【步步高】高考数学总复习 第一讲 坐标系配套文档 理 新人教A版选修4-4

第一讲 坐标系
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝ (λ>0)，
y ′＝ (μ>0)的作用下，
点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称__________． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个______O ，叫做极点；自极点O 引一条______Ox ，叫做极轴；再选定一个______单位、一个______单位(通常取______)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标
设M 是平面内一点，极点O 与点M 的______叫做点M 的极径，记为____；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角______叫做点M 的极角，记为____．有序数对______叫做点M 的极坐标，记为______．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ____0，θ可取__________． (3)点与极坐标的关系
一般地，极坐标(ρ，θ)与______________表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为______________．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有______种表示．
如果规定ρ>0，________，那么除______外，平面内的点可用______的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是______确定的． 3．极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为______，x 轴的正半轴作为______，并在两种坐标系中取相同的__________．
(2)互化公式：如图所示，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：
4.
1．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别是(3，π3)，(4，－π
6)，则△AOB 为________三角形．
2．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π
4
)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
3．(课本习题改编)极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 4．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________.
题型一 平面直角坐标系中的伸缩变换
例1 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x ，
2y ′＝y ，
(1)求点A (1
3，－2)经过φ变换所得的点A ′的坐标；
(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得的直线l ′的方程；
(3)求双曲线C ：x 2
－y 2
64
＝1经过φ变换后所得到的曲线C ′的焦点坐标．
思维升华 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．
椭圆x 24
＋y 2
＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝12x ，y ′＝y
后的曲线方程为________．
题型二 极坐标与直角坐标的互化
例2 (2012·湖南)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.
思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．
(2013·北京)在极坐标系中，点⎝⎛⎭
⎫2，π
6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 题型三 求曲线的极坐标方程
例3 已知P ，Q 分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上，∠AOB ＝π
3，△POQ 的面积为8，则
PQ 中点M 的极坐标方程为________． 思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤：
(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式，解决这类问题，关键是抓住问题的几何意义．
(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
(1)(2012·上海)如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与
极轴的夹角α＝π
6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝
________.
(2)(2012·江苏改编)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π
3＝－3
2
与极轴的交点，则圆C 的极坐标方程为________．
转化与化归思想在坐标系中的应用
典例：(5分)(2012·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π
6(ρ∈R )的距离是
________．
思维启迪 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解．
解析 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝3
3x ，即3x
－3y ＝0.
∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|
3＋9＝ 3.
答案
3
温馨提醒 本题考查了极坐标方程和平面直角坐标系中一般方程的转化，考查了转化与化归思想，题目难度不大，做本题时有可能因对极坐标和平面直角坐标的关系不熟而受挫．在进行坐标互化时要注意以下几点：
(1)互化的三个前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正方向重合；③取相同的单位长度．
(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
方法与技巧
1．我们在使用伸缩变换时，要分清新旧坐标：P ′(x ′，y ′)是变换图形后的点的坐标，P (x ，y )是变换前图形的点的坐标．注意从三角函数的图象变换来理解抽象的坐标伸缩变换公式，以加深理解和记忆．
2．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．
3．如果要判断曲线的形状，我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断，这时我们直接应用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可． 失误与防范
极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.
A 组 专项基础训练
1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________． 2．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________．
3．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线x 2
＋y 2
＝16变换为椭圆x ′2
＋y ′216
＝1，此伸缩
变换公式是________．
4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π
3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________． 5．已知点M 的极坐标为(6，
11π
6
)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________． 6．直线ρcos θ＝2关于直线θ＝π
4
对称的直线极坐标方程为________．
7．在极坐标系中，曲线ρ＝a sin θ与ρ＝a cos θ(a >0，ρ>0,0≤θ<π)的交点的极坐标为________． 8．在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎫θ－π4＝2
2与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________． 9．(2012·陕西)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
10．在极坐标系中，射线θ＝π
3(ρ≥0)与曲线C 1：ρ＝4sin θ的异于极点的交点为A ，与曲线
C 2：ρ＝8sin θ的异于极点的交点为B ，则|AB |＝________.
