河南省实验中学2019-2020学年上期期中高一数学试卷解析版

河南省实验中学2019——2020学年
高一数学上期期中试卷
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{2,0,1,3}A =-,53
{|}22
B x x =-<<,则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
解析：本题考查集合的运算及子集的定义，答案选： B 2．下列函数中，是同一函数的是（ ）
A ．2
y x =与y x x =
B
．y
与2
y =
C ．2x x y x
+=与1
y x =+
D ．21y x =+与21y t =+
解析：本题考查相同函数的定义：定义域、对应关系相同，答案选：D
3．设函数()()
12
32e ,2
log 1,2
x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(2)]f f =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
解析：本题考查函数求值问题，关于复合函数求值问题，由内到外注间定义域，答案选A
4．已知1
1{1,2,,3,}23
α∈-，若()f x x α
=为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，
则实数α的取值是（ ） A ．1,3-
B ．13,
3
C ．11,3,
3
- D ．
11,3,23
解析：本题考查幂函数的定义，函数的性质，选：B
5．若(1)f x -的定义域为[1,2]，则(2)f x +的定义域为（ ） A ．[0，1]
B ．[－2，－1]
C ．[2，3]
D ．无法确定
解析：本题考查复合函数定义域的求法，已知函数f [g (x )]的定义域求f [h (x )]的定义域可以，函数y =g (x )的值域与y =h (x )的值域相同，解得故选B 6．在用二分法求方程3
210x
x --=的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间
(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ）
A ．（1.8，2）
B ．（1.5，2）
C ．（1，1.5）
D ．（1，1.2）
解析：本题考查函数零点存在性，会利用零点存在性定理解决问题。

解:令085
)23(33)2(02)1(,12)(3<-=>=<-=--=f f f x x x f ，，则,
由0)23()2(<f f 知根所在区间为)22
3
(，
.故选B 7．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
解析：本题考查指数和指数函数与对数和对数函数。

要会利用函数的性质解决问题。

7log 2a =<2
17log 7=
<，0.7log 0.2b =>log 0.70.7=1, 0.20.7c =>0.71
>0.5.故选A 8．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数2
()1ex
f x x
=
-的图象大致是（ ）
A B C D
解析：本题考查函数的图象，由式定图，解题策略：（1）定义域（2）利用特殊点进进行排除验证，（3）判断函数的性质，当x =2时f (2)<0，可以排除B 、D ；当x =0.5时，f (0.5)>0可以排除A ，故选C 。

9．已知函数2
()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减
区间是（ ） A ．(,1]-∞-
B ．[1)-+∞，
C ．[1,1)-
D ．(3,1]--
解析：本题考查复合函数的单调性，定义培为（-3，1）由题意可知0<a <1，根据复合函
数的“同增异减”函数t =-x 2
-2x +3的增区间为（-3，-1）故选：D
10．若函数()()2
22,1
log 1,1x
x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）
A ．[]0,17
B ．(]
,17-∞ C ．[]1,17
D ．[
)1,+∞
解析：本题考查分段函数的最值题，易知函数x=1时，f(1)=4，则f (x )=2x
+2的最大值为4，则函数f (x )=log 2(x -1)是的最大值不能超过4，则1≤a ≤17，故选C
11.
已知函数13
()log )(0,1)12
a x
f x x a a a =++
+>≠-,如果3(log )2019f b =， 其中0,1b b >≠，则
13
(log )f b =（ ）
A ．2019 B. 2017 C. 2019- D. 2017- 解析：本题考查函数的性质，会根据函数的解析式判断函数的性质，利用函数的性质解决问题，
22
311)1)((log 2311)1(log )()(2
2=+-+++-++-+
++=-+-x
a x a a x x a x x x f x f 。

