八年级初二数学数学平行四边形的专项培优练习题(附解析

八年级初二数学数学平行四边形的专项培优练习题(附解析
一、选择题
1．如图， ABCD 为正方形， O 为 AC 、 BD 的交点，在RT DCE 中，DEC ∠= 90︒， DCE ∠= 30︒，若OE =622
+，则正方形的面积为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2．如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD ＝DE ，连结BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连结OG ，则下列结论：①OG ＝12AB ；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S 四边形ODGF ＞S △ABF ；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（ ）
A ．①④
B ．①③④
C ．①②③
D ．②③④
3．点E 是正方形ABCD 对角线AC 上，且EC=2AE ，Rt △FEG 的两条直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于M 、N 两点，若正方形ABCD 的边长为a ，则四边形EMCN 的面积（ ）
A ．23a 2
B ．14a 2
C ．59a 2
D ．49
a 2 4．如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′，连接BC ′，E 为BC ′的中点，连接CE ,则CE 的最大值为( ).
A ．5
B ．21+
C ．212+
D ．512
+ 5．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心1O ，再从中心1O 走到正方形1O GFH 的中点2O ，又从中心2O 走到正方形2O IHJ 的中心3O ，再从中心3O 走到正方形3O KJP 的中心4O ，一共走了312m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）
A ．36m
B ．48m
C ．96m
D ．60m
6．如图，点E 在正方形ABCD 外，连接AE BE DE ，，，过点A 作AE 的垂线交DE 于F ，若210AE AF BF ===，，则下列结论不正确的是( )
A ．AFD AE
B ∆≅∆
B ．点B 到直线AE 的距离为2
C ．EB E
D ⊥ D ．16AFD AFB S S ∆∆+=7． 如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，P
E ⊥BC 于点E ，P
F ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；
④∠PFE=∠BAP ；⑤2EC ．其中正确结论的番号是（ ）
A ．①②④⑤
B ．①②③④⑤
C ．①②④
D ．①④
8．如图，直角梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠D ＝90°．∠A 的平分线交DC 于E ，EF ⊥AB 于F ．已知AD ＝3.5cm ，DC ＝4cm ，BC ＝6.5cm ．那么四边形BCEF 的周长是（ ）
A ．10cm
B ．11cm
C ．11.5cm
D ．12cm
9．如图，矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝4，点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的左上方作正方形AEFG ，同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当点F 落在直线MN 上，设运动的时间为t ，则t 的值为( )
A ．1
B ．103
C ．4
D ．143
10．如图，正方形ABCD 中，延长CB 至E 使2CB EB =，以EB 为边作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点,N K ．则下列说法：①ANH GNF △≌△；②DAM NFG ∠=∠；③2FN NK =；④:2:7AFN DMKH S S =△四边形．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
11．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．
13．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．
14．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．
15．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.
16．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段
AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．
17．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．
18．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒
∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________
19．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．
20．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___． 三、解答题
21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE
（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．
22．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．
（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，
AB 6=，求AH 的长度； （2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN
CF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：
①CEN DEG ∆∆≌；
②ENG ∆是等边三角形．
23．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．
（1）求证：QAB QMC ∠=∠
（2）求证：90AQM ∠=︒
（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积
图1 图2
24．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．
（1）求证：GF GC =；
（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．
25．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .
()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；
()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；
()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.
26．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AC 的一点，连接EB ，过点A 做AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．
（1）猜想：如图（1）线段OE 与线段OF 的数量关系为 ；
（2）拓展：如图（2），若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，AM 、DB 的延长线相交于点F ，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．
27．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒32
的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332
+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.
(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.
(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.
(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.
