兰州理工大学自动控制原理期末试题08a

(1)Determine the parameters K 1 and K 2 . (2) Evaluate the transient specifications t p 、 t s and δ % . R( s) 1 K1 s(s + 2) _ _ K2s
Fig.3
C ( s)
解：开环传递函数
3.引入零阶保持器，使系统多了一个负相角，使系统稳定性变差。(2 分)
7．(12 分) A nonlinear system is shown in Fig 6， where N(X ) = X +6 ( X > 0) X +2
， G ( s) =
K s ( s + 1) 2
(1)When the nonlinear system cause self-sustained oscillation, try to determine the range of K ; (2)Please evaluate the amplitude and frequency value of the self-sustained oscillation.
— G1(s) G2(s) G3(s)
C(s)
Fig.2 解：当 N(s)=0，R(s) ≠ 0 时， 则
C ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) + G3 ( s ) = R( s) 1 + G2 ( s )G3 ( s ) −G2 ( s )G3 ( s ) C ( s) = N ( s ) 1 + G2 ( s )G3 ( s )
振荡响应的点应为过原点作阻尼线与根轨迹相切的点 S1 。 (基地班 2 分)
此时： sin ϕ = 1.73 / 3 = 0.577 ， ζ = cos ϕ = 0.817 ， S1 到原点的距离即为 ωn 。 (基地班 2 分)
ωn = 32 − 1.732 = 2.45
S1 = −ζωn + jωn 1 − ζ = −2 + j1.41
离散系统特征方程为
(3 分)
D( z ) = 1 + G ( z ) = z 2 + [ K (1 − e −T ) − (1 + e −T )]z + e −T = 0
利用劳斯判据求解： 令z =
ω +1 ，代入方程化简后得 ω −1
⎡ 2(1 + e −T ) ⎤ Kω 2 + 2ω + ⎢ − K⎥ = 0 −T ⎣ 1− e ⎦
(3 分)
当 R(s) =0， N(s) ≠ 0 时，
(3 分)
3. （10 分）A given system is shown in Fig 3.If we want to obtain undamped natural frequency ω n = 4 and damping ratio ξ = 0.8 ,
阀门 浮球 杠杆 进水
水位 高度
h
水
出水
图1
解：这个简单的水位控制系统是通过浮球和杠杆来实现的。 浮球可以检测水位的高低， 这个信息通过杠杆来调节进水阀门来实现对水位 的调节，控制。这个调节作用也是一个负反馈过程，当水位升高时，浮球位置上
移，从而使阀门下移，减小进水量，使水位不再上升。当水位下降时，浮球位置 下移，从而使阀门上移，增加进水量，使水位不再下降。 (3 分) 图中输入信号是期望的水位，被控对象是水箱、被控量是水池的水位。 (3 分)
1 1 1 + = ⇒ d 2 + 6d + 6 = 0 d d +2 d +3
即：
∗ ∗ d1 = −1.27 （分离点）， d 2 = −4.73 （汇合点）， K d 1 = 0.536, K d 2 = 7.464
Im
-4.73 -4 -3 -2
-1.27 0
Re
(普通班 12 分) (基地班 10 分)
得分
一．填空（每小题 2 分，共 16 分）
1．Fundamental requirements of automatic control systems includes ：稳定性 、 快速性 and accuracy。 2．某控制系统的开环传递函数为 6( s + 1) ，输入信号为单位斜坡函数时， s ( s + 2)( s + 3)
100 。(5 分) ( s + 1)(0.2 s + 1)(0.01s + 1)
(5 分)
G(s) =
100(0.1s + 1) s ( s + 1)(0.01s + 1)
2． 又因为 G ( s ) = Go ( s )Gc ( s ) ， 所以 Gc ( s ) =
G ( s ) (0.2s + 1)(0.1s + 1) 1 = = 0.3 + + 0.02s Go ( s ) s s
浮球理想 位置
＋ －
误差信号
杠杆
控制量
进水阀门
水位(被控量)
浮球位置
浮球
(4 分)
2. (6 分)A control system is shown in Fig.2， Determine the transfer functions C(s)/R(s) and C(s)/N(s).
N(s)
R(s)
稳态误差为 1 。 3．欲消除阶跃干扰引起的稳态误差，应在 扰动作用点之前 引入积分环节。 4．一阶线性定常系统的单位阶跃响应在零时刻的斜率为 1，该系统的时间常数 为 1 s。 5． .Necessary and sufficient condition for linear discrete systems to be stable is 闭环 特征根在单位圆内 。 6． 在用频率法设计校正装置时， 采用串联超前网络是利用它的 提供正相角 性，采用串联滞后校正网络是利用它的 高频幅值衰减 特性。 ★ 7．最小拍系统产生纹波的原因是 零阶保持器的输出不是常值 、 稳定性 变差。 。
(3)Add a zero-order holder after the sampler ，try to analysis the effect of introduced zero-order holder to the stability of the system, and give a qualitative analysis.
