2019七年级数学上册 第4章 4.2 直线、射线、线段 第2课时 线段的大小比较备课素材

4.2 直线、射线、线段
第2课时线段的大小比较
第3课时线段的性质
置疑导入归纳导入复习导入类比导入
大家认识下面的两位名人吗？
图4－2－35
那么，我们现在来比较一下他们的身高(学生七嘴八舌，发表见解：姚明更高一些)．那要是让潘长江老师站到三楼上，姚明站在地面上呢？(这样就没有可比性)
如果我们用线段来表示人的身高，又如何比较线段的长短呢？从而引入课题．
[说明与建议] 说明：利用名人，把现实生活中的问题转化为数学中的探索问题，激发学生的学习兴趣，在具体问题中设问，在解答问题中形成认知冲突，激发学生解决问题的热情．建议：重点让学生明白两条线段长短的比较方法，为本节课的学习做好铺垫．
图4－2－36
老师用多媒体出示一张生活中“猫狗获取食物”的图片，让学生猜测它们的走法．
处理方式：先由学生自由发言，然后教师总结．
你知道小猫和小狗为什么会选择这样的路线吗？难道它们也懂数学？
[说明与建议] 说明：利用生活中可以感知的情境，激发学生的学习兴趣，使学生感受生活中所蕴含的数学道理．让学生感受从实际问题中抽象出所要比较的线段长短的过程．建议：引导学生结合实际生活理解两点之间的距离的概念：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离．
[命题角度1] 计算线段的和与差
解这类题要结合图形，明确所求的线段的和或差是哪两条线段的和或差．当题目中没有明确点的位置(点在线段上还是在线段的延长线上)时，应该全面考虑，注意某些条件下的图形的多样性．
例已知线段AC＝1，BC＝3，则线段AB的长度是(D)
A．4 B．2 C．2或4 D．无法确定
[命题角度2] 利用线段中点及和差求线段的长
利用中点的性质得出线段之间的倍分关系是解题的关键，灵活运用线段的和差倍分转化线段之间的数量关系也是解这类题的关键．
例 [九江期末] 在直线m 上顺次取A ，B ，C 三点，使得AB ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，如果O 是线段AC 的中点，则线段OB 的长度为(A )
A ．0.5 cm
B ．1 cm
C ．1.5 cm
D ．2 cm [命题角度3] 尺规作图——画线段的和与差
用圆规画线段的和与差，关键是能灵活运用线段的和、差转化线段之间的数量关系．注意作图时保留作图痕迹．
图4－2－37
例 如图4－2－37，已知线段a ，b ，c ，用直尺和圆规画图(保留画图痕迹)． (1)画一条线段，使它等于a ＋b ； (2)画一条线段，使它等于a －c ；
并用字母表示出所画线段．[答案：略]
[命题角度4] 利用两点之间线段最短解决问题
两点之间所有的连线中，线段最短．根据这条定理可以解决实际问题．
例 [济宁中考改编] 把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理是__两点之间，线段最短__．
P128练习
1．估计下列图中线段AB 与线段AC 的大小关系，再用刻度尺或用圆规来检验你的估计．
[答案] (1)AB >AC ；(2)AC >AB ； (3)AB ＝AC .检验略．
2．如图，已知线段a ，b ，作一条线段，使它等于2a －b .
[答案] 提示：作射线AB ，在射线AB 上截取AC ＝2a ，在线段CA 上作线段CE ＝b ，则线段AE 的长为2a －b . 3．如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4 cm ，求线段CD 的长度．
[答案] 因为点D 是AB 的中点，点C 是线段AD 的中点，所以AD ＝1
2
AB ＝2 cm ；
CD ＝12
AD ＝1 cm.
P129习题4.2 复习巩固
1．举出生活中一些可以看成直线、射线、线段的例子．
解：如笔直的公路可以看作一条直线；手电筒发出的光可以看作一条射线；连接两车站之间笔直的公路可以看作线段．
2．如图，已知三点A，B，C，
(1)画直线AB；
(2)画射线AC；
(3)连接BC.
[答案] 如图所示：
3．延长线段AB是指按从端点A到B的方向延长；延长线段BA是指按从端点B到A的方向延长，这时也可以说反向延长线段AB.如图，分别画出线段AB的延长线和反向延长线．
解：如图所示：(1)是线段AB的延长线，(2)是线段AB的反向延长线．
4．读下列语句，并分别画出图形：
(1)直线l经过A，B，C三点，并且点C在点A与B之间；
(2)两条线段m与n相交于点P；
(3)P是直线a外一点，过点P有一条直线b与直线a相交于点Q；
(4)直线l，m，n相交于点Q.
解：(1)如图所示：
(2)如图所示：
(3)如图所示：
(4)如图所示：
5．画一个正方形，使它的面积是图中正方形面积的4倍．
[答案] 提示：画一个边长为已知正方形边长的2倍的正方形即可，图略．
6．如图，有一张三角形的纸片，用折纸的方法比较边AB与AC的长短．
解：AB<AC.
综合运用
7．估计图中各组线段的长短，并用刻度尺或圆规验证你的结论．
[答案] 提示：要掌握量法和圆规截取法．
8．(1)如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？
(2)如图，公园里修建了曲折迂回的桥，这与修一座直的桥相比，对游人观赏湖面风光能起什么作用？用你所学数学知识说明其中的道理．
解：(1)A，B两地间的河道长度变短了；
(2)能更多地观赏湖面风光，增加了游人在桥上行走的路程．
9．如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于a＋2b－c.
[答案] 图略．提示：作射线AB，在射线AB上截取线段AC＝a＋2b，在线段CA上截取CE＝c，则线段AE 为求作的线段．
10．点A，B，C在同一条直线上，AB＝3 cm，BC＝1 cm.求AC的长．
[答案] ①如图点C在线段AB的延长线上．AC＝AB＋BC＝3＋1＝4(cm)．
②如图点C在线段AB上，AC＝AB－BC＝3－1＝2(cm)
答：AC的长为4 cm或2 cm.
拓广探索
11．如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由．
[答案] 提示：应先把立体图形展开为一个平面图形，在平面图形上连接这两点，即为最短的路径，理由：两点之间，线段最短．
12．两条直线相交，有一个交点．三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？
[答案] 3，6，规律略．
[当堂检测]
第2课时 线段的长短比较
1. 下列说法正确的是（ ）
A ．若AC ＝1
2 AB ，则C 是AB 的中点
B ．若AB ＝2CB ，则
C 是AB 的中点
C ．若AC ＝BC ，则C 是AB 的中点
D ．若AC ＝BC ＝1
2
AB ，则C 是AB 的中点
2. 如图：线段AB=14cm ，C 是AB 上一点，且AC=9cm ，O 是AB
的中点，则线段O C 的长度是（ ）
A. 11cm
B.5cm
C.3cm
D.2cm
3. 比较两条线段的大小，可以测量它们的____________作比较，或把其中的一条线段移到___________作比较。