28．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．
（1）若n ＝1，AF ⊥DE ．
①如图1，求证：AE ＝BF ；
②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；
（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF ．则CF BF
的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．
29．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．
（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，
①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当
A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．
②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、 （单位:,0cm ab ≠），已知A
C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．
30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；
（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当325
t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
过点O 作OM ⊥CE 于M ，作ON ⊥DE 交ED 的延长线于N ，判断出四边形OMEN 是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON ，根据正方形的性质可得OC=OD ，然后利用“角角边”证明△COM 和△DON 全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON ，然后判断出四边形OMEN 是正方形，设正方形ABCD 的边长为2a ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=12CD ，再利用勾股定理列式求出CE ，根据正方形的性质求出2a ，然后利用四边形OCED 的面积列出方程求出2a ，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，过点O 作OM ⊥CE 于M ，作ON ⊥DE 交ED 的延长线于N ，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN 是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM ，
∴∠COM=∠DON ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴OC=OD ，
在△COM 和△DON 中，
==CMO=90COM DON N OC OD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
，
∴△COM ≌△DON （AAS ），
∴OM=ON ，
∴四边形OMEN 是正方形，
设正方形ABCD 的边长为2a ，则222a a = ∵∠CED=90°，∠DCE=30°，
∴DE=12
CD=a ， 由勾股定理得，2222(2)3CD DE a a a -=-= ，
∴四边形OCED 的面积=
2111623(2)(2)()222a a a a ++=⨯， 解得21a =，
所以，正方形ABCD 的面积=22(2)4414a a ==⨯=．
故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 2．A
解析：A
【分析】
由AAS 证明△ABG ≌△DEG ，得出AG=DG ，证出OG 是△ACD 的中位线，得出OG=12CD=12
AB ，①正确；先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出△ABD 、△BCD 是等边三角形，得出AB=BD=AD ，因此OD=AG ，得出四边形ABDE 是菱形，④正确；由菱形的性质得得出△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，由SAS 证明△ABG ≌△DCO ，得出
△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，得出②不正确；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG ∥AB ，OG=12
AB ，得出△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形ODGF =S △ABF ；③不正确；即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，
∴∠BAG ＝∠EDG ，△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ，
∵CD ＝DE ，
∴AB ＝DE ，
在△ABG 和△DEG 中，
BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABG ≌△DEG （AAS ），
∴AG ＝DG ，
∴OG 是△ACD 的中位线，
∴OG ＝
12CD ＝12
AB ， ∴①正确；
∵AB ∥CE ，AB ＝DE ， ∴四边形ABDE 是平行四边形，
∵∠BCD ＝∠BAD ＝60°，
∴△ABD 、△BCD 是等边三角形，
∴AB ＝BD ＝AD ，∠ODC ＝60°，
∴OD ＝AG ，四边形ABDE 是菱形，
④正确；
∴AD ⊥BE ，
由菱形的性质得：△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，
在△ABG 和△DCO 中，
OD AG ODC BAG 60AB DC ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△ABG ≌△DCO （SAS ），
∴△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，
∴②不正确；
∵OB ＝OD ，AG ＝DG ，
∴OG 是△ABD 的中位线，
∴OG ∥AB ，OG ＝12
AB ， ∴△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ， ∴△GOD 的面积＝
14△ABD 的面积，△ABF 的面积＝△OGF 的面积的4倍，AF ：OF ＝2：1， ∴△AFG 的面积＝△OGF 的面积的2倍，
又∵△GOD 的面积＝△AOG 的面积＝△BOG 的面积，
∴S 四边形ODGF ＝S △ABF ；
③不正确；
正确的是①④．
故选A ．
【点睛】
本题考查菱形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握性质，能通过性质推理出图中线段、角之间的关系是解题关键.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L ，只要证明ENK ELM ∆≅∆,则可计算EKCL ENCM S S
=四边形.
【详解】
解：根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L.
