教育测量第五讲几种常用的检验方法

假设检验的基本问题
五、假设检验的步骤 1、提出原假设H0，即零假设； 2、选择和计算教育统计量； 3、对给定的显著性水平α确定临界值； 4、将统计量计算的结果与临界值进行比较，从
而决定是拒绝还是接受原假设。
Z检验 （平均数的差异性检验）
适用条件：
1、已知总体标准差σ，或者总体标准差未知，但样本 为大样本的平均数的差异性检验。因为大样本的平均 数的 X 抽样分布服从于正态分布。故可采用统计量Z 检验。
教育测量学
第三章 推断统计
——几种常用的统计检验方法
2019.11.22
第四节 几种常用统计检验方法
一、关于统计值之间差异的研究 这些差异一般分为两种情况讨论：
样本统计量与相应的总体参数的差异 两个样本统计量之间的差异。
我们所关心的是从样本统计值得到的差异能否 作出一般性的结论——也就是总体参数之间是 否确实存在差异。
F 显著性水平查表，得到临界值： （df1 ,df2）
4、比较，作出判断。若F与临界值进行比较，并进行 统计决断。
2检验
1、适用条件 2检验 是对样本的频数分布所来自的总体分布是否服从 于某种理论分布所作的假设检验。 它适用于计数资料的
检验。
譬如，根据类别不同的样本频数来推断总体的分布。
1、适用条件：
检验两个样本平均数各自代表的总体平均数的差异是否显著。
2、检验的统计量：t＝
Ｘ１－Ｘ２
，
(n1-1)S12+(n2-1)S22 (1+ 1)
n1+n2- 2 n1 n2
这里，t作为检验的统计量，X 1 , X 2 为样本平均数， S12 , S 22
是两总体方差的估计值，n1,n2分别为两样本的容量。
F检ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（方差的差异检验）
2、关于F分布
若从两个相互独立的正态总体中随机抽取两个样本，以此
为基础，分别求出两个相应总体方差的估计值，这两个总
F 体方差估计值的比值称为F比值，即
S12
S22
F比值的抽样分布称为F分布，F比值称为统计量。F统计
量有两个自由度，一个是分子的自由度 df1n11,是 第 一
如果在某种标准下，检验结果差异显著，则差 异来自总体；如果差异不显著，差异来自于 样本，或者说，差异是由于抽样的原因而引 起的。
假设检验的基本问题
四、统计检验的思想和方法 检验的思想是用反证法。检验时，我们先假设两
个总体平均数没有显著性差异，即μ1 =μ2，这 种假设称为原假设或零假设H0,然后通过检验, 检验其是否成立.如果差异大,就否定假设H0,如 果差异小,就接受假设H0. 统计检验有无差异必须以一定的标准去衡量.
自由度的计算：单向表的自由度一般等于组数（K）减 1，即df =K-1,而R×C表的自由度需注意计算公式为 df=(R-1)(C-1)
双总体的t检验——相关样本 （平均数的差异性检验）
①相关样本 所谓相关样本，是指两个样本之间存在一一 对应的关系。 譬如，同一组被试在实验前与实验后结果的 比较；同一组被试在两种不同条件下结果的 比较；被试的两组是经过有意匹配的对偶组； 实验时经过匹配的实验组与对照组的结果的 比较，等等。都是相关样本的比较。
t检验 （平均数的差异性检验）
适用条件：
1、总体呈正态分布。如果总体标准未知 而且样本为小样本（t≤30）的平均数的 差异性检验。
2、分类 根据样本的多少可以分为单总体的t检验 和双总体的t检验。
单总体的t检验 （平均数的差异性检验）
1、适用条件：
检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数的差异是否显著。
双总体的Z检验 （平均数的差异性检验）
1、适用条件：
检验两个样本平均数各自代表的总体平均数的差异是否显著。
2、检验的统计量： Ｚ ＝
Ｘ１－Ｘ２ ，
s
２ Ｘ１
+
s２ Ｘ2
n1
n2
s , s 这里，Z作为检验的统计量，X 1 , X 2 为样本平均数， Ｘ１ Ｘ2
是两样本的标准差，n1,n2分别为两样本的容量。