B 组 专项能力提升
1．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a 的值为________．
2．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________． 3．在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－π3)与直线ρsin(θ＋π
6)＝1的两个交点之间的距离为
________．
4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
6上的动点，则|PQ |的最大值为________．
5．圆心为C ⎝⎛⎭
⎫3，π
6，半径为3的圆的极坐标方程为______________________．
6．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π
6(ρ∈R )，曲线C 1，
C 2相交于点M ，N .则线段MN 的长为________．
7．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝⎛⎭⎫4，π6绕极点逆时针旋转π
4得到点B ，且OA ＝OB ，则点B 的直角坐标为________．
答案
基础知识自主学习 要点梳理
1．λ·x μ·y 伸缩变换
2．(1)定点 射线 长度 角度 弧度 逆时针 (2)距离|OM | ρ xOM θ (ρ，θ) M (ρ，θ) ≥ 任意实数
(3)(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z ) (0，θ)(θ∈R ) 无数 0≤θ<2π 极点 惟一 惟一
3．(1)极点 极轴 长度单位 (2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 y
x
(x ≠0) 4．ρ＝r (0≤θ<2π) ρ＝2r cos θ(－π2≤θ<π
2) ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) θ＝α(ρ∈R ) θ＝π＋α(ρ∈R )
(2)θ＝π＋α
ρcos θ＝a (－π2<θ<π
2) ρsin θ＝a (0<θ<π)
夯基释疑
1．直角 2.43 3.x 2＋y 2－2x －y ＝0 4.(2，π6)，(2，5π
6)
题型分类深度剖析
例1 解 (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：
⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x ，
2y ′＝y 得到⎩
⎪
⎨⎪⎧
x ′＝3x ，
y ′＝12
y ，由于A (x ，y )为(1
3
，－2)，
∴x ′＝3×13＝1，y ′＝1
2×(－2)＝－1，
∴A ′的坐标为(1，－1)．
(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x ′，y ＝2y ′，将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝13x ′
y ＝2y ′
代入y ＝6x 得2y ′＝6×(1
3x ′)，即y ′＝x ′，
∴直线l ′的方程为y ＝x .
(3)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝13x ′，
y ＝2y ′，
将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝13x ′，y ＝2y ′
代入x 2
－y 264
＝1，
得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216
＝1，
∴曲线C ′的方程为x 29－y 2
16＝1.可见曲线C ′仍为双曲线，且焦点坐标为F 1(－5,0)、F 2(5,0)．
跟踪训练1 x 2＋y 2＝1
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝12x ，y ′＝y
得到⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2x ′，
y ＝y ′.①
将①代入x 24＋y 2
＝1得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.
因此椭圆x 24＋y 2
＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.
例2
22
解析 将极坐标方程化为普通方程求解．
ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝2
2
. 将⎝⎛
⎭
⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2
得a ＝22. 跟踪训练2 1
解析 极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π
6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，∴点到直线y ＝2的距离为d ＝1. 例3 ρ2＝23sin θsin (π3
－θ)
(0<θ<π
3
)
解析 建立如图所示极坐标系，设动点M 坐标为(ρ，θ)(0<θ<π
3)．
P 、Q 两点坐标分别为(ρ1,0)，(ρ2，π
3)．
则有12ρ1ρ2sin π
3＝8，①
1
2ρρ1
sin θ＝4，② 12ρρ2sin(π
3
－θ)＝4，③
②×③得：14ρ2ρ1ρ2sin θsin(π
3－θ)＝16，④
由①得ρ1ρ2＝
32
3
代入④得 ρ2＝23sin θsin (π3－θ)
(0<θ<π
3
)，即为所求极坐标方程．
跟踪训练3 (1)1
sin ⎝⎛⎭
⎫π6－θ
解析 如图，设P (ρ，θ)为直线上任一点， 在△OPM 中，|OM |sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρ
sin 56π，
∴
2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρ12.∴ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，即f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭
⎫π6－θ.