4. 直线AB 上有一点C ，满足AB= 6cm, BC= 4cm,D 为AC 的中点，求DB 的长 .
5. 已知线段a 、b,（其中a ＞b ）,求作线段AC. （1）AC=a+b;(2)AC=a –b. 参考答案： 1. D 2. D
3. 长度 另一条线段上
4. 解：由题可知，点C 有两种可能：
（1）C 在线段AB 上，则AC= 2cm, DC=1 cm, 所以BD= 5 cm .
（2）C 在AB 的延长线上，则AC=10 cm, 则AC=BC=5 cm ,所以BD=1 cm 5. 图略.
第3课时 线段的性质
1. 平面上A 、B 两点间的距离是指（ ） A ．经过A 、B 两点的直线 B ．射线AB
C ．A 、B 两点间的线段
D ．A 、B 两点间线段的长度
2. 如图，从A 到B 有3条路径，最短的路径是③，理由是（ ） A ．因为③是直的 B ．两点确定一条直线 C ．两点间距离的定义 D ．两点之间，线段最短
3. 某高速路的设计者在经过一座山时准备设计修建一个隧道，以缩短两地之间的里程，其主要依据是（）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线
4. 如图所示，A，B是两个村庄，若要在河边L上修建一个水泵站往两村输水，问水泵站应修在河边的什么位置，
才能使铺设的管道最短.请说明理由．
5. 在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处，你能帮助蚂蚁设计一条最短的
爬行路线吗？说说你的理由。