四边形ABCD 为正方形
∴EL=EK
,EK CD EL BC ⊥⊥
∴90ELM EKN ︒∠=∠=
90BCD ︒∠=
90KEL ︒∴∠= FEG 为直角三角形
90KEM LEM KEM NEK ︒∴∠+∠=∠+∠=
LEM NEK ∴∠=∠
ENK ELM ∴∆≅∆
2224()39EKCL ENCM S S
a a ∴===四边形 故选D.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意做辅助线. 4．B
解析：B
【分析】
取AB 的中点M ，连接CM ，EM ，当CE ＝CM +EM 时，CE 的值最大，根据旋转的性质得到AC ′＝AC ＝2，由三角形的中位线的性质得到EM 12=
AC ′＝1，根据勾股定理得到AB ＝22，即可得到结论．
【详解】
取AB 的中点M ，连接CM ，EM ，∴当CE ＝CM +EM 时，CE 的值最大．
∵将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′，∴AC ′＝AC ＝2．
∵E 为BC ′的中点，∴EM 12
=AC ′＝1． ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝22，∴CM 12=
AB 2=，∴CE ＝CM +EM 21=+． 故选B ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．C
解析：C
【解析】
设正方形O 3KJP 的边长为a ，根据正方形的性质知：O 3O 4
a ， 正方形O 2IHJ 的边长为2a ，O 2O 3
a ，
正方形O 1GFH 的边长为4a ，O 1O 2
a ，
正方形OCDF 的边长为8a ，OO 1
a ，
∵AO=2OO 1
am ，
∴
2
， 解得：a=2m ，
∴FD=8a=16m ， ∴长方形花坛ABCD 的周长是2×（2FD+CD ）=6FD=96m ，
故选C ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，正方形的
倍，熟记性质是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
A 、首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD ≌△AE
B ；
B 、利用全等三角形的性质和对顶角相等即可解答；
C 、由（1）可得∠BEF ＝90°，故BE 不垂直于AE 过点B 作BP ⊥AE 延长线于P ，由①得∠AEB ＝135°所以∠PEB ＝45°，所以△EPB 是等腰Rt △，于是得到结论；
D 、根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．
【详解】
解：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，
∵AF ⊥AE ，
∴∠BAE ＋∠BAF ＝90°，
又∵∠DAF ＋∠BAF ＝∠BAD ＝90°，
∴∠BAE ＝∠DAF ，
在△AFD 和△AEB 中，
AE AF BAE DAF AB AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
＝
∴△AFD ≌△AEB （SAS ），故A 正确；
∵AE＝AF，AF⊥AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴∠AEB＝∠AFD＝180°−45°＝135°，
∴∠BEF＝135°−45°＝90°，
∴EB⊥ED，故C正确；
∵AE＝AF2，
∴FE2AE＝2，
在Rt△FBE中，BE221046
FB FE
-=-=
∴S△APD＋S△APB＝S△APE＋S△BPE，
＝11
2226 22
⨯
16
=D正确；
过点B作BP⊥AE交AE的延长线于P，∵∠BEP＝180°−135°＝45°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴BP＝
2
63
2
=，
即点B到直线AE3，故B错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得2EC．
【详解】
证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得
PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
①∴AP=EF；
∠PFE=∠GAP
∴④∠PFE=∠BAP，
②延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴2EC．
∴其中正确结论的序号是①②④⑤．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
8．D
解析：D
【分析】
根据角平分线性质得出AD=AF，根据勾股定理求出EF=DC，求出AB长，求出BE，即可求出答案．
【详解】
∵AE平分∠DAB，∠D=90°，EF⊥AB，
∴AF=AD=3.5cm，EF=DE，
∴DC=CE+DE=CE+EF=4cm，
过A作AM⊥BC于M，则四边形AMCD是矩形，
∴AM=DC=4cm，AD=CM=3.5cm，
∵BC=6.5cm，
∴BM=6.5cm-3.5cm=3cm，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：22
AB（cm），
435
∴BF=AB-AF=5cm-3.5cm=1.5cm，
∴四边形BCEF的周长是BC+BF+CE+EF=6.5cm+1.5cm+CD=8cm+4cm=12cm，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
过点F作FH⊥CD，交直线CD于点Q，则∠EHF=90°，易证∠ADE=∠EHF，由正方形的性质得出∠AEF=90°，AE=EF，证得∠AED=∠EFH，由AAS证得△ADE≌△EHF得出AD=EH=4，则t+2t=4+10，即可得出结果．
【详解】
过点F作FH⊥CD，交直线CD于点Q，则∠EHF=90°，如图所示：
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠EHF ，
∵在正方形AEFG 中，∠AEF=90°，AE=EF ，
∴∠AED+∠HEF=90°，
∵∠HEF+∠EFH=90°，
∴∠AED=∠EFH ，
在△ADE 和△EHF 中，
ADE EHF AED EFH AE EF ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADE ≌△EHF （AAS ），
∴AD=EH=4，
由题意得：t+2t=4+10，
解得：t=
143
， 故选D ．
【点睛】 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形与矩形的性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据正方形的性质，以及中点的性质可得△FGN ≌△HAN ，即证①；利用角度之间的等量关系的转换可以判断②；根据△AKH ∽△MKF ，进而利用相似三角形的性质即可判断③；设AN=12AG=x ，则AH=2x ，FM=6x ，根据△AKH ∽△MKF 得出2163
AH x MF x ==，再利用三角形的面积公式求出△AFN 的面积，再利用DHKM ADM AKH S S
S =-即可求出四边形DHKM
