2022-2023学年北京市西城区北京第四十四中学高一数学第一学期期末监测试题含解析

（1）当 a 3 时，解不等式 f x 0 ；
（2）设
g x
2x
2，若 x1 0,1 ， x2
0,
2
，都有
g x1
f
x2 ，求实数
a 的取值范围.
19．已知函数
f
x 2 cos x 0,
2
满足下列
3
个条件：
①函数
f
x 的周期为
；②
x
3
是函数
f
x 的对称轴；③
1、C
【解析】因为 g(x) a f (x) x 在 (0,16] 上有三个零点，所以 f (x) 1 x 在 (0,16] 上有三个不同的解，即函数 a
y f (x) 与 y 1 x 的图象在 (0,16] 上有三个不同的交点，画出函数图像，结合图象进而求得答案 a
【详解】因为 g(x) a f (x) x 在 (0,16] 上有三个零点，所以 f (x) 1 x 在 (0,16] 上有三个不同的解，即函数 a
f
7 12
0.
（1）请任选其中二个条件，并求出此时函数 f (x) 的解析式；
（2）若
x
3
,
3
，求函数
f
(x)
的最值.
20．已知 p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}
（1）若 A∩B＝{x|1≤x≤3，x∈R}，求实数 m 值；
13．已知扇形的周长是 2022 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是___________.
14．给出如下五个结论：
①存在
Βιβλιοθήκη Baidu
0,
2
使
sin
cos
1 3
② 函数 y sin( 3 x) 是偶函数 2
③
y
sin
2x
6
最小正周期为
2
④若、 是第一象限的角，且 ，则 sin sin
D. ln 2 4
2．已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴，终边经过点 (4,3) ，则 cos （）
A. 4 5
3
C.
5
3
B.
5 4
D.
5
3．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）
A. y ex
B.y=tan x
C.y=lnx
D.y=x|x|
4．已知幂函数 f x a2 3a 3 xa1 为偶函数，则实数 a 的值为（）
2
2
圆的方程为 x2 y2 y 1 0 ,
与联立 (x 1)2 ( y 1)2 4 ，
化简整理得 2x y 1 0 ，
答案：B 9、A
【解析】由复合函数 f x 在 3, 2 上的单调性可构造不等式求得 a 1 ，结合已知可知 a , 1
2
1,
1 2
；
当x
1 2
时， g x0,2 ，若
10、A
【解析】利用函数为奇函数及在
时函数值 正负，即可得答案.
的 【详解】由于函数的定义域关于原点对称，且
,
所以函数 的奇函数,排除 B,C 选项；
又因为
,故排除 D 选项.
故选：A. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意根据解析式发现函数为奇函数 及特殊点函数值的正负.
A.
2 2
,
1 2
B.
1,
1 2
C.
2 2
,
1 2
10．函数
D.
2 2
,
0
0,
1 2
的图象大致为
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．当时
x≠0
时,
x2
2 x2
的最小值是____.
12．已知集合 M={3，m+1}，4∈M，则实数 m 的值为______
a
1, ，可知 g x 无最大值；若
a
1 2
,1
，可得到
log
a
1 2
2 ，解不等式，
与 a 的范围结合可求得结果.
【详解】
f
x
log2
ax
1
在 3,2
a 0 上为减函数2a 1
0
，解得：
a
1 2
aa 1 0a , 1
1,
1 2
a
1 2
,1
1,
当 x 1 时， g x 4x ，此时 g x0, 2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11、 2 2
【解析】直接利用基本不等式的应用求出结果
【详解】解：由于 x 0 ，
所以
x2
2 x2
2
x2
2 x2
2
2 （当且仅当 x4 2 时，等号成立）
故最小值为 2 2
故答案为： 2 2
12、3 【解析】∵集合 M={3，m+1}，4∈M， ∴4=m+1，
现有一个三角形的边长满足 a b 10, c 8，则此三角形面积的最大值为（）
A.6
B.9
C.12
D.18
8．已知直线 l : 2x y 2 0 ，圆 C : (x 1)2 ( y 1)2 4 ．点 P 为直线 l 上的动点，过点 P 作圆 C 的切线 PA, PB ，
切点分别为 A, B ．当四边形 PACB 面积最小时，直线 AB 方程是（）
a
,
1
1,
1 2
a
2 2
,
1 2
故选 A
【点睛】本题考查根据复合函数单调性求解参数范围、根据分段函数有最值求解参数范围的问题；关键是能够通过分
类讨论的方式得到 a 处于不同范围时 g x 在区间内的单调性，进而根据函数有最值构造不等式；易错点是忽略对数
真数大于零的要求，造成范围求解错误.
当 a 5 时， S 取得最大值， 此时 Smax 12 .
故选：C 8、B
【解析】求得点 C 到直线 l 的距离 d ，根据 SPACB 2SPAC 2 PA 2 PC 2 r 2 2 d 2 4 ，等号成立时 CP l ， 求得点 P，进而求得过 P, A,C, B 的圆的方程，与已知圆的方程联立求解.
