2021春湘教版九年级数学下册 第2章 训练2 三角形的外接圆与内切圆半径的求法
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湘教版 九年级下
第2章 圆
专题技能训练(二) 训练2 三角形的外接圆与内切圆半
径的求法
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1A
2A
623 7A
11 见习题 12 B
答案显示
3 2 34π 4 见习题 5 见习题
8D
9D
10 见习题
13 B
14 见习题 15 见习题
专题技能训练
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12，则这个三角
专题技能训练
6．如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，则△ABC 外接圆的半径 为________．
专题技能训练
【点拨】连接 OC，作 OD⊥BC 于点 D，如图．易知∠OCD＝30°， D 为 BC 的中点，OC 为△ABC 外接圆的半径． ∵BC＝6，∴CD＝3， 在 Rt△OCD 中，tan 30°＝OCDD， ∴OD＝ 3，∴CO＝2 3.
(1)如图①，连接 OD，求证：AB∥OD；
专题技能训练
证明：如图①，延长 DO 交 BC 于 F， ︵︵
∵点 D 为优弧 BC 的中点，∴BD＝CD，∴DF⊥BC， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠B＝90°，即 AB⊥BC， ∴AB∥OD.
专题技能训练
(2)如图②，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E.若 AE＝3，BC＝8， 求⊙O 的半径．
专题技能训练
∵O′为 AB 的中点，∴E 为 MN 的中点， ∴O′E＝12(BM＋AN)＝2，EN＝12MN＝3， ∴OE＝4－3＝1，∴点 O′的坐标是(1，2)， 即△ABC 的外接圆的圆心坐标为(1，2)．
专题技能训练
5．已知△ABC 内接于⊙O，AC 为⊙O 的直径，点 D 为优弧 BC 的中点．
专题技能训练
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3. 又∵∠C＝90°，EO＝DO，∴四边形 OECD 是正方形， 设⊙O 的半径为 x，则 EC＝CD＝x， 在 Rt△ABC 中，BC2＋AC2＝AB2， 故(x＋2)2＋(x＋3)2＝(2＋3)2，解得 x＝1(负值舍去)， ∴BC＝3，AC＝4，∴S△ABC＝12×3×4＝6.
【答案】2 3
专题技能训练
7．如图，△ABC 内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O 的半
径为( A )
A．2 2 C．2 3
B．4 D．5
【点拨】如图，连接 OA，OB，
∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，AB＝4，∴OA＝2 2.
专题技能训练
8．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，周长为 12，那么△ABC 内 切圆的半径为( D ) A．3 B．2.5 C．2 D．1
形的外接圆的半径是( A )
A．10
B．8
C．6
D．125
专题技能训练
2．△ABC 的三条边长分别是 10，26，24，则其外接圆半径是( A ) A．13 B．12 C．10 D．9
专题技能训练
3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，tan B＝35，则△ABC 的 外接圆周长为__2__3_4_π__．
专题技能训练
(2)求△ABC 的外接圆的圆心坐标． 解：如图，过 B 作 BM⊥x 轴于 M，过 A 作 AN⊥x 轴于 N，设 AB 的中点为 O′，过 O′作 O′E⊥x 轴于 E，则 O′为△ABC 的外接 圆的圆心，BM∥O′E∥AN， ∵A(4，3)，B(－2，1)， ∴BM＝1，AN＝3，MN＝4＋2＝6，
专题技能训练
4．如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4，3)，B(－2，1)， C(0，－1)．
(1)求△ABC 的外接圆的半径；
专题技能训练
解：由△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4，3)，B(－2，1)， C(0，－1)，易得 AB2＝(4＋2)2＋(3－1)2＝40，AC2＝(4－0)2＋(3 ＋1)2＝32，BC2＝(－2－0)2＋(1＋1)2＝8， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°. ∵AB＝ 40＝2 10，∴△ABC 的外接圆的半径是12×2 10＝ 10.