(2)ρ＝2cos θ
解析 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3
2中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π
4， 所以圆C 的半径PC ＝
(2)2＋12－2×1×2cos π
4
＝1，
于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 练出高分 A 组 1.⎝
⎛⎭⎫1，－π2 解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π
2. 2．ρcos θ＝1
解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，其极坐标方程为ρcos θ＝1. 3.⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝14x
y ′＝y
解析 设此伸缩变换为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (λ>0)代入x ′2＋y ′216＝1，得(λx )2＋(μy )216＝1，即16λ2x 2＋μ2x 2＝16.
与x 2＋y 2
＝16比较得⎩
⎪⎨⎪⎧
16λ2
＝1(λ>0)，μ2＝1(μ>0)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14，μ＝1，即所求变换为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝14x ，
y ′＝y . 4. 3
解析 极坐标系中的点⎝⎛⎭⎫2，π
3化为平面直角坐标系中的点为(1，3)；极坐标系中的圆ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)． ∴所求两点间的距离为(1－1)2＋(3－0)2＝ 3. 5．(－33，－3)
解析 点M 的直角坐标为x ＝ρcos θ＝6cos
116π＝33，y ＝ρsin θ＝6sin 11
6
π＝－3.即M (33，－3)，所以它关于y 轴对称的点为(－33，－3)． 6．ρsin θ＝2
解析 直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2， 直线θ＝π
4的直角坐标方程为y ＝x ，
所以所求的直线方程为y ＝2. 其极坐标方程为ρsin θ＝2. 7．(
2a 2，π4
) 解析 两式相除得tan θ＝1⇒θ＝π4⇒ρ＝a sin π4＝2a 2.
8．相离
解析 直线的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为r ＝1，圆心到直线的距离d ＝2
2
＝2>1.故直线与圆相离． 9. 3
解析 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝1
2；
圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ， 化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .
将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32
. ∴弦长为2×
32＝ 3. 10．2 3
解析 将射线与曲线C 1的方程联立，得
⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝4sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝23，
故点A 的极坐标为(23，π3
)， 同理由⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝8sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧
θ＝π3，ρ＝43，
可得点B 的极坐标为⎝
⎛⎭⎫43，π3， 所以|AB |＝43－23＝2 3.
B 组
1．－8或2
解析 将极坐标方程化为直角坐标方程，
得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，
直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42
＝1， 解得a ＝－8或a ＝2.
故a 的值为－8或2.
2．ρcos θ＝3
解析 由ρ＝6cos θ得，ρ2＝6ρcos θ，
又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝6x ，
即(x －3)2＋y 2＝9，圆心为(3,0)，
故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.
3．2 3
解析 由极坐标系与直角坐标系的互化关系可知曲线ρ＝4cos(θ－π3
)对应的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝4，直线ρsin(θ＋π6)＝1对应的直角坐标方程为
x ＋3y －2＝0，所以两交点间的距离即为直线被圆截得的弦长的大小，由垂径定理可求得弦长为23，即两交点之间的距离为2 3.
4．18
解析 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，
∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.
又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，
∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，
∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，
∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，
∴|PQ |max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.
5．ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
6
解析 如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)，
则|OP |＝ρ，∠POA ＝θ－π
6，
|OA |＝2×3＝6，
在Rt △OAP 中，
|OP |＝|OA |×cos ∠POA ，
∴ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
6.
∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
6.
6．2
解析 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，
即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，
由θ＝π
6(ρ∈R )得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝3
3x .
把y ＝33x 代入x 2＋y 2－4y ＝0，
得x 2＋13x 2－43
3x ＝0，即43x 2－43
3x ＝0，
解得x 1＝0，x 2＝3，∴y 1＝0，y 2＝1.
∴|MN |＝(3)2＋1＝2.即线段MN 的长为2.
7．(6－2，6＋2)
解析 依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫4，5π12， ∵cos 5π12
＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6
＝22×32－22×12＝6－24
， sin
5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6
＝22×32＋22×12＝6＋24
， ∴x ＝ρcos θ＝4×
6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝4×
6＋24＝6＋ 2.。