人教新课标高二(上)期末数学试卷(文科)【含解析】

人教新课标高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，只有一个正确答案，共60分）
1．（5分）如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）
A．B．C．D．
2．（5分）直线3x﹣4y=0截圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=2所得弦长为（）
A．4 B．2 C．2 D．2
3．（5分）α，β，γ是三个平面，m，n是两条直线，下列命题正确的是（）
A．若α∩β=m，n⊂α，m⊥n，则α⊥β
B．若α⊥β，α∩β=m，α∩γ=n，则m⊥n
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
D．若m不垂直平面，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线
4．（5分）设p：a=1，q：直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧（￢q）”是假命题；
③命题“（￢p）∨q”是真命题；
④命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题．
其中正确的是（）
A．②④B．②③C．③④D．①②③
6．（5分）如图，将无盖正方体纸盒展开，线段AB，CD所在直线在原正方体中的位置关系是
（）
A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°
7．（5分）直线l：y=kx与双曲线C：x2﹣y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（）A．（0，1） B．C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]
8．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为（）
A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，1）
9．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f'（2）x﹣3，则（）
A．f（0）＜f（4）B．f（0）=f（4）C．f（0）＞f（4）D．以上都不对
10．（5分）已知点P（x，y）在直线x﹣y﹣1=0上运动，则（x﹣2）2+（y﹣2）2的最小值为（）A．B．C．D．
11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是（）
A．B．2 C． D．
12．（5分）过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA=BA，则平面ABP和平面CDP 所成的锐二面角的大小是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
二、填空题（每小题5分共20分）
13．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0和l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a的值为．
14．（5分）已知底面是正方形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为42π，且，则AC1与底面ABCD所成角的正切值为．
15．（5分）函数y=x2（x＞0）的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为a n+1，n 为正整数，若a1=16，则a1+a3+a5=．
16．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
（3）如果α∥β，m⊂α，那么n∥β．
（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）
三、解答题（17题10分，其余各题均为12分共70分）
17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+a≥0，命题q：∃x∈R，使x2+（2+a）x+1=0．若命题“p 且q”为真命题，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x上．
（1）求圆C的方程；
（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．
19．（12分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．
（1）求线段AB的长度；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．
20．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M为CD的中点．
（1）求证：AM∥平面PBC；
（2）求证：CD⊥PA．
21．（12分）已知函数f（x）=（x2+mx）e x（其中e为自然对数的底数）．
（1）当m=﹣2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，求m的取值范围．
22．（12分）已知椭圆过点，且离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．
人教新课标高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，只有一个正确答案，共60分）
1．（5分）如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由三视图可知几何体为圆台，上底小，下底大，
∴向容器内注水时，水位高度h增加的速度越来越快，
故选A．
2．（5分）直线3x﹣4y=0截圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=2所得弦长为（）
A．4 B．2 C．2 D．2
【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=2的圆心坐标为（1，2），半径为，
则圆心（1，2）到直线3x﹣4y=0的距离d=，
由垂径定理可得直线3x﹣4y=0截圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=2所得弦长为2×．故选：D．
3．（5分）α，β，γ是三个平面，m，n是两条直线，下列命题正确的是（）
A．若α∩β=m，n⊂α，m⊥n，则α⊥β
B．若α⊥β，α∩β=m，α∩γ=n，则m⊥n
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
D．若m不垂直平面，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线
【解答】解：由α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：
在A中，若α∩β=m，n⊂α，m⊥n，则α与β相交但不一定垂直，故A错误；
在B中，若α⊥β，α∩β=m，α∩γ=n，则m与n相交、平行或异面，故B错误；
在C中，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确．
在D中，若m不垂直平面α，则m有可能垂直于平面α内的无数条平行直线，故D错误；
故选：C
4．（5分）设p：a=1，q：直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：对于命题q：由a（a+2）﹣3=0，解得a=1或﹣3．
a=﹣3时，两条直线重合，舍去．∴a=1．
∴p是q的充要条件．
故选：C．
5．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧（￢q）”是假命题；
③命题“（￢p）∨q”是真命题；
④命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题．
其中正确的是（）
A．②④B．②③C．③④D．①②③
【解答】解：∵|sinx|≤1，∴：∃x∈R，使sinx=错误，即命题p是假命题，
∵判别式△=1﹣4=﹣3＜0，∴∀x∈R，都有x2+x+1＞0恒成立，即命题q是真命题，
则①命题“p∧q”是假命题；故①错误，
②命题“p∧（￢q）”是假命题；故②正确，
③命题“（￢p）∨q”是真命题；故③正确，
④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．故④错误，
故选：B
6．（5分）如图，将无盖正方体纸盒展开，线段AB，CD所在直线在原正方体中的位置关系是（）
A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°
【解答】解：把正方体展开图还原成如图所示的正方体，
∵AB∥EC，∴∠ECD是线段AB，CD所在直线所成的角，
∵EC=CD=ED，
∴∠ECD=60°，
∴线段AB，CD所在直线在原正方体中的位置关系是异面相交成60°．
故选：C．
7．（5分）直线l：y=kx与双曲线C：x2﹣y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（）A．（0，1） B．C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]
【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2的渐近线方程为：y=±x，
直线l：y=kx与双曲线C：x2﹣y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（﹣1，1）．
故选：C．