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参考答案
注意：题中标注★号的为控制工程基地班必答题，题中标注▲号的为普通班必答题，题中未 作标记的为必做公共题。
∗ ▲ 2．临界阻尼值，即分离点处 K = 1.5K
(普通班 2 分)
所以 ★
∗ K1 = 1.5 K d 1 = 1.5*0.536 = 0.804, ∗ K 2 = 1.5 K d 2 = 1.5*7.464 = 11.196
(普通班 2 分)
2.由根轨迹图知，根轨迹为以(-3,0)为圆心，以 1.73 为半径的圆，因此取得最大
K1 K1 s ( s + 2) G(s) = = 2 K1 s + (2 + K1 K 2 ) s 1+ K2s s ( s + 2)
闭环传递函数
Φ(s) = K1 G ( s) = 2 1 + G ( s ) s + (2 + K 1 K 2 ) s + K 1
(1 分)
典型的二阶系统传递函数
Φ( s) =
R( s) +
K s ( s + 1)
C ( s)
−
T
Fig.5 解：解 由系统结构图可得
⎡ K ⎤ ⎛1 1 ⎞⎤ = z ⎢K ⎜ − G( z) = z ⎢ ⎟⎥ ⎥ ⎣ ⎝ s s + 1 ⎠⎦ ⎣ s ( s + 1) ⎦ z ⎞ Kz (1 − e −T ) ⎛ z = K⎜ − = ⎟ −T −T ⎝ z − 1 z − e ⎠ ( z − 1)( z − e )
−
= 1.09
ξπ
1−ξ 2
(2 分)
δ% = e
= 1.52%
(2 分)
4.(16 分) A unit-feedback system has the forward transfer function
K ∗ ( s + 3) G ( s) = s ( s + 2)
(1) Draw the root locus of the system; ▲ (2) Determine the value of K for the critically damped open-loop gain;
ωn 2 s 2 + 2ξωn s + ωn 2
(1 分)
对比两个 Φ ( s ) 可得
⎧ K1 = ωn 2 ⎨ ⎩2ξωn = 2 + K1 K 2
(1 分) (1 分)
所以
K 1 = 16 ， K 1 = 0.275
2)
tp =
π ωn 1 − ξ 2
3.5
= 1.31
(2 分)
ts =
ξωn
(5 分)
所以，校正装置为 PID 控制器或滞后-超前校正装置。 善动态性能，利用滞后改善稳态性能。
(1 分) (2 分)
功能：利用超前提供正相角和滞后高频幅值衰减特性，改善相角裕度，提供相对稳定性，改
6、(12 分) A control system is shown in Fig.5， T is sample period, T = 1s ， (1) Evaluate the range of values of K for which the system is stable； (2)When reference input r (t ) = 2 + t and K = 1 , determine the steady error ess ;
L(ω)db
G(s) [-20]
40
[-20] [-40]
1 5
[-40]
10
[-20]
100
ω [-40]
G0(s)
图4
[-60]
解：
1． Go ( s ) =
K ， 20 lg K = 40 ⇒ K = 100 。 ( s + 1)(0.2 s + 1)(0.01s + 1)
所以 Go ( s ) =
−τs ▲ 7．延迟环节 e 会使系统的 快速性
特
&+ x &+ x = 0， 8． 已知系统微分方程为 & x 则该系统相平面图中的奇点位置为(0， 0)， 奇点为 稳定的焦点 。
得分
二．计算、分析、设计题
1、(10 分)图 1 是一个简单的水位控制系统。 1)试说明它的工作原理。 2)指出系统的被控对象、被控量、给定量（输入信号） 。 3)画出系统控制结构的方框图。
★ (2).Determine the parameter K ∗ when the damping ratio ζ of the system is
smallest.
解：1.①开环极点： p1 = 0 ， p2 = −2 ； n = 2；开环零点： z1 =-3； m =1
②实轴上根轨迹区间是（- ∞ ，-3] 和 [-2，0]。 ③根轨迹的分离点和汇合点：
2
，则 K =
S1 S1 + 2 S1 + 3
S1
=2
Im
(基地班 2 分)
-4.73 -4 -3
-1.27 -2 0
Re
5.(18 分) 某最小相位控制系统的开环对数幅频渐进特性如图 4 所示，其中虚线 和实线分别表示系统校正前和校正后的幅频特性； (1)试确定原系统及校正后系统的传递函数 G0 ( s ) 和 G ( s) ； (1)确定串联校正装置的传递函数 GC ( s ) ，说明校正装置的名称及其功能。
r(t)=0 _ N(X) c(t)
G(s)
Fig.6
解：1.
1）绘制 G( jω ) 的 Nyquist 曲线 G( jω ) = K jω ( jω + 1) 2
2K ⎧ P(ω ) = − K ⎧ ⎪ (1 + ω 2 ) 2 ⎪ A(ω ) = ⎪ 2 ω ω ( 1) + ， ⎨ ⎨ 2 ⎪ϕ (ω ) = −90o − 2arctgω ⎪Q(ω ) = − K (1 − ω ) ⎩ ⎪ ω (1 + ω 2 )2 ⎩ ⎧ A(ω ) = ∞ ⎧P(ω ) = −2 K 三点法：当 ω → 0 ， ⎨ ，⎨ o ⎩ Q(ω ) = −∞ ⎩ϕ (ω ) = −90 ⎧ A(ω ) = 0 当ω → ∞ ， ⎨ ， o ⎩ϕ (ω ) = −270
列劳斯表如下
ω2 ω1 ω0
K 2 2(1 + e −T ) −K 1 − e −T
2(1 + e −T ) −K 1 − e −T
根据劳斯判据得系统稳定的条件为
K > 0及K <
2(1 + e −T ) 1 − e −T
所以 0 < K < 4.33 。(4 分)
2. K = 1 , 则 G ( z ) =
0.632 z ( z − 1)( z − 0.368)
r (t ) = 2 + t 时，
ess = ess1 + ess 2 = 0 + lim( z − 1) E ( z ) = lim( z − 1)
z →1 z →1
1 Tz = 1 。(3 分) 1 + G ( z ) ( z − 1) 2