2020高考数学 总复习 7.2 均值不等式及其应用

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-7-
考点1
考点2
考点3
利用均值不等式证明不等式
例1(2018贵州凯里二模,23)已知a、b、c均为正实数. (1)若ab+bc+ca=3,求证:a+b+c≥3; (2)若 a+b=1,求证:(���1���2-1)(���1���2-1)≥9.
证明 (1)∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
即 ������������≤2,ab≤4,���1��������� ≥ 14,选项 A,C 不成立;
1 ������
+
1 ������
=
������+������ ������������
=
���4���������≥1,选项
B
不成立;
a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项 D 成立.
∴ ���1���2-1
=
2������ ������
+
������2 ������2
���1���2-1
=
������2+2������������+������2-1
������2
2������ ������
+
������2 ������2
· ������2+2���������2���������+������2-1
三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)
=3(ab+bc+ca)=9.
又a、b、c均为正整数,∴a+b+c≥3成立.
考点1
考点2
考点3
-8-
(2)a、b∈R*,a+b=1,
∴a2+2ab+b2=1,
考点1
考点2
考点3
-18-
4.应用均值不等式应注意:(1)在应用均值不等式求最值时,判断是 否具备了应用均值不等式的条件,即“一正——各项均为正;二定— —积或和为定值;三相等——等号能否取得”.
(2)若不直接满足均值不等式的条件,需要通过配凑进行恒等变形, 构造成满足条件的形式,常用的方法有:“1”的代换作用,对不等式进 行分拆、组合、添加系数等.
∴16×(m+n)
2 ������
+
1 2������
=16×
2+2������������
+
2������ ������
+
1 2
≥16×
5+2
2
=34,
当且仅当 m=2n=4 时取等号.故选 C.
-16-
考点1
考点2
考点3
考向3 均值不等式与函数的综合问题
例 4 已知函数 f(x)=������2 成立,则 a 的取值范围是
(3)多次使用均值不等式求最值时,要注意只有同时满足等号成立 的条件才能取得等号.
考点1
考点2
考点3
-19-
对点训练
2
已知
a>0,b>0,a+b=1,则1������
+
1的最小值为
������
4
.
解析:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1
������
3.设 0<x<2,则函数 y= ������(4-2������)的最大值为 ( D )
A.2
B.
2 2
解析:∵0<x<2,∴2-x>0,
C. 3
D. 2
∴y= ������(4-2������) = 2 · ������(2-������) ≤ 2 ·������+22-������ = 2,
当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号.
+[���-������83+������,���1++∞11)(a∈. R),若对于任意
x∈N*,f(x)≥3

解析:由 f(x)≥3 恒成立,得������2+���������+���������1+11≥3, 又 x∈N*,
∴x2+ax+11≥3(x+1),
∴a-3≥- x+8������ .
考点1
考点2
考点3
-14-
考向2 求含有等式条件的最值问题

3(1)(2018
1
天津,理
13)已知
a,b∈R,且
a-3b+6=0,则
2a+81������的最
小值为 5)已知正项等比数列{an}的公比为
3,若 aman=9������22,则���2��� + 21������的最小值等于( C )
. (B)
思考依据题目特征,如何求不含等式条件的函数最值?注意事项
是什么?
考点1
考点2
考点3
-13-
解析:
(1)∵a,b∈R,且
ab>0,∴
������4+4������4+1 ������������

4������2���������������2��� +1=4ab+���1���������
令 F(x)=- x+8������ ,x∈N*,则 F(x)max=F(3)=-137,即 a-3≥-137,
∴a≥-83.
-17-
考点1
考点2
考点3
思考已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是什么? 解题心得1.若条件中不含等式,在利用均值不等式求最值时,则先 根据式子的特征灵活变形,配凑出积或和为常数的等式,再利用均 值不等式. 2.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立 两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解; 二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造积或和为常数的式 子,然后利用均值不等式求解最值. 3.(1)已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是分离参数 法,且有a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max,a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min; (2)求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用均值不等式的问 题可考虑利用函数的单调性.

1
+
1 ������
1
+
1 ������
=
2
+
������ ������
2
+
������ ������
=5+2
������ ������
+
������ ������
≥5+4=9,
当且仅当������
������
=
������������,
即 a=b=12时,等号成立.

