第九章工程力学哈工程 优质课件

若传递的功率为N (kW)，转速为n（r/min），则 每分钟
功率作功：W N 100060
力偶作功：W M e 2 n
Me

1000 60N
2 n
Me

9549
N n
(N m)
其中：N —— 功率，千瓦（kW）
n —— 转速，转/分（r/min）
若功率的单位为马力时，则公式为
l1 =0.2m ， l2 =0.4m ； []=60MPa ， []=1°/m ，
G=80GPa；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面
的相对扭转角。
MC
MA MB
解：（1）强度校核
C
l2
l1 B 0.6kN·m
1

M n1 Wn1

16M n1
d13
⊕
○
0.8kN·m

16 600
0.043
R ae o
ae d
dx
Me
R
aa R d
dx d x R d (a)
dx

e o e d



d
dx
(b)
dx
2. 物理关系
G
（b）式代入得


G
d
dx

(c)
3. 静力关系
M n A dA

A
一、应力
从三方面考虑： 1. 变形几何关系
变形几何关系 物理关系 静力关系
观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没
有变化; (2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度。
刚性平面假设： 圆轴扭转时，横截面保持为平面,并且只在
原地绕轴线发生“刚性”转动。
Me
mn

mn
dx
180

1.71/ m
2
Mn2 GI P 2

180


32 800
80109 0.074

180

0.24/ m
MC
MA MB
max 1 1.71 / m
此轴不满足刚度条件。
C
l2
l1 B （3）计算两端面的相对扭转角
○
0.6kN·m ⊕

Mn Wn
Ip 、 Wn 的计算
实心圆轴
I p
2dA
A
D/ 2 2 2d
0
dA 2d
D 4
2 2
D4
4
32 D
d o
Wn

Ip R
I p D3
D 2 16
空心圆轴
I p
D/ 2 2 2d
477N m
MD
9549 ND n
9549 20 300
637N m
（2）计算各段的扭矩
MB 1
MC 2 MA
3
MD
1
2
3
MB
1
Mn1 x
M n1 M B 477kN m
1
MB
MC
2 2
Mn2 x
M n2 (M B MC ) 954kN m
( rad/m )
max


Mn GIp

max
[ ]
若[] 的单位为 º/m，则
( rad/m )
max


Mn GIp
max
180


[ ]
( º/m )
例 9-5-1 图 示 圆 轴 ， 已 知 MA =1.4kN·m ， MB =0.6kN·m，MC =0.8kN·m；d1 =40mm，d2 =70mm；
当Mn、GIP 为常量时
Mnl
GI P
GIp 抗扭刚度
当Mn、GIP 分段变化
时

M nili GI pi
§9-5 圆轴扭转时的强度和刚度计算
强度条件 刚度条件
max


Mn Wn
max

[ ]
单位长度扭转角 d Mn
d x GIp
第九章 扭 转
§9–1 扭转的概念
传动轴
扭转
O
O
角

m
m
受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶。
变形特点：任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动。
以扭转变形为主的杆 —— 轴 材料力学以研究圆轴为主。
§9–2 外力偶矩 扭矩与扭矩图
一、外力偶矩的计算
外力偶矩可通过传递 功率和转速来换算。
Me
G
剪切虎克定律
G —— 剪切弹性模量
钢材的G约为80GPa。
四、剪切变形能
U表示剪切变形能
U
W

1 2
M e
剪切变形比能 u
uU V

1 2
M e
2 Rtl
1 2
Me
2 R2t
R
l
1
2
u 1
2
1 G 22来自2G 2§9-4 圆轴扭转时的应力和变形
d/2
(D4 d4)
32
D4(1 4 )
32
其中: d / D
Dd
d
o
Wn

Ip D
D3 (1 4 )
16
2
二、变形
扭转角 两个横截面绕轴线的相对转角。
由(e)式
d M n dx
GI p

l
d
l
M n dx
0
0 GI p
Me

7024
N n
(N m)
二、扭矩 扭矩图
Me
1
Me
1
Me
1
Mn
x
Mx 0,
1
Mn Me 0
Mn 1
Me
Mn Me
1
Mn 扭矩
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
扭矩图
扭矩沿杆轴线的变化情况图
例9-2-1 画图示杆的扭矩图
3kN.m 1 5kN.m 2 2kN.m


Mn
2 R2t
剪应变
R
l
二、纯剪切状态
Y 0 X 0
两相对的面 上，剪应力 大小相等，
方向相反。
Mz 0, t d x d y

t d y d x 0

剪应力互等定理
三、剪切虎克定律
对各向同性 材料，有
G E
2(1 )
当剪应力不超过剪切比例极限时:

d
2 1
A1
A2


D22
4
(1
2)

D22
d12
1 2
562
57.52 (1 0.52 )
4
1.265
第九章作业
9-1、9-2、9-4、9-5、9-6、9-8、9-9 9-11、9-12
Mn3 3
MD
M n3 M D 637kN m
3
x
（3）作扭矩图
MB
MC
MA
MD
637
477
Mn图(kN·m)
954
§9–3 薄壁圆筒的扭转
一、 应力与应变
试验观察 轴线和周向线 长度不变 横截面和纵向 截面上无正应 力。 横截面上只有 剪应力。
剪应力
Mn 2 Rt R
CB
2
1

M n2l2 GI P 2

M n1l1 GI P1
0.8kN·m

32
G
(
M n2l2
d
4 2

M n1l1 d14
)



32 80 109
(
800 0.4 0.074

600 0.2 0.044
)

180

0.245
例题9-5-2 图示材料相同的实心轴与空心轴通过牙 嵌离合器联结，传递外力偶矩Me=700N·m。设空心轴 的内外径之比α=0.5 ， [τ]=20MPa 。试设计实心

M nmax Wn

πD23
M nmax
1 4

/ 16
D2

3
π
16M nmax
14


3
π
16 700 1-0.54 20106
0.0575m=57.5mm 取 D2 =57.5mm, d2 =0.557.5 28.8mm
实心轴与空心轴的横截面面积之比：
轴的直径d1和空心轴外直径D2，并比较两轴的横截面 面积。
解： 实心轴
max

M nmax Wn

M nmax πd13 / 16


d1

3
16M nmax
π
3 16 700 0.056m=56mm π 20106
空心轴
取 d1=56mm
max
A 3kN.m
1
C
2B
解： AC段： M 0,
M n1 3 0 , M n1 3kN m
Mn1
2kN.m
扭矩图
Mn2 3kN.m
⊕
○-
2kN.m
BC段： M 0,
M n2 2 0 , M n2 2kN m
例 9-2-2 传 动 轴 如 图 所 示 ， 主 动 轮 A 输 入 功 率
47.7MPa
MC
C
l2
○
MA MB
2

M n2 Wn2

16M n
d23
2
l1 B
0.6kN·m ⊕

16 800
0.073
11.9MPa
满足强度条件。
0.8kN·m
（2）刚度核该
1

M n1 GI P1
180


32 600
80109 0.044


G
d
dx

dA
G d 2dA dx A
(d)
记 I p 2dA —— 极惯性矩
A
则
Mn

G
d
dx
I
p
(e)
dA
dA
O Mn
由(c)、(e) ，有


Mn
Ip
在给定的横截面上，最外缘剪应力最大
max

MnR Ip
记
Wn

Ip R
—— 抗扭截面模量
max
NA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15kW， ND=20kW，轴的转速n=300r/min。试绘制扭矩图。
MB
MC
MA
MD
B
C
解：（1）计算外力偶矩
A
D
M
A

9549
NA n
9549 50 300
1592N m
MB

MC
9549
NB n
9549 15 300