专题技能训练
∴小明求得的结果正确； ∵S△ACB＝S△BOC＋S△AOC＋S△AOB， ∴12ab＝12ar＋12br＋12cr，∴r＝a＋abb＋c， ∴小莉求得的结果正确．
专题技能训练
专题技能训练
解：都正确．理由如下：连接 OA，OB，OC，OE，OF，OD， ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为 E，F，D， ∴BE＝BD，AD＝AF，CE＝CF，∠OEC＝∠OFC＝90°， 又∵∠C＝90°，OE＝OF，∴四边形 CEOF 是正方形， ∴OE＝OF＝CE＝CF＝r，∴BE＝BD＝a－r，AD＝AF＝b－r， ∵AB＝c，∴b－r＋a－r＝c，∴r＝a＋2b－c，
专题技能训练
9．周长是 48 的直角三角形的三边长 a，b，c 满足 a＋c＝2b，它 的内切圆的半径为( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
百度文库
专题技能训练
10．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆， 三个切点分别为 D，E，F，若 BF＝2，AF＝3，求△ABC 的面积． 解：如图，连接 DO，EO. ∵⊙O 是△ABC 的内切圆， 切点分别为 D，E，F，
专题技能训练
11．如图，已知直角三角形 ABC 的三边 BC，AC，AB 的长分别 为 a，b，c，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，三个切点 分别为 E，F，D，求△ABC 的内切圆的半径 r. 小明求得的结果是 r＝a＋2b－c；小莉求得的结果是 r＝a＋abb＋c.你认为他们求得的结果都 正确吗？如果正确，请说明理由．
解：如图②，连接 DO 并延长交 BC 于 G. ︵︵
∵点 D 为优弧 BC 的中点，∴BD＝CD， ∴DG⊥CB，∴CG＝12BC＝4， ∵DE⊥AC，∴∠DEO＝∠CGO＝90°，
专题技能训练
又∵∠DOE＝∠COG，OD＝OC，∴△DOE≌△COG， ∴OG＝OE＝OA－AE＝OC－3， ∵OC2＝OG2＋CG2，∴OC2＝(OC－3)2＋42， ∴OC＝265，∴⊙O 的半径为265.
第2章 圆
专题技能训练(二) 训练2 三角形的外接圆与内切圆半
径的求法
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11 见习题 12 B
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8D
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13 B
14 见习题 15 见习题
专题技能训练
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12，则这个三角
专题技能训练
6．如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，则△ABC 外接圆的半径 为________．
专题技能训练
【点拨】连接 OC，作 OD⊥BC 于点 D，如图．易知∠OCD＝30°， D 为 BC 的中点，OC 为△ABC 外接圆的半径． ∵BC＝6，∴CD＝3， 在 Rt△OCD 中，tan 30°＝OCDD， ∴OD＝ 3，∴CO＝2 3.
(1)如图①，连接 OD，求证：AB∥OD；
专题技能训练
证明：如图①，延长 DO 交 BC 于 F， ︵︵
∵点 D 为优弧 BC 的中点，∴BD＝CD，∴DF⊥BC， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠B＝90°，即 AB⊥BC， ∴AB∥OD.
专题技能训练
(2)如图②，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E.若 AE＝3，BC＝8， 求⊙O 的半径．
专题技能训练
∵O′为 AB 的中点，∴E 为 MN 的中点， ∴O′E＝12(BM＋AN)＝2，EN＝12MN＝3， ∴OE＝4－3＝1，∴点 O′的坐标是(1，2)， 即△ABC 的外接圆的圆心坐标为(1，2)．
专题技能训练
5．已知△ABC 内接于⊙O，AC 为⊙O 的直径，点 D 为优弧 BC 的中点．
专题技能训练
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3. 又∵∠C＝90°，EO＝DO，∴四边形 OECD 是正方形， 设⊙O 的半径为 x，则 EC＝CD＝x， 在 Rt△ABC 中，BC2＋AC2＝AB2， 故(x＋2)2＋(x＋3)2＝(2＋3)2，解得 x＝1(负值舍去)， ∴BC＝3，AC＝4，∴S△ABC＝12×3×4＝6.