请问：进行男女生数学成绩的差异性检验时， 是按照相关样本还是按照独立样本进行？为 什么？
思考题
2、从某个人多次的视反应时测量的结果随即抽 取40个数据，再从其听反应时的多次测量结 果中随机抽取40个数据，进行视、听反应的 差异检验时，是按照独立样本还是按照相关 样本进行检验？为什么？
3、对于上题进行数据收集的时候，如果每个被 试只收集视、听反应时的数据各一个，如果 共有40个被试，则进行视、听反应的差异检 验时，是按照独立样本还是按照相关样本进 行检验？为什么？
自由度，分母的自由度 d f2 n 2 1 ,是 第 二 自 由 度 ， 在 显 著
性水平α时的临界F值，可表示为： F（df1 ,df2）
F检验一般步骤
1、建立虚无假设：
Ｈ０ ：s12 =s22
F 2、计算统计量：
S12 S22
3、确定显著性水平α的值。并根据自由度df1、df2和
关于双尾与单尾检验举例
例1：全区统一考试数学平均分0 50分，标准差0 10分，
某学校的一个班（n=41）的数学平均成绩 X 52.5分，
问该班成绩与全区平均成绩差异是否显著？
例2：有人调查小学五年级中经过奥数训练的学生对其 数学思维的影响，从受过奥数训练的学生中随机抽取 70人，进行数学思维能力的测试，结果平均成绩是80 分（已知小学五年级学生数学思维能力的测试的平均 成绩是75分，标准差是15分），能否认为受过奥数训 练的学生在数学思维能力方面高于一般水平？
④比较，作出判断。若t﹥t(n-1)0.05(或t(n-1)0.01), 则说明在 显著性水平α =0.05(0.01)的水平上,差异是显著的； 否则,就说明差异不显著.
双总体的t检验 （平均数的差异性检验）
1、适用条件 是检验两个样本平均数与其各自代表的总体的 差异是否显著。
2、分类 相关样本的平均数的差异性检验 独立样本的平均数的差异性检验
答案：双总体的Z检验
平均数的检验方法小结1
1、前提是两个总体方差相同，或至少没有显著性差异。
2、检验的方法有两种：
总体服从正态分布，总体标准差已知，不管是大样本
还是小样本，均用Z检验。
不知道总体的分布情形，总体标准差未知，当样本为
大样本时，用Z检验，这时用样本的标准差代替总体 标准差就可以了；当样本为小样本时，必须用t检验， 这时的标准差可以用总体标准差的估计量S来表示， 它与样本标准差的关系是：
假设检验的基本问题
具体来说，如果样本统计量与相应的总体已知 参数差异显著，则意味着该样本已基本不属于 已知总体； 若两个样本统计量的差异显著，则意味着各自 代表的两个总体参数之间确实存在差异。
假设检验的基本问题
三、统计检验的意义
统计检验的一个重要内容就是进行差异的显著 性检验（检验差异到底是来自总体还是来自 样本）
思考题
4、为了研究数学统编教材和数学实验教材的优 劣。某学校对一个班先用实验教材授课，时 间为一年。然后用统编教材授课一年。两种 教材使用前都进行前测，结束后进行后测。 从该班中抽取10名学生，检验他们在使用两 种不同教材的实验结果的差异性检验，是按 照独立样本还是按照相关样本进行检验？为 什么？
2、分类 根据样本的多少可以分为单总体的Z检验和双总体 的Z检验。
单总体的Z检验 （平均数的差异性检验）
1、适用条件：
检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数的差异是否显著。
2、检验的统计量： Ｚ ＝ Ｘ － m ， s n
这里，Z作为检验的统计量，X 为样本平均数， μ为总体平均 数，σ为总体标准差，n为样本容量。
单总体的Z检验 （平均数的差异性检验）
3、检验过程：
①建立虚无假设：
Ｈ０：m＝m０
②计算统计量：Ｚ
＝
Ｘ－ s
m
，
n
③确定显著性水平α的值。若α为0.01, 则临界值为 2.58；若α为0.05,则为1.96.
④比较，作出判断。若Z﹥Z0.05(或Z0.01),即Z﹥1.96,或 Z﹥2.58,则说明在显著性水平α=0.05(0.01)的水平上, 差异是显著的,否则,就说明差异不显著.
