第06讲 倒推与图示 三年级奥数超常班讲义

甲
乙
丙
最终
81÷3=27
81÷3=27
81÷3=27
（3） 之前
27÷3=9（注意增 2 倍，是原来的 3
倍）
27÷3=9
81‐9‐9=63(和不 变，为 81)
（2）之前
9÷3=3
81‐21‐3=57
63÷3=21
（1）之前
81‐19‐7=55
57÷3=19
21÷3=7
一道小综合题：
超常 123 班学案 2 有 18 块砖，哥哥和弟弟争着去搬，弟弟抢在前面，刚摆 好砖，哥哥赶到了，哥哥看弟弟搬得太多，就抢过一半，弟弟不肯，又从哥
2011 年春季班三年级超常班
学而思 侯晓琳
老和尚
大和尚
小和尚
大和尚分之后
10
0
20
可能是小和尚分 么？
说明下一步（即上一行） 0（假设这是 0，看看是
大给小 20，那么大也得
否可行）
给老 20，则大有 40，一
判断出不行 只能是老和尚分后
共只有 30，矛盾，说明 此步不可能时是小和尚
分，只能是老分
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的操作后，甲有 5 块糖，乙有 12 块糖。两个人原来的糖数分别为多少？ 分析与答：比较本题和上道题的不同之处，上题求 3 次，而这道题求 2005 次， 那就是依照上题的思路，继续往前推，直至发现规律找到周期为止。
甲
乙
最终
倒数 1 次分之前： 倒数 2 次分之前： 倒数 3 次分之前： 倒数 4 次分之前： 倒数 5 次分之前： 倒数 6 次分之前： 倒数 7 次分之前： 倒数 8 次分之前： 倒数 9 次分之前：
还原问题：已知步骤和结果，要求判断最初的状态。 方法思路：倒推（每一步都是逆运算） 展现形式：图示 单个变量的还原问题：1、画线段图
2、画框 多个变量的还原问题：列表
一、 单个变量的还原问题
主要是复习画图和画框两大方法 例1 有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝。这个人出门带了一
个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒增加一倍，然后喝下去 8 两酒。 这天他共遇到 3 家酒店，在最后一家酒店喝完酒，葫芦里的酒刚好喝完。问： 原来有多少酒？ 分析与答：复习画框法（明确流程时常用此方法）
题每操作一次都是由糖多的人给糖少的人一些糖，使糖少的人的糖数增加一
倍。存在两种情况：（1）甲→乙，使乙×2； （2）乙→甲，使甲×2。 每一步需要自己判断。
甲
乙
附注
最终
5
倒数 1 次分之前： 17‐6=11（和不
变，为 17）
12 12÷2=6
可能是乙→甲，使甲×2 么？显 然不行，5÷2 不是整数，只能
哥那抢过一半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半少 2 块，从弟弟那拿 走一半多 2 块，结果是爸爸比哥哥多搬了 3 块，哥哥比弟弟多搬了 3 块，问 最初弟弟准备搬多少块？
分析与答：
一、 最终三人各有几块？（和差问题）
有 18 块砖，结果是爸爸比哥哥多搬了 3 块，哥哥比弟弟多搬了 3 块 最后哥哥搬 18÷3=6（块），弟弟 6‐3=3（块），爸爸 6+3=9（块） 二、 爸爸来之前，哥哥弟弟各有几块？（单个变量的还原问题，可用画
（2）周期型： 例 4 口渴的三个和尚分别捧着一个水罐。最初，老和尚的水最多，并 且有一个和尚没水喝，于是，老和尚把自己的水全部平均分给了大小两 个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给老小两个和尚；然后， 小和尚又把自己的水全部平分给另外两个和尚。就这样，三人轮流谦让
一阵，结果太阳落山时，老和尚的水罐里有 10 升水，小和尚的水罐里有 20 升水。请问：最初大和尚的水罐里有多少升水？ 分析与答：
来说：（暂时先忽略甲的糖数比乙少这个条件）
（1） 把原题 2005 次改为 1 次，其他条件和结论不变：即 1、甲→乙，使乙×2； 2、乙→甲，使甲×2。 经过 1 次这样的操作后，甲有 10 块糖，乙有 8 块糖。两个人原来的 糖数分别为多少？
分析：如果最后一步是甲→乙，使乙×2
甲
乙
最终
10
8
倒数 1 次分之前：
天余下
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少8米
第二天用去余下的一半少 8 米