8．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为（）
A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，1）
【解答】解：F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，
可得以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆有交点，
可得b≤c，即b2≤c2，a2﹣c2≤c2，a2≤2c2，因为0＜e＜1，
即可得1＞e≥，
所以则椭圆的离心率e的取值范围为：[，1）．
故选：B．
9．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f'（2）x﹣3，则（）
A．f（0）＜f（4）B．f（0）=f（4）C．f（0）＞f（4）D．以上都不对
【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+2f′（2），
令x=2，得f′（2）=4+2f′（2），
即f′（2）=﹣4，
f（x）=x2﹣8x﹣3，
∴f（0）=﹣3，f（4）=16﹣32﹣3=﹣19，
则f（0）＞f（4），
故选：C
10．（5分）已知点P（x，y）在直线x﹣y﹣1=0上运动，则（x﹣2）2+（y﹣2）2的最小值为（）A．B．C．D．
【解答】解：∵点（2，2）到直线x﹣y﹣1=0的距离d==，
∴（x﹣2）2+（y﹣2）2的最小值为．
故选A
11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，
若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是（）
A．B．2 C． D．
【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线x=﹣2，
代入双曲线，得y=±，
不妨设A（﹣2，），B（﹣2，﹣），
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴=4，
解得m=，
∴c2=a2+b2=+1=，
∴e==，
故选D．
12．（5分）过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA=BA，则平面ABP和平面CDP 所成的锐二面角的大小是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=BA=1，
则C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
=（1，1，﹣1），=（0，1，﹣1），
设平面PCD的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（0，1，1），
平面ABP的法向量=（0，1，0），
设平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小为θ，
则cosθ===，
∴θ=45°，
∴平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小为45°．
故选：B．
二、填空题（每小题5分共20分）
13．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0和l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a的值为．【解答】解：a=1时，两条直线不垂直，舍去．
a≠1时，由﹣×=﹣1，解得a=．
故答案为：．
14．（5分）已知底面是正方形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为42π，且，
则AC1与底面ABCD所成角的正切值为．
【解答】解：设CC1=h，则AC=AB=，AC1==，
∴棱柱外接球的半径r=AC1=．
∴外接球的表面积S=4πr2=（h2+6）π=42π，
解得h=6．
∴tan∠C1AC===．
故答案为：．
15．（5分）函数y=x2（x＞0）的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为a n+1，n 为正整数，若a1=16，则a1+a3+a5=21．
【解答】解：依题意，y′=2x，
∴函数y=x2（x＞0）的图象在点（a n，a n2）处的切线方程为y﹣a n2=2a n（x﹣a n），
令y=0，可得x=a n，即a n
=a n，
+1
∴数列{a n}为等比数列a n=16×（）n﹣1，
∴a1+a3+a5=16+4+1=21．
故答案为：21．
16．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
（3）如果α∥β，m⊂α，那么n∥β．
（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有（2）（4）．（填写所有正确命题的编号）
【解答】解：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β或α、β相交，故（1）错；
（2）如果m⊥α，n∥α，过n的平面与α的交线l平行于n，且m⊥l，那么m⊥n，故（2）正确；
（3）如果α∥β，m⊂α，由面面平行的性质可得m∥β，故（3）错；
（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等，正确．
故答案为：（2）（4）．
三、解答题（17题10分，其余各题均为12分共70分）
17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+a≥0，命题q：∃x∈R，使x2+（2+a）x+1=0．若命题“p 且q”为真命题，求实数a的取值范围．
【解答】解：若p为真命题，则﹣a≤x2在x∈R上恒成立，即﹣a≤0，即a≥0；（3分）
若q为真命题，则△=（2+a）2﹣4≥0，即a≤﹣4或a≥0…（5分）
命题“p且q”为真命题，即p为真命题且q为真命题，
所以…（8分）
故a的取值范围为[0，+∞）…（10分）
18．（12分）已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x上．
（1）求圆C的方程；
（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．
【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则，
解得D=﹣4，E=﹣8，F=﹣5，
∴圆C的方程：x2+y2﹣4x﹣8y﹣5=0；
（2）动直线l的方程为（x+2y﹣7）m+2x+y﹣8=0．
则得，∴动直线l过定点M（3，2），
∴直线m：y=x﹣1，
∴圆心C（2，4）到m的距离为，
∴PQ的长为．
19．（12分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．
（1）求线段AB的长度；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．
【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2 （x﹣2），与y2=8x联立，消去y得x2﹣5x+4=0，由根与系数的关系得x1+x2=5．
由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，
（2）由x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．
设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），
又y2=8x3，
即[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），
即（2λ﹣1）2=4λ+1，
解得λ=0或λ=2．
20．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M为CD的中点．
（1）求证：AM∥平面PBC；
（2）求证：CD⊥PA．
【解答】证：（1）∵四边形ABCM为平行四边形…（3分）
…（6分）
（2）∵…（9分）
∴…（12分）
21．（12分）已知函数f（x）=（x2+mx）e x（其中e为自然对数的底数）．
（1）当m=﹣2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，求m的取值范围．
【解答】解：（1）当m=﹣2时，f（x）=（x2﹣2x）e x，
f′（x）=（x2﹣2）e x，
令f′（x）≥0，解得：x≥或x≤﹣，
∴f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）递增；
（2）∵f′（x）=[x2+（m+2）x+m]e x，
由题意得f′（x）≤0对于x∈[1，3]恒成立，
∴x2+（m+2）x+m≤0，即m≤﹣=﹣（x+1）+，
令g（x）=﹣（x+1）+，则g′（x）=﹣1﹣＜0恒成立，
∴g（x）在区间[1，3]递减，g（x）min=g（3）=﹣，
∴m的范围是（﹣∞，﹣]．
22．（12分）已知椭圆过点，且离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率∴∴a=2c∴b2=a2﹣c2=3c2
∴椭圆方程为又点在椭圆上∴∴c2=1
∴椭圆的方程为…（4分）
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）由
消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0…（6分）
∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3…（8分）
又∴MN中点P的坐标为…（9分）
设MN的垂直平分线l'方程：
∵p在l'上∴即4k2+8km+3=0
∴…（11分）
将上式代入得
∴
即或，∴k的取值范围为。