2018高考数学文全国大一轮复习课件：第七篇 立体几何

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM 与CN所成角的余弦值为( D )
(A)
1 3
(B)
2 3
(C)
1 5
(D)
2 5
解析:如图,取 AB 的中点 E,连接 B1E,则 AM∥B1E. 取 EB 的中点 F,连接 FN,则 B1E∥FN,因此 AM∥FN, 连接 CF,则直线 FN 与 CN 所夹锐角或直角为异面直线 AM 与 CN 所成的角θ. 设 AB=1,在△CFN 中, CN=
5 5 17 ,FN= ,CF= . 2 4 4
CN 2 FN 2 CF 2 2 由余弦定理得 cos θ=|cos ∠CNF|= = .故选 D. 5 2CN FN
5.下列命题中不正确的是
.(填序号)
①没有公共点的两条直线是异面直线;
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;
③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能 平行;
第 3节
空间点、直线、平面之间的位置关系
最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定 义,并了解可以作为推理依据的公理和 直的有关性质与判定定理. 3.能运用公理、定理和已获得
定理.
发点,认识和理解空间中线面平行、垂
的结论证明一些空间位置关系
2.以立体几何的定义、公理和定理为出 的简单命题.
知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
文字语言 公 理 1 公 理 2 公 理 3 如果一条直线上的两点 在一个平面内,那么这 条直线在此平面内 图形语言 符号语言
Al Bl ⇒ l⊂ α A B
作用 判断直线在 平面内
过不在一条直线上的三 点,有且只有一个平面 如果两个不重合的平面 有一个公共点,那么它 们有且只有一条过该点 的公共直线
l ∥m ⇒ m∥n l ∥n AB ∥AB ⇒ AC ∥A C
证明线线 平行
两角 相等 或互补 的定理
判断或证 明两角相 等或互补
∠A=∠A′ 或 ∠A+∠A′=π
或互补
2.空间中点、线、面之间的位置关系
直线与直线 图形 语言 符号 语言 交点 个数 图形 语言 符号 语言 交点 个数 a∩b=A 1 a∩α =A 1 α ∩β =l 无数个 a∥b 0 a∥α 0 α ∥β 0 直线与平面 平面与平面
④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.
解析:没有公共点的两直线平行或异面,故①错;如果与两异面直线中 一条交于一点 , 则两直线相交 , 故命题②错 ; 命题③ , 设两条异面直线
为a,b,c∥a,若c∥b,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故c,b 不可能平行,③
正确 ; 命题④正确 , 若 c 与两异面直线 a,b 都相交 ,a,c 可确定一个平 面,b,c也可确定一个平面,这样a,b,c共确定两个平面.
图形 语言 符号 语言 交点 个数 a,b 是异面直线 0 a⊂ α 无数个
3.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b, 把a′与b′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
π . (2)范围: 0,
【重要结论】
2.(2016· 福建厦门月考)以下四个结论: ①若a⊂α ,b⊂β ,则a,b为异面直线;②若a⊂α ,b⊄α ,则a,b为异面直线;③ 没有公共点的两条直线是平行直线;④两条不平行的直线就一定相交. 其中正确结论的个数是( (A)0个 (B)1个 (C)2个 A ) (D)3个
解析:①满足若a⊂α,b⊂β的直线a,b可能是异面直线,可能是平行直 线也可能是相交直线.所以①错误.②根据直线和平面的位置关系可 知,平面内的直线和平面外的直线,可能是异面直线,可能是平行直线, 也可能相交,所以②错误.③在空间中,没有公共点的两条直线是平行 直线或者是异面直线,所以③错误.④在空间中,两条不平行的直线可
知识链条完善
【教材导读】
把散落的知识连起来
1.直线的“无限伸展性”与平面的“无限延展性”有什么区别? 提示:“无限伸展”沿直线向两个方向伸展;“无限延展”是在平面内向
各个方向延展.
2.分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗? 提示:不是,也可能相交或平行.
知识梳理
1.平面的基本性质及相关公(定)理
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2
1.a,b,c表示直线,a∥b,a⊥c,则b⊥c.
2.如果直线和平面相交于一点,则平面内不过此交点的直线与该直线是 异面直线.
对点自测
1.(2016· 衡水期中)在下列命题中,正确的个数是( D ) ①经过两条相交直线有且只有一个平面 ②平行于同一直线的两条直 线互相平行 ③如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在 此平面内 ④如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 一条过该点的公共直线 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
A,B,C 三点 不共线⇒ 有且只有 一个平面α ,使 A∈ α ,B∈α ,C∈α
确定平面、 直线共面
P ⇒ P
α ∩β =l, 且 P∈l
寻找两平面 的交线;证 明线共点
平行于同一条直线的 公理 4 两条直线 互相平行 空间中如果两个角的 两边分别对应平行, 那么这两个角 相等
能是异面直线,所以④错误.故选A.
3.(2016· 长沙模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BD与A1C1的位置关系是
( D
)
(B)相交 (D)异面且垂直
(A)平行 (C)异面但不垂直
解析:因为正方体的对面平行,所以直线BD与A1C1异面, 连接AC,则AC∥A1C1,AC⊥BD, 所以直线BD与A1C1垂直,所以直线BD与A1C1异面且垂直,故选D.
解析:对于①,经过两条相交直线有且只有一个平面,是公理2的推理, 不是公理;对于②,平行于同一直线的两条直线互相平行,是平行公理; 对于③,如果一条直线上的两点在一个平面内 ,那么这条直线在此平 面内,是公理1;对于④,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它 们有且只有一条过该点的公共直线,是公理3.故选D.