的面积，作比即可判断④．
【详解】 ∵四边形EFGB 是正方形，CE=2EB ，四边形ABCD 是正方形
∴G 为AB 中点，∠FGN=∠HAN=90°，AD=AB 即FG=AG=GB=12
AB 又H 是AD 的中点 AH=
12
AD ∴FG=HA 又∠FNG=∠HNA
∴△FGN ≌△HAN ，故①正确； ∵∠DAM+∠GAM=90°
又∠NFG+∠FNG=90°
即∠FNG=∠GAM
∵∠FNG+∠NFG+90°=180°
∠AMD+∠DAM+90°=180°
∠FNG=∠GAM=∠AMD
∴DAM NFG ∠=∠，故②正确； 由图可得：MF=FG+MG=3EB
△AKH ∽△MKF ∴
13
KH AH KF MF == ∴KF=3KH
又∵NH=NF 且FH=KF+KH=4KH=NH+NF
∴NH=NF=2KH
∴KH=KN
∴FN=2NK ，故③正确；
∵AN=GN 且AN+GN=AG
∴可设AN=12
AG=x ，则AH=2x ，FM=6x 由题意可得：△AKH ∽△MKF 且相似比为：2163AH x MF x == ∴△AKH 以AH 为底边的高为：
11242x x ⨯= ∴212
AFN S AN FG x =⨯⨯= 112225DHKM ADM AKH S S S AD DM AH x =-=⨯⨯-⨯⨯ 211172422222x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=
∴
2
:
7
AFN DHKM
S S ，故④正确；
故答案选择A．
【点睛】
本题考查了矩形、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，需要熟练掌握相关基础知识．
二、填空题
11．43或4
【解析】
分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=22
84=43
-；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为34；
故答案为3 4.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
12．(-10，3)
【解析】
试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得222
4(8)
x x
+=-，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.故答案为：（-10，3）
13．4:9
【分析】
设DP＝DN＝m，则PN2m，PC＝2m，AD＝CD＝3m，再求出FG=CF=1
2
BC=
3
2
m，分
别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】
根据图形的特点设DP＝DN＝m，则PN22
m m
+2m，∴2m=MC，22
PM MC
+，
∴BC＝CD＝PC+DP=3m，
∵四边形HMPN是正方形，
∴GF⊥BC
∵∠ACB ＝45︒，
∴△FGC 是等腰直角三角形，
∴FG=CF=
12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98
m 2， ∴12:S S =
12m 2: 98m 2=4:9， 故答案为4：9．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
14．
3013
≤AM<6 【分析】 由勾股定理得BC=13从而得到点A 到BC 的距离, M 为EF 中点，所以AM=
12EF ，继而求得AM 的范围．
【详解】
因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，
所以由勾股定理得BC=13，
则点A 到BC 的距离为
AC 512BC 13AB ⨯⨯==6013， 所以AM 的最小值为6013÷2=3013
， 因为M 为EF 中点，所以AM=
12EF ， 当E 越接近A ，F 越接近C 时，EF 越大，
所以EF ＜AC ，则AM ＜6， 所以3013
≤AM＜6， 故答案为
3013≤AM＜6. 15．3或6
【详解】
①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，
由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=1
2
×90°=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=6cm；
②∠EB′C=90°时，如图2，
由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，
∴A、B′、C在同一直线上，
AB′=AB，BE=B′E，
由勾股定理得，2222
68
AB BC
+=+，
∴B′C=10-6=4cm，
设BE=B′E=x，则EC=8-x，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
即BE=3cm，
综上所述，BE的长为3或6cm．
故答案为3或6．
16．(1) (2) (4)
【分析】
由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；
由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得
出CF=1
2
EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出(2)正确；
证出S△EFC=S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出(3)错误；由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．【详解】
(1)∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD=AB，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠DCF=
12∠BCD ， ∴∠DCF+12
∠D=90°，故(1)正确； (2)延长EF ，交CD 延长线于M ，如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DMF 中，
A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEF ≌△DMF(ASA)，
∴EF=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴CF=12
EM=EF ， ∴∠FEC=∠ECF ，
∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；
(3)∵EF=FM ，
∴S △EFC =S △CFM ，
∵MC ＞BE ，
∴S △BEC ＜2S △EFC ，故(3)错误；
(4)∵∠B=80°，
∴∠BCE=90°-80°=10°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BCD=180°-80°=100°，
∴∠BCF=1 2
∠BCD=50°，
∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，
∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．
