题

应用离散化方法将利用minkowskii和holder不等式通过卷积思想这样可以保证它的光滑性定义算子得到其结果如下22定理6令并且那么有其中表示对于两个非负序列关系表示存在某一个正数c使得对于一切的n有cb而弱等价关系表示系并且系现在对各向同性函数的n宽度的结果已经更加完善许多经典函数空间n宽度的估计问题在逼近论中占有非常重要的地位
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北 方 工业 大 学理 学 院 １ ０ ４ ０１ ０
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子作为逼近方法的特征 ，开辟 了单调算子 逼近理论的新方向 （ 见线性 正算子逼近 ） 。 ４ 年代 中期法瓦尔在概括前人对线性算子 ０ 子 各 类 宽 度 的 定 叉和 各 向 同 性 和 异 性 函 数 类 逼近的研究成果的基础上 ，提出 了线性算 蟾 结 果 子的饱和性概念作为刻画算子的逼近性能 的一个基本概念 ，开辟 了算子饱和理论研 函数逼近 ； 宽度 ； 向褥性 ； 各 各向异性 ｊ 究 的 新方 向 。２ 纪初 在 一 批 杰 出的 数学 ０世 家 ，包括 Ｃ ・ ｛・ 恩斯 坦 、Ｄ ・ 克 森 、 Ｉ 伯 杰 二 、函 数 逼 近 论基 本 定 义 及 现有 函数 逼 近 论 的产 生 和 发 展 概 Ｃ ・ ｅｌ 瓦 莱 一普 桑 、Ｈ ・ ・ 贝格 等 人 结果 ｄ ａ Ｌ 勒 貌 的 积 极 参加 下 ，开 创 了 最 佳逼 近 理论 蓬 勃 下面给 出几种宽度的基本定义参ｌＩ 函数 逼 近 论 是 一 门 历 史悠 久 ， 内 容丰 发 展 的 阶 段 。 （ ）Ｋｏｍｏ ｏｏ 一宽 度 ：设 Ｘ 是 一 ｌ ｇ ｒｖ ｎ 富且实践性很强的数学 ，它和现 代计算数 逼近论在现代发展 中出现 了两个主要 赋 范线 性 空 间 ， Ａ是 Ｘ的 某 一子 集 ， 么 Ａ 那 学 的 发 展 有 密 切 的联 系 。逼 近 论 发展 的古 方向—— 宽度论和最优恢复 。逼近论 中宽 在 ｘ中的 Ｋｏｍｏ ｏ ｏ 一宽度如下定义： ｌ ｇ ｒｖ ｎ 典时期 ，是以单变量 的函数构造论作为探 度 问题 的 研 究 开 始 于 Ａ ・ ・ ｏｍｏ ｏｏ ， Ｎ ｋ ｌ ｇ ｒｖ （；） ｉ｛ 一 ： ＝ｎ ｓｐｎ ｂ Ｊ １ ｎ Ｅ４ 讨 重 点 ， 代 函数 逼 近 论 的 主攻 方 向 ， 经 但是在这 以后直到五十年代末 ，这一 问题 ｄ ，Ｙ＝ ｆ （； ） ｝ｉｆｕ ｉｆ —’ 现 已 逐 步 转 向 多元 逼 近 和 各 种 构 造 性 逼 近 工 具 的研 究 基 本 处 于停 滞 状 态 。 １５ 年 开 始 ， 从 ９９ 其 中等 式 右 侧 的 下 界是 取 遍 所 有 Ｘ的 ｎ 维 一 的 研究 方 面 。 Ｖ ・ ・ ｉｈ ｍｉｏ 发表 了一 系 列 关于 宽 度 子 空 间 Ｘ， Ｍ Ｔｋ ｏ ｒｖ 、 从 １ 世 纪 到 １ 世 纪 初 期 ， Ｌ・ 拉 、 ８ ９ 在 欧 问题 的论 文 ，促 使 这 一方 面 的研 究 活 跃 了 （ ）线性 ｎ 二 一宽 度 ：设 Ｘ 是赋 范 线 性 Ｐ ・ Ｓ ・ 普 拉斯 、Ｊ ・ 拉 一Ｂ ・ 一Ｊ ・ 起来 ，逐 渐形成 了逼近论 中的一个新的研 空间，Ａ是 Ｘ的某一子集 ，那么 Ａ在 Ｘ中 傅 里叶 、Ｊ・ ～Ｖ ・ 彭赛列等数 学家 的研究 究方 向 。而 是 多年 来 这 一 方 向的 研 究 已经 的 线性 ｎ 一宽 度 如下 定 义 ： 工作 中已涉及一些个别 的具体 函数的最佳 积 累 了十 分 丰 硕 的 成 果 。我 们 可 以列 举 以 ６ （： ＝ｎ ｓｐ － ） ｉｆｕ ｂ一 （ 逼近 问题 。切 比 雪夫提 出 了最佳 逼近 概 下几个方面。 第一 ， 在相 当广泛 的抽象空 间 念 ， 究 了逼 近 函数 类 是 ｎ 多项 式 时 最 佳 内建 立 了系 统 的 点集 宽 度 理 论 。 二 ， 成 研 次 其中等式右侧的下界是取遍所有秩不 第 完 逼 近 元 的性 质 ，建立 了能 够 据 以 判 断 多 项 了对 一 些 重 要 函 数 类 的 宽 度 的 定 量 估 计 ， 超 过 ｎ的 连续 线 性 算 子 。 