参考答案：
1. D
2. D
3. B
4.解：过点A、B作线段AB，与直线L的交点P为所求水泵站的位置, 图略.因为两点之间，线段最短．
5.解：把正方体的正面与右侧面（或上面）展开成平面图形，因为两点之间线段最短，所以蚂蚁可沿点A-点
EF的中点（或CE的中点）-B点．
[能力培优]
专题一直线、射线、线段的概念与性质
1.对于直线AB，线段CD，射线EF，在下列各图中能相交的是（）
2.下列语句正确的是（）
A. 画直线AB＝5厘米
B. 过任意三点A、B、C画直线AB
C. 画射线OB＝5厘米
D.画线段AB＝5cm
3.平面上有四个点A、B、C、D,根据下列语句画图：
(1)画直线AB、CD交于E点; (2)画线段AC、BD交于点F; (3) 作射线BC;
(4)连结E、F交BC于点G; (5)取一点P,使P在直线AB上又在直线CD上.
4.如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线 上；
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律； （3）“2013”在哪条射线上？
5.通过阅读所得的启示来回答问题（阅读中的结论可直接用） 阅读：在直线上有n 个不同的点，则此图中共有多少条线段？ 分析：通过画图尝试，得表格：
问题：(1)某学校九年级
共有8个班进行辩论赛，
规定进行单循环赛（每两班之间赛一场），那么该校初三年级的辩论赛共有多少场次？ (2)有一辆客车,往返两地,中途停靠三个车站,问有多少种不同的票价?要准备多少种车票?
专题二 两点之间线段最短的应用
6.如图，从A 到B 最短的路线是（ ）
6=1+2+3
直线上点的个数
共有线段条数
图形
两者关系
2 3 4 5 1
3 6 10 ．．． ．．． n ．．． ．．． (1)2n n -=1+2+……+（n-1） (1)2n n - 10=1+2+3+4
3=1+2 1=1 A 1 A 2 A 1 A 3
A 1 A 2 A 2 A 2 A 3 A 1 A 3 A 3 A 1 A 4 A 2 A 5 A 4 A 4 A n ……
A. A —G —E —B
B. A —C —E —B
C. A —D —G —E —B
D. A —F —E —B
7.已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）
专题三 与线段有关的计算
9.（2012·常德）若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图1，再将图2中的每一段类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为（ ）
A ．2
B ．
2716 C ．916 D ．27
64
图1 图2 图3 图4
10.（2012·菏泽）已知线段AB =8cm ，在直线AB 上画线段BC 使BC=3cm ，则线段AC = ． 11.如图某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在三个区选一个区
为停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在
.
12.如图，已知E 、F 两点把线段AB 分成2:3:4，D 是线段AB 的中点，FD=24，求：AB 的长
.
A ．
B ．
C ．
D ．
13.已知线段AB=10厘米，直线AB 上有一点C ，且BC=4厘米，M 是线段AC 的中点，求AM 的长．
知识要点：
1.直线是向两方无限延伸着的；直线上的一点和它一旁的部分叫射线；直线上两点及两点间的部分叫线段.
2.直线没有端点；射线有一个端点；线段有两个端点.
3.直线有两种表示方法：①用一个小写字母表示;②用两个大写字母来表示. 射线有两种表示方法：①用端点两个大写字母表示，端点写在前面；
②用一个小写字母表示.
线段也有两种表示方法：①是用两个端点字母表示；② 是用一个小写字母表示. 4.经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单的说：两点确定一条直线. 5.两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短. 温馨提示：
1.直线和射线都不能度量,没有长度，没法比较大小；线段可以度量，有长短之分，可以比较大小.
2.直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸，可反向延长射线，线段不能向任何一方延伸，但可以延长线段，或反向延长线段. 方法技巧：
1.n 个不同的点最多确定的直线有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝1
2
n(n －1)条.
2.求两点之间的最短路径问题,一般转化为“两点之间,线段最短”解决.
答案：
1. B 解析：AB 是一条直线，EF 是从E 向F 延伸的射线.所以B 中的图形能相交.
2. D 解析：直线、射线无法度量长度，所以A,C 错；过不在同一直线上的三点无法画出一条直线，故B 错.
3. 解析 如图所示
4. 解析：（1）17÷6＝2…5，所以17和5在同一条射线上，即在射线OE 上；
（2）射线OA 上所有的数除以6的余数为1，…；射线OA 上数字的排列规律：6n －5；
射线OB 上数字的排列规律：6n －4；射线OC 上数字的排列规律：6n －3；射线OD 上数字的排列规律：6n －2；射线OE 上数字的排列规律：6n －1；射线OF 上数字的排列规律：6n ； （3）2013÷6的余数为3，因此2013在射线OC 上．
5.解析：（1）取n=8,比赛场次为: 282
)
18(8=-. (2)5个站点共有
102
)
15(5=-种不同票价,每两站之间要准备往返两种车票，所以需要准备20种不同的车票.
6. D 解析：从点A 到点E 最短的路线是线段AE,所以从A 到B 最短的路线是A —F —E —B.
7. D 解析：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A 和B 错误，又因为蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P 处，那么如果将选项C 、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于OM 上的点P 应该能够与OM ′上的点（P ′）重合，而选项C 还原后两个点不能够重合，故选D ．
8.
9. D 解析：第二个图形在第一个图形的长的基础上多了它的长的
3
1
，同样，第三个图形在第二个图形的基础上，多了其长的31，第四个图形在第三个图形的基础上，多了其长的3
1
．因为第一个线段长为1；所以第二个
图形的折线的总长度为1×(1＋31) ＝34；第三个图形的折线的总长度为34×(1＋31) ＝9
16
；第四个图形的折
线的总长度为916×(1＋31) ＝27
64
．
10. 5cm 或者11cm 解析：若点C 在线段AB ，则AC=AB －BC=8－3=5（cm ）；若点C 在线段AB 的延长线上，则
AC=AB+BC=8+3=11（cm ）．
11. A 区 解析：如果设在A 区，则所有员工步行的路程为：15×100+10×300=4500米； 如果设在B 区，则所有员工步行的路程为：30×100+10×200=5000米； 如果设在C 区，则所有员工步行的路程为：30×300+15×200=12000米； 因为4500＜6000＜12000，从而确定所选的停车点位应设在A 区．
12. 解析：因为E 、F 两点把线段AB 分成2:3:4，所以设AE=2x ，EF=3x ，FB=4x ，则AB=2x+3x+4x=9x. 因为D 是线段AB 的中点，所以BD=
1
2
AB=4.5x.所以DF=BD －BF=4.5x －4x=0.5x. 因为FD=24=0.5x ，所以x=48.所以AB=9×48=432.答：AB 的长为432.
13. 解析：（1）当点C 在线段AB 上时，如图1，
因为M 是线段AC 的中点，所以AM=CM=
2
1
AC ， 又因为AB=10厘米，BC=4厘米，
所以AC=AB －BC=6厘米，所以AM=3厘米． （2）当点C 在线段AB 的延长线上时，如图2，
A M C B
精 品 试 卷
11
因为M 是线段AC 的中点，
所以AM=CM=2
1AC ， 又因为AB=10厘米，BC=4厘米，
所以AC=AB+BC=14厘米，所以AM=7厘米．
答：AM 和长为3厘米或7厘米．
《找出搀假金球》
传说阿基米德给叙拉古王国的国王破译出金匠打造的那顶钝金皇搀进了黄铜以后，国王想起两年前还曾让这个金匠打造一只游戏金球。