故答案为：(1)(2)(4)．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明
△AEF≌△DMF是解题关键．
17．25
【分析】
作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则四边形BEDF是矩形，证明△ABE≌△CBF（AAS），得出BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，则四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，求出BE=10，即可求得BD的长．
【详解】
解：作BE⊥AD交DA延长线于E，BF⊥CD于F，如图所示：
则∠BEA=∠BFC=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴∠EBF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
BEA BFC
ABE CBF
AB CB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，
∴四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，
∴BE=DE，BE2=10 cm2，
∴10(cm)，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．①②④⑤
【分析】
根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证AD//BC，根据DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正确；
利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH，利用 AE=AD易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH，OD=OE，所以②正确；
利用AAS证明ΔDHE≅ΔDCE，则有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，
∠DFH=112.5°，则△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③错误；
根据△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易证BC−CF=2CE，所以④正确；
过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，得IJ⊥AD，I是AD的中点，J是BC的中点，H是BF的中点，所以⑤正确；
【详解】
∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，
∴△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠AED=∠DEC，
又∵DC⊥BC，
∴∠DCE=∠DHE=90°
∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，
即：DE平分∠HDC，所以①正确；
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠HDC=45°，
由①有DE平分∠HDC，
∴∠HDO=1
2
∠HDC=
1
2
×45°=22.5°，
∵∠BAE=45°，AB=AH，
∴∠OHE=∠AHB=
1
2
(180°−∠BAE)=
1
2
×(180°−45°)=67.5°，
∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，∴OD=OH，
在△AED中，AE=AD，
∴∠AED=
1
2
(180°−∠EAD)=
1
2
×(180°−45°)=67.5°，
∴∠OHE=∠HEO=67.5°，
∴OE=OH，
∴OD=OE，所以②正确；
在△DHE和△DCE中，
DHE DCE
HDE CDE
DE DE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴ΔDHE≅ΔDCE(AAS)，
∴DH=DC，∠HDE=∠CDE=
1
2
×45°=22.5°，
∵OD=OH，
∴∠DHF=22.5°，
∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，
∴△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，
即有：CD≠HF，所以③不正确；
如图，过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，
∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，
∴JH=JE，
又∵J是BC的中点，H是BF的中点，
∴2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，
∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC，
即有：BC−CF=2CE，所以④正确；
∵AD//BC，
∴IJ⊥AD，
又∵△AHD是等腰直角三角形，
∴I是AD的中点，
∵四边形ABCD是矩形，HJ⊥BC，
∴J是BC的中点，
∴H是BF的中点，所以⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．19．16或10
【分析】
等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C时，作辅助线，构建平行四边形AGHD和直角三角形EGB'，计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=16，AD=BC=18．
分两种情况讨论：
（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形
（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°
又GH∥AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，
∴四边形AGHD是矩形，
∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，
又B'D=B'C，
∴DH＝HC＝18
CD=，AG=DH=8，
3
∵AE=3，
∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，
EG=AG-AE=8-3=5，
在Rt△EGB'中，由勾股定理得：
GB′＝22
13512，
∴B'H=GH×GB'=18-12=6，
在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D＝22
+=
6810
综上，DB'的长为16或10．
故答案为： 16或10
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．20．8或3
【分析】
根据AE和DF是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．
【详解】