，故选，则D b f b f b f 2017)(log 2)(log )(log 3
13
13-==+
12. 定义函数[]x 为不大于x 的最大整数，对于函数()[]f x x x =-有以下四个结论： ①(2019.67)0.67f =；②在每一个区间[,1)k k +,k Z ∈上,()f x 都是增函数；
③1155f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；④()y f x =的定义域是R ,值域是[0,1).其中正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：本题考查函数新定义问题及函数的性质，①正确；)5
1
(54)1(51)51
(f f >=---
=- ，
③错误，在每一个区间[,1)k k +,k Z ∈上,()f x 都是增函数是正确的，同图可知④也正确。

故选：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．含有三个实数的集合既可表示为{,,0}b
b a
，也可表示为{,,1}a a b +，则a b +的值 为 ．
解析：本题考查相同集合的定义，要注意集合元素的性质，易得：a =-1，b =1，故a b +=0
14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2
()2f x x x =-+.那么当0x <时，
()f x = ．
解析：本题考查利用奇函数的性质-f (x )=f (-x )求函数的解析式：x <0时，-x >0，则f (x )=-f (-x )=-[-(-x )2+2(-x )]=22x x +
15．已知函数2,1
()1,1
x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在21,x x R ∈,12x x ≠,使得12()()f x f x =成
立，则a 的取值范围是 ．
解析：本题考查分段函数问题，本题要注意数形结合分类讨论思想的应用， 由题意得,即在定义域内,f (x )不是单调的. 分情况讨论:(1)若x ≤1时,f (x )= - x 2+ax 不是单调的,
(2)若x ≤1时,f (x )= - x 2+ax 是单调的.
此时2≥a ，f (x )= - x 2+ax 为单调递增，最大值为f (1)=a -1 故当x >1时,f (x )=ax -1为单调递增,最小值为a -1, 因此函数在R 上单调增,不符条件. 综合得: 2<a 故实数的取值范围是2<a 故答案为:(,2)-∞
16．已知函数()22
log ,02
()3,2
x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则
4
34123
x x x x x x ++的取值范围是 ． 解析：本题考查方程根的问题，转化成数形结合解决问题。