双总体的t检验——相关样本 （平均数的差异性检验）
②独立样本 所谓独立样本，是指从两个无关的总体中随 即抽取的两个样本称为是独立样本。 譬如，男女性别的差异比较；没有经过匹配 的、仅仅是随机选择的实验组与对照组的实 验结果的比较；等等，都属于独立样本的比 较。
独立样本的t检验 （平均数的差异性检验）
是两样本方差，n为相关样本的容量。 r为相关样本的相关系数。
自由度df=n-1
思考题
1、为了研究男女生在学习数学方面的情况，从 某校中随机抽取男生10名，女生8名，测验得 到男生的数学平均成绩是80.4分，标准差是 7.6分，女生的数学平均成绩是71.8分，标准 差是7.5分，问男生的数学成绩是否比女生高？
思考题
5、为了研究数学统编教材和数学实验教材的优 劣。某学校对一个班先用实验教材授课，时间 为一年。然后用统编教材授课一年。两种教材 使用前都进行前测，结束后进行后测。如果已 知该班的人数为35人，实验后统计两种教学结 果，要检验他们在使用两种不同教材的实验结 果的差异性检验，应该按照什么样的检验方法 进行检验？
根据性别分类，按男女性别分别计数；
根据年龄分类，可以分为老年、中年、青年等， 按照不同年龄段的人数进行计数。
因此， 2检 验 比较适合对问卷进行统计分析。
2检验
1、适用条件 2检验 是实得次数与理论次数偏离程度的差异程度的
差异性显著检验。用公式表示为：
2（ f 0 f - e f e ） 2,在 这 里 ， f 0 是 实 得 次 数 ， f e 是 理 论 次 数 。
2、检验的统计量： t＝ Ｘ － m ， sX n- 1
这里，t作为检验的统计量，X 为样本平均数，μ为总体平均数
X 为样本标准差，n为样本容量。
单总体的t检验 （平均数的差异性检验）
3、检验过程：
①建立虚无假设：
Ｈ０：m＝m０
②计算统计量： t＝
Ｘ－ m sX
，
n- 1
③确定显著性水平α的值。并根据自由度和显著性水 平查表，得到临界值。
S
n
n

1
X
,
平均数的检验方法小结1
2、关于显著性水平 差异性显著检验是和显著性水平α联系在一起的。我们 说差异显著不显著，是针对特定的α 而言的。同一个问 题，由于显著性水平的不同，可能会得到完全相反的 结论。
3、检验时究竟采用单尾还是双尾检验，这是假设检验中 的重要的技术性的问题。一般情况下，当研究者如果 想要知道两个参数是否有差异，而不强调 差异的方向 时，用双尾检验；反之用单尾检验。 单尾检验适用于 检验某一参数是否“大于”或“优于”、“快于”、 “小于”、“劣于”、“慢于”另一参数的一类问题。
假设检验的基本问题
二、关于假设检验
统计学中进行由样本差异推断总体差异的推论 过程，称为是假设检验。
经过检验，如果所得到的差异超过了统计学规 定的某一误差限度，则表明这个误差已经不 属于抽样误差，而是总体确实有差异，这种 情况就叫差异显著；反之，差异达不到规定 限度，说明该差异主要来源于抽样误差，称 差异不显著。
F检验（方差的差异检验）
1、适用条件
检验两个总体的方差是否有显著性差异（也称 为是方差齐性检验）。主要用于两个独立样本 的方差齐性检验。
由于标准差的抽样分布受样本容量的影响，只 有样本容量较大时，抽样分布才接近正态，因 此需要对标准差进行参数估计，也就是要对方 差进行参数估计。
2、F检验是右侧单尾检验，计算统计量时，应该 用总体方差估计值中较大的一个作为分子，较 小的作为分母，使得F≥1，进行比较。
双总体的Z检验 （平均数的差异性检验）
3、检验过程：
①建立虚无假设： ②计算统计量：Ｚ ＝
Ｘ１－
Ｘ
Ｈ０：m1＝m2
２，
s
２ Ｘ１
+
s２ Ｘ2
n1
n2
③确定显著性水平α的值。若α为0.01, 则临界值为 2.58；若α为0.05,则为1.96.
④比较，作出判断。若Z﹥Z0.05(或Z0.01),即Z﹥1.96,或 Z﹥2.58,则说明在显著性水平α=0.05(0.01)的水平上, 差异是显著的,否则,就说明差异不显著.
自 由 度 df=n1+n2-2
相关样本的t检验 （平均数的差异性检验）
1、适用条件：
检验两个配对样本平均数各自代表的总体平均数的差异是否显著。
2、检验的统计量：t＝
Ｘ１－Ｘ２
，
s
X
2
1
+
s
X
2
2
-
2rs
X
s
1
X
2
n- 1
这里，t作为检验的统计量，X 1 , X 2 为样本平均数，X12,X22