平面解析几何直线练习题含答案

直线测试题
一．选择题（每小题5分共40分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ）
A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示；
B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示；
C.不经过原点的直线都可以用方程
1=+b
y
a x 表示； D.经过定点A （0，
b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示。

【答案】B
【解析】A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程
b
y
a x +=1表示；D 中过A （0，
b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示.
评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围.
2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）
A.k 1＜k 2＜k 3
B.k 3＜k 1＜k 2
C.k 3＜k 2＜k 1
D.k 1＜k 3＜k 2
【答案】D
【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D.
3. 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ）
A. A 1A 2＋B 1B 2＝0
B.A 1A 2－B 1B 2＝0
C.
12121-=B B A A D.2
121A A B
B =1 【答案】A
【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－
11B A ·（2
2B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，⎩⎨
⎧==⎩⎨⎧==0
001221B A B A 或， 同样适合A 1A 2＋B 1B 2＝0，故选A. 法二：取特例验证排除.
如直线x +y =0与x －y =0垂直，A 1A 2＝1，B 1B 2＝－1，可排除B 、D. 直线x =1与y =1垂直，A 1A 2＝0，B 1B 2＝0，可排除C ，故选A.
评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.
4. 若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A.)3,6[ππ
B.)2,6(ππ
C.)2
,3(π
π
D.]2
,6[π
π
【答案】B
【解析】法1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎩⎨
⎧=-+-=k k y k
x y x kx y 323
2632)32(306323 ∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧>>00y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->++0
32326032)
32(3k
k k
解得k ∈（
3
3
，＋∞），
∴倾斜角范围为（
2,
6π
π）
法2：如图，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l 必过点（0，－
3），当直线过A 点时，两
直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.
5. 设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x +ay +c =0与bx －sin B ·y +sin C =0的位置关系是（ ）
A.平行
B.重合
C.垂直
D.相交但不垂直
【答案】C
【解析】由题意知a ≠0，s i n B ≠0，两直线的斜率分别是k 1=－
a A sin ，k 2=B
b
sin . 由正弦定理知k 1·k 2=－a A sin ·B
b
sin =－1，故两直线垂直.
评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.
6. 已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，
12
π
）内变动时，a 的取值范围是（ ）
A.（0，1）
B.（
3,3
3） C.（33
，1）∪（1，3） D.（1，3） 【答案】C
【解析】直线l 1的倾斜角为
4
π
，依题意l 2的倾斜角的取值范围为（
4
π－
12π，4
π）∪（
4
π，
4π+12
π
）即:（
6π，
4
π
）
∪（
4
π，
3
π）,从而l 2的斜率k 2的取值范围为:（
3
3
，1）∪（1,3）. 评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.
7. 若直线
1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．22
1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b
+≥
【答案】D 本题是训练思路的极好素材，看能否找到10种解法？
8．已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．1
(1)2
( C) 1(1]23-
D ．11
[,)32
【答案】B
二．填空题（每小题5分，共30分）
9.过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 【解析】错解：设所求直线方程为1x y a a
+=-，过点)3,2(P ，则有
23
11a a a
-=⇒=- ∴直线的方程为01=+-y x .
错因：少了直线经过原点的情况，故还有x y 2
3
=
，即023=-y x 也适合题意. 10. 与直线0532=++y x 平行，且距离等于13的直线方程是 . 【解析】设所求直线方程为032=++m y x ，则
133
252
2
=+-m ，解得18=m 或8-=m ，∴直线方程为
01832=++y x 或0832=-+y x .
11. 直线l 经过点)3,2(P ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为 .
【解析】依题意，直线l 的斜率为±1，∴直线l 的方程为23-=-x y 或)2(3--=-x y ，即01=+-y x 或
05=-+y x .
12. 在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0，∠A 的平分线所在的直线方程为y=0，若点B 的坐标为（1，2），则点A 和点C 的坐标分别为 。

【答案】(1,0),(5,6)--
13.光线自点)3,2(M 射到点)0,1(N 后被x 轴反射，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】330x y +-=
14．若ABC ∆的顶点)4,3(A ，)0,6(B ，)2,5(--C ，则A ∠的平分线AT 所在直线方程为 ．
【解析】如图，在此对图形特征从不同角度给予分析以获得解题思路： 法1 AB 的方程为4
(6)433
y x x y =-
-⇒+-
AC 的方程为3374(3)444
y x y x -=
-⇒=+ 3470x y ⇒-+=
设直线AT 的斜率为k ，则用到角公式可得
43
3443(34)3411()43
k k k k k k ---
=⇒-=±+++-，
解得7k =或1
7k =-（舍去）
所以有47(3)7170y x x y -=-⇒--=。