2
当
a
1,
，
x
1 2
时，
g x
log a
x
在
1 2
,
上单调递增
g x 无最大值，不合题意
当
a
1 2
,1
，
x
1 2
时， g x log a
x
在
1 2
,
上单调递减
g
x
log
a
1 2
若 g x 在 R 上有最大值log a
1 2
2a2
1 ，解得： 2
a
2 2
a
1
2
,
2 2
，又
故选：B. 7、C
【解析】根据题意可得 p 9 ，代入面积公式，配方即可求出最大值. 【详解】由 a b 10 ， c 8， 则 p abc 9，
2
所以 S p( p a)( p b)( p c) 99 a9 b
3 9 aa 1 3 a2 10a 9 3 a 52 16 ，
2
6．已知直线 l1 ： a 1 x y 1 0和直线 l2 ： x a 1 y 1 0互相垂直，则实数 a 的值为（）
A.－1
B.1
C.0
D.2
7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 a, b, c ，三角形的面积
S 可由公式 S p( p a)( p b)( p c) 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，
21 2
【详解】设点 C 到直线 l 的距离为 d
5，
5
由 SPACB 2SPAC 2 PA 2 PC 2 r2 2 d 2 4 2 ，
此时 CP
l
， kCP
1 2
，
CP 方程为 y 1 1 (x1) ，即 y 1 x 1 ，
2
22
与直线 l 联立得 P(1, 0) ，
因为 P, A,C, B 共圆，其圆心为 (0, 1 ) ，半径为 5 ，
y f (x) 与 y 1 x 的图象在 (0,16] 上有三个不同的交点，结合函数图象可知，当直线 y 1 x 经过点 (16, 4 ln 2) 时，
a
a
1 a
取得最小值，从而 a
取得最大值，且 amax
16 4ln 2
4 ln 2
.
【点睛】本题考查函数的零点问题，解题的关键是得出函数 y f (x) 与 y 1 x 的图象在 (0,16] 上有三个不同的交点， a
（2）若﹁q 是 p 的必要条件，求实数 m 的取值范围
的 21．已知函数 f x log4 4x 1 kxk R 是偶函数.
（1）求 k 的值；
（2）设
g
x
log4
a
2
x
4 3
a
，若函数
f
x与
g x 的图象有且只有一个公共点，求实数
a
的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
⑤函数
f
(x)
2 sin( 1 2
x
6
)
1(x R)
的图象关于点
2 3
, 1
对称
其中正确结论 序号为______________
的 15．已知幂函数 f (x) 的图象过点（2， 2 ），则 f (9) ___________ 2 16．在 ABC 中，已知 D 是 BC 延长线上一点，若 BC 2CD ，点 E 为线段 AD 的中点， AE AB AC ，则 _________
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的 位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
解得 m=3 故答案为 3. 13、2
【解析】设扇形的弧长为 l ，半径为 r ，则 l 2r 2022 ，将面积最值转化为一元二次函数的最值； 【详解】设扇形的弧长为 l ，半径为 r ，则 l 2r 2022 ， S 1 l r 1 (2022 2r) r r(r 1011) ，
A.3
B.2
C.1
D.1 或 2
5．已知函数 f (x) | tan x |，则下列结论不正确的是（ ）
A. f ( 3 ) f (3 )
4
4
C. f (x) 的图象关于点 ( , 0) 对称 2
B. 2 是 f (x) 的一个周期 D. f (x) 的定义域是{x | x k , k Z}
故选：D 4、C 【解析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论
【详解】 幂函数 f x a2 3a 3 xa1 为偶函数，
a2 3a 3 1，且 a 1 为偶数， 则实数 a 1，
故选：C 5、C
【解析】画出函数 f (x) | tan x |的图象，观察图象可解答.
【详解】画出函数 f (x) | tan x |的图象，易得 f (x) 的周期为T k ，且是偶函数，定义域是{x | x k , k Z}，
A. 2x y 1 0
B. 2x y 1 0
C. 2x y 1 0
D. 2x y 1 0
9．已知 a(a
1)
0 ，若函数
f
(x)
log2 (ax
1) 在 (3, 2)
上为减函数，且函数
g(x)
4x , x log a
1 2
x, x
,
1 2
在R
上有最
大值，则 a 的取值范围为（）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数
f
(x)
ln
1 x
,0
x
1
，若函数
g(x)
a
f
(x)
x 在 (0.16] 上有三个零点，则 a
的最大值为
ln x, x 1
A. 2 ln 2
C. 4 ln 2
B. ln 2 2
属于一般题 2、A
【解析】利用任意角的三角函数的定义，即可求得 cos 的值
【详解】角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴，终边过点 P(4,3) .
由三角函数的定义有： cos x OP
4 16
9
4 5
.
故选：A 3、D 【解析】由奇偶性排除 AC，由增减性排除 B，D 选项符合要求.
【详解】
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 f (x) x2 a ，且 f (1) 5 x
（1）证明函数 f x 在 (2, ) 上是增函数 （2）求函数 f x 在区间[1,5] 上的最大值和最小值
18．已知函数 f x 2cos2 x asin x .
2
故 A，B，D 正确；
点
(
, 0) 不是函数
f
(x)
|
tan
x
| 的对称中心，C
错误.
2
故选：C
6、B 【解析】利用两直线垂直的充要条件即得.
【详解】∵直线 l1 ： a 1 x y 1 0和直线 l2 ： x a 1 y 1 0互相垂直， ∴ a 111a 1 0 ，即 a 1.
y
ex
，
y
ln
x
不是奇函数，排除
AC；
y
tan
x
定义域为
x
x
π 2
kπ,k
Z
，而
y
tan
x
在
π 2
kπ,
π 2
kπ
,
k
Z
上为增函数，故在定义域上为增函数的说法是不对的，C
错误；f
x
x
x
x2, x 0 x2, x 0 满
足 f x f x ，且在 R 上为增函数，故 D 正确.