解：①当AE和DF相交时，如下图所示
∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，
∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD
∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD
∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC
∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF
∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF
∴BE=AB，CF=CD
∴BE=AB= CD= CF
∵BE＋CF=BC＋EF
∴2AB=11＋5
解得：AB=8；
②当AE 和DF 不相交时，如下图所示
∵四边形ABCD 为平行四边形，AD=11，EF=5，
∴BC=AD=11，AD ∥BC ，AB=CD
∴∠DAE=∠BEA ，∠ADF=∠CFD
∵AE 平分∠BAD ，DF 平分∠ADC
∴∠DAE=∠BAE ，∠ADF=∠CDF
∴∠BEA=∠BAE ，∠CFD=∠CDF
∴BE=AB ，CF=CD
∴BE=AB= CD= CF
∵BE ＋CF ＋EF =BC
∴2AB ＋5=11
解得：AB=3
综上所述：AB=8或3
故答案为：8或3．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，
掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关
键．
三、解答题
21．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒
【分析】
（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；
（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．
【详解】
解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：
∵DE BC ⊥，
90DFE ∴∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，
ACB DFB ∴∠=∠，
//AC DE ∴，
∵//MN AB ，即//CE AD ，
∴四边形ADEC 是平行四边形，
CE AD ∴=； D 为AB 中点，
AD BD ∴=，
BD CE ∴=，
∵//BD CE ，
∴四边形BECD 是平行四边形，
∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，
12
CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；
（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：
∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，
45ABC ∴∠=︒，
∵四边形BECD 是菱形，
12
ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，
∴四边形BECD 是正方形．
故答案为：45︒．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段
相等和直角是解决问题的关键．
22．（1）AH 2）①证明见解析；②证明见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH ＝
∠EAH ，求出∠HAB ＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；
（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB ＝CE ，根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ，得到DE ＝CE ，利用SAS 定理证明结论；
②根据全等三角形的性质得到EN ＝EG ，根据等边三角形的判定定理证明即可．
【详解】
（l ）∵ADE ∆是等边三角形，∴60DAE ∠=︒.
∵AH BD ⊥，∴1
302
DAH HAE DAE ︒∠=∠=∠=. ∵75DAB ∠=︒，∴753045BAH BAD DAH ︒︒︒∠=∠-∠=-=.
∴AH BH ===
（2）①∵点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，
∴线段CF 是线段BE 的垂直平分线.
∴CE CB =，ECF BCF ∠=∠.
∵ADE ∆是等边三角形，∴DE AD =.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD BC =，∴DE CE =.∴EDC ECD ∠=∠.
在DEG ∆和CEN ∆中，DG CN GDE NCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()CEN DEG SAS ∆∆≌.
②由①知：CEN DEG ∆∆≌，∴EN EG =.
∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ︒∠+∠=.
∵60ADE ∠=︒，∴120EDC BCD ︒∠+∠=.
∵ECF BCF ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，∴60DCF ∠=︒.
∵CF MN ，∴60DNE DCF ∠=∠=︒.
∴ENG ∆是等边三角形.
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，
掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．（1）见解析
（2）见解析
（3）15
【分析】
（1）根据四边形ABCD 是正方形，得到∠QBA ＝∠QBC ，进而可得△QBA ≌ △QBC ，
∠QAB ＝∠QCB ，再根据CQ ＝MQ ，得到∠QCB ＝∠QMC ，即可求证；
（2）根据∠QAB ＝∠QMC ，∠QMC ＋∠QMB ＝180°，得到∠QAB ＋∠QMB ＝180°，在四边形QABM 中，∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°可得∠ABM ＋∠AQM ＝
180°，再根据∠ABM ＝90°即可求解；
（3）设正方形ABCD 的边长为a ，延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2，证得△ADH ≌
△ABM ，得到∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM ，由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形，易得∠NAM ＝∠NAH ，进而得到△NAM ≌ △NAH ，在Rt △MNC 中，利用勾股定理得到6a =，即可求解．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形
∴∠QBA ＝∠QBC
在△QBA 和△QBC 中。