【答案】2 3
专题技能训练
7．如图，△ABC 内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O 的半
径为( A )
A．2 2 C．2 3
B．4 D．5
【点拨】如图，连接 OA，OB，
∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，AB＝4，∴OA＝2 2.
专题技能训练
8．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，周长为 12，那么△ABC 内 切圆的半径为( D ) A．3 B．2.5 C．2 D．1
形的外接圆的半径是( A )
A．10
B．8
C．6
D．125
专题技能训练
2．△ABC 的三条边长分别是 10，26，24，则其外接圆半径是( A ) A．13 B．12 C．10 D．9
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3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，tan B＝35，则△ABC 的 外接圆周长为__2__3_4_π__．
专题技能训练
(2)求△ABC 的外接圆的圆心坐标． 解：如图，过 B 作 BM⊥x 轴于 M，过 A 作 AN⊥x 轴于 N，设 AB 的中点为 O′，过 O′作 O′E⊥x 轴于 E，则 O′为△ABC 的外接 圆的圆心，BM∥O′E∥AN， ∵A(4，3)，B(－2，1)， ∴BM＝1，AN＝3，MN＝4＋2＝6，
专题技能训练
4．如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4，3)，B(－2，1)， C(0，－1)．
(1)求△ABC 的外接圆的半径；
专题技能训练
解：由△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4，3)，B(－2，1)， C(0，－1)，易得 AB2＝(4＋2)2＋(3－1)2＝40，AC2＝(4－0)2＋(3 ＋1)2＝32，BC2＝(－2－0)2＋(1＋1)2＝8， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°. ∵AB＝ 40＝2 10，∴△ABC 的外接圆的半径是12×2 10＝ 10.
专题技能训练
∴小明求得的结果正确； ∵S△ACB＝S△BOC＋S△AOC＋S△AOB， ∴12ab＝12ar＋12br＋12cr，∴r＝a＋abb＋c， ∴小莉求得的结果正确．
专题技能训练
专题技能训练
解：都正确．理由如下：连接 OA，OB，OC，OE，OF，OD， ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为 E，F，D， ∴BE＝BD，AD＝AF，CE＝CF，∠OEC＝∠OFC＝90°， 又∵∠C＝90°，OE＝OF，∴四边形 CEOF 是正方形， ∴OE＝OF＝CE＝CF＝r，∴BE＝BD＝a－r，AD＝AF＝b－r， ∵AB＝c，∴b－r＋a－r＝c，∴r＝a＋2b－c，
专题技能训练
9．周长是 48 的直角三角形的三边长 a，b，c 满足 a＋c＝2b，它 的内切圆的半径为( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
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专题技能训练
10．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆， 三个切点分别为 D，E，F，若 BF＝2，AF＝3，求△ABC 的面积． 解：如图，连接 DO，EO. ∵⊙O 是△ABC 的内切圆， 切点分别为 D，E，F，
专题技能训练
11．如图，已知直角三角形 ABC 的三边 BC，AC，AB 的长分别 为 a，b，c，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，三个切点 分别为 E，F，D，求△ABC 的内切圆的半径 r. 小明求得的结果是 r＝a＋2b－c；小莉求得的结果是 r＝a＋abb＋c.你认为他们求得的结果都 正确吗？如果正确，请说明理由．
解：如图②，连接 DO 并延长交 BC 于 G. ︵︵
∵点 D 为优弧 BC 的中点，∴BD＝CD， ∴DG⊥CB，∴CG＝12BC＝4， ∵DE⊥AC，∴∠DEO＝∠CGO＝90°，
专题技能训练
又∵∠DOE＝∠COG，OD＝OC，∴△DOE≌△COG， ∴OG＝OE＝OA－AE＝OC－3， ∵OC2＝OG2＋CG2，∴OC2＝(OC－3)2＋42， ∴OC＝265，∴⊙O 的半径为265.