线性代数单元辅导四

《线性代数》单元辅导四

第三章 线性方程组

一、基本要求

1. 掌握线性方程组有解的充分必要条件

2. 了解线性方程组解的结构，会求解线性方程组

3. 会利用线性方程组的性质证明有关问题 二、内容提要

1. 线性方程组的概念 线性方程组的一般形式为

1111221121122222

1122n n n n m m mn n m

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪⎪+++=⎩ （1） 若记()12,,,T

n X x x x =，()12,,

,T

m b b b b =

1112

1

21222

12

n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪

⎪⎝

⎭

则线性方程组（1）记为 AX b =， （2） 并称其为非齐次线性方程组；

若()12,,,T

m b b b b =的元素全为零，即120m b b b ==

==，则

A X O = （3）

并称其为齐次线性方程组，也称作（1）的导出方程组，称

()11121

1

2122

2

2

12

n n m m mn

m a a a b a a a

b A b a a a b ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪

⎪⎝

⎭

为线性方程组（1）的增广矩阵，记作A 2. 齐次线性方程组解的性质与解的结构

（1）n 元齐次线性方程组AX O =有非零解的充分必要条件是()R A n < （2）n 元齐次线性方程组的基础解系 设12,,t ξξξ是AX O =的一组解，如果满足 1）12,,

t ξξξ线性无关

2）AX O =的任一解都能表示成12,,

t ξξξ的线性组合

则称12,,t ξξξ为齐次线性方程组的一个基础解系

（3）齐次线性方程组有非零解时，它一定有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n －r ，其中r 表示系数矩阵的秩

（4）齐次线性方程组的解的线性组合仍是该方程组的解 （5）齐次线性方程组有非零解是，求出其基础解系12,,n r ξξξ-，该方程组的通

解可表示为

1122n r n r X k k k ξξξ--=++

+

其中12,,

,n r k k k -为任意常数

3、非齐次线性方程组解的性质与解的结构

（1）非齐次线性方程组AX b =有解充分必要条件是()()R A R A =

（2）如果η是非齐次线性方程组的一个特解，0η是其对应当齐次线性方程组的

一个解（即导出方程组的一个解），则0X ηη=+也为AX b =的解 （3）如果12,,

n r ξξξ-是导出方程组的一个基础解系，0η是此方程组的一个特解，

则AX b =的通解为11220n r n r X k k k ξξξη--=++++

其中12,,

,n r k k k -为任意常数

（4）对于AX b =

1）若()()R A R A n ==，则AX b =有唯一解 2）若()()R A R A r n ==<，则AX b =有无穷解 3）若()()R A R A ≠，则AX b =无解

三.例题分析

1. 设X 为n 维列向量，则齐次线性方程组AX O =仅有零解的充分必要条件是（ ） 解：当()R A n =时，齐次线性方程组仅有零解

2.齐次线性方程组

1231231

23000x x x x x x x x x λλλ++=

⎧⎪

++=

⎨⎪++=

⎩ 只有零解，则λ满足条件（ ）

解：因为方程组只有零解充分必要系数矩阵的行列式0A ≠

所以有()()2

11

111201,211A λλλλλλλ==-+≠⇒≠≠-

3. 若线性方程组

1212

32343

414

x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨

+=-⎪⎪+

=⎩

有解，则常数1234,,,a a a a 满足条件（ ） 解：由方程组有解()()R A R A =及

11

1

22

2

333

41412411001100110

00110011001100011001100111

101

10

11a a a a a a A a a a a a a a a a ---⎛⎫

⎛⎫⎛

⎫ ⎪ ⎪

⎪

⎪

⎪ ⎪=→

→

⎪

⎪

⎪--- ⎪ ⎪

⎪

-+++⎝⎭

⎝⎭⎝⎭423123

4

1001

011000110000a a a a a a a ⎛⎫

⎪

⎪→ ⎪-

⎪+++⎝⎭ 由此可知，应有12340a a a a +++=

4. 设任意一个n 维向量都是下列齐次线性方程组的解

11112212112222

11220

00n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x

a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩

则()R A =（ ）

解：原齐次线性方程组可以改写为

111211

212222

12

0n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪

⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 因为任何一个n 维向量都是上述方程组的解，依次取 ()()()1210

0,01

0,

,001T

T

T

n e e e ===