式 为 最佳 逼 近 元 的特 征 定 理 。 １８ 年 德 国 包 括 一 些 细 致 而 深 刻 的 精 确 常 数 估 计 。 第 ５ ８ （ ） ｅｌｎ ３ 宽 度 ：设 Ｘ是 赋 范 线 三 Ｇ ｌａｄ ｉ 数学家Ｋ．Ｔ． ． 外尔斯特拉斯在研究用 三 ，对 一 批 重 要 函数 类 的 宽 度 找 出 了 极 子 性 空 间 ， （ Ｗ ） Ａ是 Ｘ的 某一 子 集 ， 么 Ａ在 ｘ中 那 多 项 式 来一 致 逼 近 连 续 函数 的 问 题 时 证 明 空 间并 构 造 了最 佳 的 逼 近 工 具 ，特 别 是 揭 的 Ｇｌ ｒ 一宽 度 如下 定 义 ： ｅｆ ｄ ｎ ｉ ｅ 了任何连续 函数都可以用多项式以任何预 示 了样 条 子 空 和 样 条 插 值 在 解 决 这 类 问 ｄ（； ＝ｎ ｓ ｐｋ ｌｉｆ ｕ Ｉ ｌ 先指 定的精确度在 函数的定义区间上 一 致 题 中 的 突 出作 用 。 四 ， 第 建立 了宽 度 理 论 和 地近 似 表示 ，但 是 没 有 指 出 应 该 如 何 选择 其 Ｉ 式 右 侧 的 下界 是 取 遍 ｘ的 所 有 等 些 别 的 数 学 分 支 理 论 之 间 的 联 系 。 促 使 多项 式 才 能 逼 近 得 最 好 。 切 比 雪 夫 发 现 了 宽 度 问 题 的 研 究 趋 于 活跃 的 一 个 重 要 背 景 余维数为 ｎ的子空 间 Ｌ 其中余维数是指 连续 函数的最佳逼近多项式的特征 ，提出 是数值分析和应用数学的需要 。 Ｌ 在 Ｘ 内存 在 ｉ维 线 性 补 Ｇ：Ｘ Ｇ ３ 一 Ｇ． 了 以切 比 雪 夫 交 错 点 组 著 称 的 特 征 定 理 。 七十年代 国际上一些逼近论和数值分 （ ） ｅ ｔｉ 宽 度 ：设 Ｘ是 赋 范 四 Ｂ ｍｓｅ ｎ ｎ 最佳逼近多项式是惟一存在的。最佳逼近 ！ 析 的 学 者 提 出 了最 优 恢 复 理论 （ 优 算 法 线 性 空 Ｉ ，Ａ 是 Ｘ的 某一 子 集 ，那 么 Ａ在 最 ｈ Ｊ 多项 式 的存 在 性 、惟 一 性 及 其 特 征 定 理都 论 ） 其要 旨在于根据一类对象的一 定信 息 Ｘ 中的 Ｂ ｍｓ ｉ 宽度 如 下 定 义 ： ， 一 ｅ ｔ ｎｎ ｅ 是定 性 的结 果 ，对 这 些 问题 的深 入研 究构 构造算 法以 实现对该类对象的 “ 最有效” 的 （ ） ｕ ｐ ：ｓ ”） ｝ ； ｓ ｐ “ ｛ 九 （ ｃ 成 了 逼近 论 定性 研 究 的 基本 内容 。 可 以 说 逼近。在数学上提出研 究一类新型的极 值 切 比 雪夫 和 外 尔斯 特 拉 斯 是 逼 近 论 的 代 问题 ：这就是要 求在根据 一定信息 构造 的 其 中 Ｘ 为 Ｘ的任意 （ ｎ＋１ ）维 子 发 展 的 奠基者 。 匈 牙利 数学 家 Ａ ・ 尔 在 哈 类近 似计算方案中寻求 最优 方案 。这 类 空 间，而 Ｓ ｘ ．） （ 为子空 间 ｘ… 中的单位 １１年 首 先研 究 了用 广 义 多项 式 在 【 【ｂ 问 题 在 数值 分析 和应 用数 学 中有 着 广 泛 的 球 。在二维 （ ９８ 。 ，ｌ 三维 ） 间中， 空 实质上是找到 上对任意连续 函数？ 的最佳逼近多项式的惟 背景 。 ａ ｄ Ｎｉ ｌ ｙ Ｓ ｒ ， ｃ ｓ 五十年代初在最优数 ｏｋ 个单位 圆 （ ） 球 ，包含在子集 Ａ中， 然后 性 问题 。 值 积 分 公 式 方 面 的 工 作 ， Ｇ ０ｌ ｂ ， Ｕ ｍ 让 此单 位 圆 （ ）在 集 合 内 不断 向外 扩 张 ， 球 关于 最 佳逼 近 多项 式 的 切 比雪 夫 特 征 Ｗｅｎ ｅｇ １５ 年 关于 最 优 逼 近 方 面 的 工 直 到接 触 到 Ａ 的 边界 。此 时 ，球 的半 径 即 ｉｂ ｒ在 ９ ９ 定理 也 有很 多进 一 步 的研 究 和 推 广 。 ５ 年 作 ， ｉｈ ｎ ｖ １ａ ｏ ， ｒｚｖ 从 六 十年 为 宽 度 值 。 ０ Ｔｋ ｏ ｏ ， ｎ ｖ Ｍｏｏｏ 等 ｖ 代初期 Ⅱ． 科罗夫金深入研究了线ｌ Ⅱ． 生正算 。 代开始 的关于非适定算子方程的最优调整 这几 种宽度的关 系有如下定 理 ：