1
+
1 ������
1
+
1 ������
(3)函数 y=x+1������的最小值是 2.
(4)函数
f(x)=sin
x+sin4
的最小值为
������
2.
(× ) (× )
(5)x>0

y>0
是������
������
+
������ ������
≥2
的充要条件.
(×)
知识梳理 考点自诊
-4-
解析: (2)不等式 a2+b2≥2ab 成立的条件是 a,b∈R;
-5-
知识梳理 考点自诊
2.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( C )
A.80 B.77 C.81 D.82
解析:∵x>0,y>0,∴������+2������ ≥ ������������,即 xy≤(������+2������)2=81,
当且仅当 x=y=9 时,(xy)max=81.
∵a,b 为正数,a+b=1,
∴ab≤
������+������ 2
2
= 14,当且仅当 a=b=12时,等号成立.
于是���1���������≥4,���2���������≥8,当且仅当 a=b=12时,等号成立.

1
+
1 ������
1
+
1 ������
≥1+8=9,
当且仅当 a=b=12时,等号成立.
-6-
知识梳理 考点自诊
4.若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是 ( D )
A.���1���������

1 4
B.1������ + 1������≤1
C. ������������≥2
D.a2+b2≥8
解析:4=a+b≥2 ������������(当且仅当 a=b 时,等号成立),
≥9,
当且仅当 a=b=12时,等号成立.
考点1
考点2
考点3
-11-
(方法二)
1
+
1 ������
1
+
1 ������
=1+1������
+
1 ������
+
���1���������=1+���������+���������������
+
���1���������=1+���2���������.
考点1
考点2
考点3
-12-
利用均值不等式求最值(多考向)
考向1 求不含等式条件的最值问题
例 2(1)若 a,b∈R,ab>0,则������4+���4���������������4+1的最小值为
4
(2)已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为
A.13
B.12
C.34
D.23
-1-
知识梳理 考点自诊
1.均值不等式:
������������

������+������ 2
(1)均值不等式成立的条件: a>0,b>0
.
(2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. (3)其中������+2������称为正数 a,b 的算术平均数, ������������称为正数 a,b 的几 何平均数.
≥4,
������2 = 2������2,
当且仅当
4������������
=
1 ������������
,

������2
=
2 2
, 时取等号.
������2
=
2 4
(2)因为 0<x<1,所以 x(3-3x)=3x(1-x)≤3
������+(1-������) 2
2=34.
当且仅当 x=1-x,即 x=12时等号成立.
-2-
知识梳理 考点自诊
-3-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)当 a≥0,b≥0 时,������+2������ ≥ ������������.
(2)两个不等式
a2+b2≥2ab
与������+������
2

()
������������成立的条件是相同的. (× )
2.利用均值不等式求最值
已知 x>0,y>0,
(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最 小 值
是 2 ������(简记:积定和最小).
(2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最 大 值
是���4���2(简记:和定积最大).
知识梳理 考点自诊
考点1
考点2
考点3
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对点训练
1 已知
a>0,b>0,a+b=1,求证:
1
+
1 ������
1
+
1 ������
≥9.
证明 (方法一)∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+1������=1+������+������ ������=2+������������.
同理,1+1������=2+������������.
=5+2������������ + 2������������≥5+2
2������ ������
×
2������������=9,
当且仅当2������
������
=
2������������,即
a=b=12时,“=”成立.
考点1
考点2
考点3
-9-
思考利用均值不等式证明不等式的方法技巧有哪些? 解题心得利用均值不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明 的不等式的形式,若不能直接使用均值不等式,则考虑利用拆项、 配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用均值不等式的条件; 若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的 联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注 意等号能否取到.
不等式������+������
2

������������成立的条件是 a≥0,b≥0.
(3)函数 y=x+1������值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值.
((45))函 x>数0 且f(xy)>=0si是n x������������++si4n���������������≥���的2 最的小充值分为条-件5..
因为 a-3b+6=0,所以 a-3b=-6.
所以 2a+81������≥2 2-6 = 14,即 2a+81������的最小值为14.
(2)∵正项等比数列{an}的公比为 3,且 aman=9������22, ∴a2·3m-2·a2·3n-2=������22·3m+n-4=9������22, ∴m+n=6,
A.1
B.12
C.34
D.32
思考利用已知等式如何配凑均值不等式使用的条件?
-15-
考点1
考点2
考点3
解析: (1)因为 2a>0,81������>0, 所以 2a+81������=2a+2-3b≥2 2������ ·2-3������ =2 2������-3������ , 当且仅当 a=-3,b=1 时,等号成立.
5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,
一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和
最小,则x的值是 30 .
解析:一年的总运费与总存储费用之和为 4x+60������0×6=4
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