第二
还剩 10 米
第 3 天用去 14 米
列式：图三：14+10=24（米） 图二：（24－8）×2=32（米） 图一：（32+5）×2=74（米）
顺序画图，倒序列式。另外用此法时建议不在一个图上画，以免过于凌
乱看不清楚，可以把不变量对齐在下方另画。
本题也可用画框法，但注意多 5 米，及少 8 米的符号。
二、 多个变量的还原问题
（1） 基本型 两个量：
例 2 甲乙两个油桶各装了 15 千克油，售货员卖了 14 千克，后来，⑴售货 员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶，使乙桶油增加一倍；然后⑵又从乙
桶倒一部分给甲桶，使甲桶也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的 3 倍， 问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？
步就会发现还是不一样的，进而发现问题本质的不同。上道题虽说也有两种情况，
但经过分析思考后马上就可以排除掉一种。这是因为刚才题目中共有 17 块糖（奇 数），那么两人的糖数一定一奇一偶，只能是那个偶数是×2 得来的，所以每一 步都只有一种符合条件的方法答案。而本题两人糖数和为 18 是偶数，那么两人 每步手中的糖数有两种情况：全为偶，全为奇。而这正是本题的难点。具体举例
顺序画好框图，逆着往回填，每一步都是逆运算。
例 1 巩固练习 一捆电线，第一天用去全长的一半多 5 米，第二天用去余下 的一半少 8 米，第三天用去 14 米，最后还剩 10 米，求这捆电线原长。 分析与答：复习画线段图的方法（和一半比较时常用此方法）
多5米
第一天用去全长的一半多 5 米
第一天余下
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18‐4=14
8÷2=4
如果最后一步是乙→甲，使甲×2
甲
乙
最终
10
8
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分析与答：最终共有油 15×2‐14=16（千克）甲是乙的 3 倍，则 乙有 16÷（3+1）=4（千克），甲有 12 千克。
做本类题目时可以适当在题目中标注⑴⑵⑶等，由结果逆推⑶⑵⑴之前的状
态。
甲
乙
最终
12
（2）之前的状态 12÷2=6（增加 1 倍，
注意是原来的两倍）
（1）之前
16‐5=11
甲卖了 15‐11=4 千克，乙卖了 15‐5=10 千克。
们等到高年级会做很多综合型的题目，都是各个板块知识点的综合。包
括中考高考也是如此。所以，对孩子们提出两点建议：其一：加强基础，
弄清每个模块的基础题型，如果每个模块都很熟练，综合起来才会理清
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整道题的思路；反之，如果每个模块都模棱两可，那么再一综合就彻底 晕菜了。其二：适当接触一些综合题，见多才能识广。
4
16‐6=10（两人和不 变，为 12+4=16）
10÷2=5
附：画表格时可以顺向，也可以逆向。但后面有类周期问题（例 5）在发现 规律找到周期前不确定行数，所以逆向相对较好，故为统一，本讲的表格都 采用逆序。
三个量：
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超常 123 班学案 4 甲乙丙三人的钱数各不相同，⑴甲最多，他拿出一些钱 给已和丙，使已和丙的钱数都比原来增加了 2 倍，结果乙的钱最多；接着⑵ 乙拿出一些钱给甲和丙，使甲丙的钱数各增加 2 倍，结果丙的钱数最多；最 后⑶丙又拿出一些钱分给甲和乙，使他们的钱数各增加 2 倍，结果三人的钱 数一样多。如果他们三人共有 81 元，那么三人原来分别有多少钱？ 分析与答：
那大和尚也一定分得
大和尚分水后 ……
10，老和尚原有 20）
10 ……
0 ……
20 ……
最初是老和尚最多：即小和尚分水后，即应为老和尚 20，大和尚 10， 小和尚 0 的状态。所以最初大和尚 10 升水。
附：本题不用给的分水的顺序是老——大——小这个条件也可做。这 个条件的在刚才的解法中的作用是判断每一步到底谁为 0。还可以用以 下方法判断：
明这个人给另外两人分的量是一样的。
最后老小和尚有水，那么最后一次是大和尚分的水。
利用本题中给的分水的顺序是老——大——小这个条件。