法2 3
tan 4
AC k α==
，如图有3
14tan(45)7314
AT k α+
=+=
=-，下略。

法3 取直线CA,TA,BA 的方向向量分别为12(4,3),(1,),(3,4)v v k v ===-，则
1212cos 43347.v v v v k k k v v
v v
θ==
⇒+=-+⇒=
法4 设AT 上任意一点坐标为（a,b ），则
4324347
4324(347)55
x y x y x y x y ++-+=⇒++=±-+
检验，舍去一个即可。

三．解答题（满分30分）
15．（7分）已知点)2,5(),1,1(B A -，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率. 【解析】设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为α2，依题意有
4
3
15)1(22tan =---=
α，
∴
4
3tan 1tan 22
=-αα，即03tan 8tan 32=-+αα， ∴3
1
tan =
α或3tan -=α. 由0018020≤≤α，得0
900≤≤α，有0tan ≥α，
∴3
1tan =α，∴直线l
的斜率为31.
16. （7分）已知三条直线0,0134,0532=-=+-=++y mx y x y x 不能构成三角形，求实数m 的值. 【解析】依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故2
3
m =-或34=
m 或1=m ，∴实数m 的取值集合是24,,133⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
. 17. （8分）已知点)15,2(),5,3(B A -，在直线0443:=+-y x l 上求一点P ，使PB PA +最小.
【解析】由题意知，点A 、B 在直线l 的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点A 关于直线l 的对称点'A ，然后连结B A '，则直线B A '与l 的交点P 为所求.事实上，设点'P 是l 上异于P 的点，则
PB PA B A B P A P B P A P +=>+=+''''''.
设),('y x A ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++⋅--⋅-=⋅+-0
425423314
3
35y x x y ，解得⎩⎨⎧-==33y x ，
∴)3,3('-A ，∴直线B A '的方程为05118=-+y x .
由⎩⎨⎧=-+=+-051180443y x y x ，解得⎪⎩
⎪
⎨⎧
==338y x ，∴)3,38(P .
18. （8分）在直角坐标系中，设矩形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O （0，0），P （1，t ），Q （1－2t ，2+t ），
R （－2t ，2），其中t ∈（0，＋∞）.求矩形OPQR 在第一象限部分的面积S （t ）.
【解析】（1）当1－2t ＞0即0＜t ＜
2
1
时，如图7—13，点Q 在第一象限时，此时S （t ）为
四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y －2=t （x +2t ）.令x =0，得y =2t 2＋2，点K 的坐标
为（P ，2t 2＋2）.
t t t S S S OKR OPQR OPQK 2)22(2
1
)1(2222⋅+-+=-=
)1(232t t t -+-=
当－2t +1≤0，即t ≥
2
1
时，如图7—14，点Q 在y 轴上或第二象限，S （t ）为△OP Ｌ的面积，直线PQ 的方程为y －t =－t
1
（x －1），令x =0得y =t +t
1，点L 的坐标为（0，t +t
1），
S △OPL ＝1)1(21⋅+t t )1(21t
t += 所以S （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥+<<-+-21 )1(2
1210 )1(23
2t t t t t t t
附加题（计入总分，每题5分，但总分不超过100分）：
1.已知长方形的四个顶点)0,0(A 、)0,2(B 、)1,2(C 和)1,0(D ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）.设4P 的坐标为)0,(4x .若412x <
<，则θtan 的取值范围是（ ）
A.)1,31(
B.)32,31(
C.)21,52(
D.)3
2,52(
【解析】用特例法，取14=x ，则1P 、2P 、3P 、4P 分别为BC 、CD 、DA 、AB 的中点，此时2
1
tan =θ.依题意，包含2
1
tan =θ的选项（A ）（B ）（D ）应排除，故选（C ）.
2. 在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，求△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数为 。

【解析】法1：由y =10－
32x （0≤x ≤15，x ∈N ）转化为求满足不等式y ≤10－3
2
x （0≤x ≤15，x ∈N ）所有整数y 的值.然后再求其总数.令x =0，y 有11个整数，x =1，y 有10个，x =2或x =3时，y 分别有9个，x =4时，y 有8个，x =5或6时，y 分别有7个，类推：x =13时y 有2个，x =14或15时，y 分别有1个，共91个整点.故选B.
法2：将x =0，y =0和2x +3y =30所围成的三角形补成一个矩形.如图
7—2所示
.
对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB内部和边上的整点共有
26
176
=91（个）
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