北师大九年级数学下 2.4 二次函数的应用 第2课时 商品利润最大问题 教案

2.4 二次函数的应用

第2课时商品利润最大问题

1．应用二次函数解决实际问题中的最值问

题；(重点)

2．应用二次函数解决实际问题，要能正确

分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函

数关系，再求最值．(难点)

一、情境导入

某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价

是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满

足如下关系：在一段时间内，单价是135元时，

销售量是500件，而单价每降低10元，就可以

多售出200件．请你帮忙分析，销售单价是多

少时，可以获利最多？

二、合作探究

探究点一：商品利润最大问题

【类型一】利用二次函数求实际问题中的

最大利润

某体育用品店购进一批单价为40元

的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内

可售出240套，根据销售经验，提高销售单价

会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，

销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)

元时，销售量为y套．

(1)求出y与x的函数关系式；

(2)当销售单件为多少元时，月销售额为

14000元？

(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月

内获得最大利润？最大利润是多少？

解析：(1)由销售单价为x元得到销售减少

量，用240减去销售减少量得到y与x的函数

关系式；(2)直接用销售单价乘以销售量等于

14000，列方程求得销售单价；(3)设一个月内

获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－40)(－

4x＋480)，然后利用配方法求最值．

解：(1)销售单价为x元，则销售量减少

x－60

5

×20，故销售量为y＝240－

x－60

5×20＝－4x

＋480(x≥60)；

(2)根据题意可得x(－4x＋480)＝14000，解

得x1＝70，x2＝50(不合题意，舍去)，故当销售

价为70元时，月销售额为14000元；

(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题

意得w＝(x－40)(－4x＋480)＝－4x2＋640x－

19200＝－4(x－80)2＋6400.当x＝80时，w有最

大值，最大值为6400.

所以，当销售单价为80元时，才能在一个

月内获得最大利润，最大利润是6400元．

方法总结：先得到二次函数的顶点式y＝

a(x－h)2＋k，当a＜0，x＝h时，y有最大值k；

当a>0，x＝h时，y有最小值k.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课

堂达标训练”第7题

【类型二】综合运用一次函数和二次函数

求最大利润

宿松超市以每件20元的价格进购一

批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销

售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图

(20≤x≤60)．

(1)求每天销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数关系式；

(2)若该商品每天的利润为w (元)，试确定w (元)与售价x (元/件)之间的函数关系式，并求售价x 为多少时，每天的利润w 最大，最大利润是多少？

解析：(1)当20≤x ≤40时，设y ＝ax ＋b ，当40＜x ≤60时，设y ＝mx ＋n ，利用待定系数法求一次函数解析式即可；(2)利用(1)中所求进而得出w (元)与售价x (元/件)的函数表达式，进而求出函数最值．

解：(1)分两种情况：当20≤x ≤40时，设

y ＝ax ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝40，

40a ＋b ＝60，解得

⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝1，

b ＝20，故y ＝x ＋20；当40＜x ≤60时，设y ＝mx ＋n ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40m ＋n ＝60，60m ＋n ＝20，解得

⎩

⎪⎨⎪

⎧m ＝－2，n ＝140，故y ＝－2x ＋140. 故每天销售量y (件)与售价x (元/件)之间的

函数表达式是y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋20（20≤x ≤40），

－2x ＋140（40＜x ≤60）；

(2)w ＝

错误!

①当20≤x ≤40时，w ＝x 2－400，由于1＞0，因而抛物线开口向上，且x ＞0时w 随x 的增大而增大，又20≤x ≤40，因此当x ＝40时，w 有最大值，w 最大值＝402－400＝1200；②当40＜x ≤60时，w ＝－2x 2＋180x －2800＝－2(x －45)2＋1250，由于－2＜0，抛物线开口向下，又40＜x ≤60，所以当x ＝45时，w 有最大值，w 最大值＝1250.

综上所述，当x ＝45时，w 最大值＝1250. 所以，售价为45元/件时，每天的利润最大，最大利润是1250元．

方法总结：一次函数与二次函数的综合应用问题主要解决的是图象与性质的问题或生活中的实际应用问题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课

后巩固提升” 第2题

【类型三】 利用表格信息求最大利润

某商店经过市场调查，整理出某种商

品在第x (1≤x ≤90)天的售价与销量的相关信息

商品每天的利润为y 元．

(1)求出y 与x 的函数关系式；

(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

解析：(1)分1≤x ＜50和50≤x ≤90两种情况进行讨论，利用利润＝每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；(2)利用(1)得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．

解：(1)当1≤x ＜50时，y ＝(200－2x )(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000；当50≤x ≤90时，y ＝(200－2x )(90－30)＝－120x ＋12000.

综上所述，y ＝

⎩

⎪⎨⎪⎧－2x 2

＋180x ＋2000（1≤x ＜50），－120x ＋12000（50≤x ≤90）； (2)当1≤x ＜50时，y ＝－2x 2＋180x ＋2000，二次函数开口向下，对称轴为x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x ≤90时，y ＝－120x ＋12000，y 随x 的增大而减小，当x ＝50时，y 最大＝6000.

综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．