只惜拿回来以后便和进了其它大小、色泽一样的25只金球中去了。

叙拉古国王很不放心也想鉴定一下那只金球是否也搀进了黄铜，这个问题当然比皇冠问题要容易多了。

以至未能在正式书中留下记载。

当时，阿基米德仅用了手边一台无砝码天平且只称了3次，就找出了搀假球，圆满地回答了国王的问题。

从此，阿基米德作为宫廷科学家得到了国王的信赖。

请问如果换了你能否通过这台天平判定金匠打造那只金球有没有搀假，你能说出阿基米德那3次是怎样称的？
不妨将26只球分成9、9、8三组：第一称：9、9两组分置天平两盘。

如果天平倾斜，说明金匠打造的那只金球搀了假，而且搀假球就在翘起的（黄铜比重较轻）那9只里边；如果天平平衡。

我们可进一步检验未称的那8只球。

二称、三称分下面两种情况进行：
（1）如果第一称不平，将翘头的那9只平均分成3份，把其中两份分置天平左右。

如果天平平衡，搀假球一定在第二称未入盘的那3只中，如果天平不平，搀假球在翘头那一盘的3只中，反正范围已缩小在3只之中。

我们再在有问题的3只中取出两只分置天平两边作第3称。

如果不平，因搀假球为第3称未入盘那一只。

搀假球找出，问题解决。

（2）如果第一称天平平衡。

我们将未称的那8只分成3、3、2三份。

第2称将3、3两份分置天平左右。

如果不平。

说明搀假球在翘头那盘的3只之中，仿前称第3次。

则可找出那只搀假球。

如果第二称天平平衡，则只将所余未称的两只分置天平左右，不平，翘头的那只为搀假球；平，则金匠未曾搀假，问题也解决。

A M
B C。