老和尚
大和尚
小和尚
大和尚分水后 10（全部来自于
0
20
大和尚）
老和尚分水后
0（先判断此处：分完为 0） 于下一步轮到大和尚 可以用三人总水量不
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第六讲 倒推与图示
本讲的例 1~例 5 是还原问题，例 6~例 8 是列方程解应用题。方程工具我们会在 本学期第 10 讲系统学习。本讲列方程解应用题只需体会一下即可。
（一）还原问题
还原问题侧重对孩子们逆向思考能力的培养，高年级的杯赛中有时也会出现 还原问题。
（2）
8×2=16(哥哥被抢走 18‐16=2（和不变，为
一半还剩 8，那么之前
18 块）
应 8×2
（1）
18‐4=14
2×2=4
总结：本题是一道综合题，综合考察了和差问题；画图法解单个变量的
还原问题；列表法解多个变量的还原问题。相当于三个板块的基础知识
点的融合，单独拿出来都很简单，但放到一块很多孩子就没有头绪。我
以下的分析方法类似，仍可推出如图表格：
大和尚分水后 老和尚分水后 小和尚分水后 大和尚分水后
……
老和尚
10 0 20 10 ……
大和尚
0 20 10 0 ……
小和尚
20 10 0 20 ……
（3）过程不确定型（有多种情况或需要判断筛选出符合条件的过程）： 超常班学案 2 甲乙有糖若干块，每操作一次都是由糖多的人给糖少的人一 些糖，使糖少的人的糖数增加一倍。经过 3 次这样的操作后，甲有 5 块糖， 乙有 12 块糖。两个人原来的糖数分别为多少？ 分析与答：体会本题与刚才题目的不同之处，刚才题目明确告诉分法；而本
在此强调一下多个变量的还原问题的易错点：次数少时还好，次数多时容易 错，即有些孩子把最终的结果也算成一步了。所以一定要标好序号。
例 5 甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少。每次操作都是由糖多的人给糖少 的人一些糖，使糖少的人的糖数增加一倍。经过 2005 次这样的操作后，甲有 10 块糖，乙有 8 块糖。两个人原来的糖数分别为多少？ 分析与答：乍一看这道题和上题木有太大区别，只不过换了个数而已。其实推几
甲→乙，使乙×2
倒数 2 次分之前： 17‐3=14
6÷2=3
可能是乙→甲，使甲×2 么？显
然不行，11÷2 不是整数，只能
甲→乙，使乙×2
倒数 3 次分之前： 14÷2=7
17‐7=10 可能是甲→乙，使乙×2 么？显
然不行，3÷2 不是整数，只能
乙→甲，使甲×2
（4）过程不确定和周期问题的综合： 变式题（超常班学案 2 扩展，例 5 铺垫） 甲和乙各有若干块糖。每次操作都是 由糖多的人给糖少的人一些糖，使糖少的人的糖数增加一倍。经过 2005 次这样
分水，老和尚分得 10， 变为 30,30‐20=10）
那小和尚也一定分得 （注：可判断 10 全部
小和尚分水后
10，大和尚原有 20）
来自于老和尚）
20（再判断此处：由 10（最后判断此处： 0（先判断此处：小和
于下一步轮到老和尚 可以用三人总水量不
尚刚分完为 0）
分水，小和尚分得 10， 变为 30,30‐20=10）
图法）
爸爸从哥哥那拿走一半少 2 块，从弟弟那拿走一半多 2 块， 哥哥：（6‐2）×2=8（块） 弟弟：18‐8=10（块）或（3+2）×2=10（块） 三、 最初哥哥弟弟各几块？（多个变量的还原问题，可用列表法）
⑴ 哥哥看弟弟搬得太多，就抢过一半，⑵弟弟不肯，又从哥哥那抢过一
半，
哥哥
弟弟
结果
8
10
5 17‐6=11
17‐3=14 14÷2=7 17‐5=12 12÷2=6 6÷2=3 17‐7=10 10÷2=5 17‐6=11
12 12÷2=6 6÷2=3 17‐7=10 10÷2=5
17‐6=11
17‐3=14 14÷2=7
17‐5=12 12÷2=6
周期为 8
……
……
……
2005÷8=250……5 商 250 代表经过 250 个循环，余 5 说明和操作五次的效果相同，应为甲 6，乙 11。
（1）体会本题和刚才题目的不同之处，刚才的题目次数是明确的，而本
题中只说分了一阵，没说具体次数，那么这类题目过程很可能是循环的。
显然本题中给了分水的顺序是老——大——小，3 为周期。即使不用这个
条件，本题任然可做。
（2）注意两个关键词：全部，平分。每次都是某和尚把自己的水全部平
分给另外两个和尚。全部说明每次分完一定有一个人水量为 0，平分说