要先画出函数(7,8)
要先画函数()22
log ,02
()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩
的图象，如图所示
若方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，
()22
log ,02
()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩的图象与y =a 有四个不同的交点如图所示，x 1x 2=1，x 3+x 4=6），（2134∈x x 则434123
x x x x x x ++=），（87634∈+x x
三.解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
.
17．（本小题满分10分）
计算：（1
）1
3
2
03
4127()161)5
-
--++
解：1133203243
34
4114727
()161)(3)(5)(2)12581533
-
---++-++=-++=-=…5分 （2
）5
7log 4
3
log lg 255
lg 4-+
解：5
577log log 4
43
31log lg 255
lg 4log 27(lg 25lg 4)5437
2144
-+++--===+
18．（本小题满分12分）
已知集合{|
216}2
x A x =<≤，{|3221}B x a x a =-<<+. （1）当0a =时，求A B ；
（2）若A
B =∅，求实数a 的取值范围.
解析：本题考查指数不等式，集合交集的运算，空集的用法； （1）因为0a =，所以{|21}B x x =-<<，因为1
{|4}2
A x x =-<≤， 所以1
{|1}2
A B x x ⋂=-
<<.…………………………6分 （2）当B =∅时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；………………8分
当B ≠∅时，3221
1212a a a -<+⎧⎪
⎨+≤-⎪⎩
或3221324a a a -<+⎧⎨
-≥⎩， 解得3
4
a ≤-
或23a ≤<.……………………11分 综上，a 的取值范围为][3
,2,4⎛
⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
.…………………………12分 19．（本小题满分12分）
2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产x （百辆），需另投入成本()C x 万元，且
210200,050()10000
6019000,50x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩
.由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式； （2）2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 解析：（1）当050x <<时，
()226100102003000104003000L x x x x x x =⨯---=-+-；
当50x ≥时，
()10000100006100601900030006000L x x x x x x ⎛
⎫=⨯--
+-=-+ ⎪⎝
⎭．…………4分 ∴()2104003000,050,
100006000,50.
x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨⎛
⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
……………………5分 （2）当050x <<时，()()2
10201000L x x =--+， ∴当20x =时，()()max 201000L x L ==；………………7分 当50x ≥时，()100006000L x x x ⎛
⎫
=-+
⎪⎝⎭
， ()L x 在(0,100)上单调递增，在(100,)+∞上单调递减；
∴100x =时，()()max 10058001000L x L ==>． ………………11分
∴当100x =，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为5800万元．……………………12分 20．（本小题满分12分）
定义在()0,+∞上的函数()y f x =，满足()()()f xy f x f y =+，113f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，当1
x >
时，()0f x <.
（1）判断函数()f x 的单调性；
（2）解关于x 的不等式()()21f x f x +->-.
解析：（1）令1x y ==，则有()()121f f =，可得()10f =；
取1
y x =
，则()()1110f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1f f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭
，……3分 任取120x x >>，则()()()1111222211x f f x f x f f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⋅=+=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 120x x >>，12
1x x ∴
>，则()()11220x f x f x f x ⎛⎫
-=< ⎪⎝⎭
，即()()12f x f x <. 因此，函数()y f x =在定义域()0,∞+上为减函数；………………6分
（2）
113f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，由（2）知，()1313f f ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
………………7分 由()()21f x f x +->-,可得()()23f x x f ⎡⎤->⎣⎦,即()
()2
23f x x f ->……9分
由（1）知，函数()y f x =在定义域()0,∞+上为减函数，则223
020x x x x ⎧-<⎪
>⎨⎪->⎩
，解得23x <<.
因此，不等式()()21f x f x +->-的解集为()2,3.………………12分 21．（本小题满分12分）
已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数.
（1）求 ,a b 的值；
（2）若对任意的t R ∈,不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求实数k 的取值范围. 解析：(1)因为()f x 是R 上的奇函数，
所以()00f =，即
102b
a
-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a
+-+=+.又由()1(1)f f =--知1
1
21241a a
-+-+=-++，解得2a =.…4分
经检验，当121
()22
x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意
所以2a =………………5分
(2)由(1)知12111
()22221
x x x
f x +-+==-+++， 由上式易知()f x 在R 上为减函数，………………7分 又因为()f x 是奇函数，
∴(
)(
)
2
2
220f t t f t k -+-<等价于(
)(
)(
)
2
2
2
222f t t f t k f t k -<--=-+．9分 因为()f x 是R 上的减函数，
所以2222t t t k ->-+.即对一切t ∈R 有2320t t k -->， 从而4120k ∆=+<，解得1
3
k <-.………………12分 22.（本小题满分12分） 已知函数()()()log 0,1x
a f x a t
a a =+>≠，
（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数t 的取值范围；
（2）若函数()f x 的定义域为D ,且满足如下两个条件：①()f x 在D 内是单调递增函数；
②存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢
⎥⎣⎦
,使得()f x 在,22m n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ,那么就称函数()f x 为
“希望函数”，若函数()()()log 0,1x
a f x a t
a a =+>≠是“希望函数”，求实数t 的
取值范围.
解析：（1）因为()f x 的定义域为R ，所以0x a t +>恒成立，所以x t a >-恒成立，因
为0x a -<，所以0t ≥，所以t 的取值范围[0,)+∞.………………4分 （2）因为函数()()()log 0,1x
a f x a t
a a =+>≠是“希望函数”,
所以()f x 在,22m n ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的. 所以2
2
log log m a n a a t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+=
⎪⎪⎝⎭⎩
即22m m n n a t a a t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩………………7分
∴,m n 是2
0x x
a a t --=的两个根， 设2
(0)x u a u =≥，
因为m n <，所以20u u t --=有2个不等的正实数根，………………9分
140t ∴∆=+>且两根之积等于0t ->
解得1
04
t -
<< ∴实数t 的取值范围是1
(,0)4
-………………12分。