深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学(理科)参考答案

深圳市2019年高三年级第一次调研考试 理科数学试题参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一．选择题
1.D
2.B
3.A
4.C
5.B
6.C
7.B
8.A
9.C 10.D 11.B 12.A
11. 解析:设△ABC 的外接圆圆心为O '，其半径为r ，球O 的半径为R ，且||OO d '=， 依题意可知1
max 2(
)3V R d
V d +==，即2R d =，显然222R d r =+，故R =
， 又2
sin AC r ABC =
=∠，故r =∴球O 的表面积为221664
4πππ39R r ==，故选B .
12. 解析：
11()
9
x
x λ≤，∴9x x λ
≥，∴ln 2ln 3x x λ≥，*x ∈N ，∴0λ>，
（法一）∴ln 2ln 3x x λ≥，令ln ()x f x x =，则2
1ln ()x f x x -'=，
易知()f x 在(0,e)上递增，在(e,)+∞上递减， 注意到2<e<3，只需考虑(2)f 和(3)f 的大小关系， 又ln 2ln 8(2)26f =
=，ln 3ln 9(3)36
f ==，∴(2)(3)f f <， ∴只需ln 32ln 3
(3)3f λ
=
≥，即6λ≥，即实数λ的最小值为6，故选A. （法二）
ln 2ln 3x x λ
≥，2ln 3ln x x λ∴≥，令2ln 3
k λ
=，则ln x kx ≥（*）， 不等式（*）有正整数解，即
ln y x =在y kx =的图象上方（或者图象的交点）存在横坐
标为正整数的点，易知直线e
x
y =
与曲线ln y x = 相切，如右图所示，∴ln 22k ≥，或ln 33k ≥， 解得4ln 3ln 2λ≥
，或6λ≥，不难判断
4ln 3
6ln 2
≥，即实数λ的最小值为6，故选A.
二．填空题：
13. 3
14. 15
15. 8 16. 103
16. 解析：
,11112n n a -=-
，∴1,12
1
1,(2)2
n n a n --=-≥ 下面求数列{}
,2n a 的通项，
由题意可知,21,11,2,(3)n n n a a a n --=+≥，
∴,21,21,12
11,(3)2
n n n n a a a n ----==-
≥，即,21,22
11,(3)2
n n n a a n ---=-≥，
∴,2,21,21,22,23,22,22,2215
()()()22
n n n n n n a a a a a a a a n ----=-+-+⋅⋅⋅+-+=
+-，
数列{}
,2n a 显然递增，又易知102,2103,2100a a <<，
∴m 的最小值为103，故应填103．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线， 已知1BC =，且3
cos 5
BCD ∠=-
． （1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长； （2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长．
解：（1）若对角线AC 平分BCD ∠，即22BCD ACB ACD ∠=∠=∠，
∴23
cos 2cos 15
BCD ACB ∠=∠-=-，
cos 0ACB ∠>，
∴cos 5
ACB ∠=
，………………………3分 在△ABC 中，1BC =，2AB =
，cos ACB ∠=
∴由余弦定理2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠可得：
2
30AC AC -=
，解得AC =
5AC =-， ∴AC
…………………6分
P
A
C
（2
）
3
cos 5
BCD ∠=-，
∴4sin
5
BCD ∠=，……………7分
又
45CBD ∠=︒，
∴sin sin(18045)=sin(+45CDB
BCD BCD ∠=︒-∠
-︒∠︒）
(sin cos )210
BCD BCD =
∠+∠=9分 ∴在△BCD 中，由正弦定理
=sin sin BC CD
CDB CBD
∠∠，可得
sin =5sin BC CBD
CD CDB
⋅∠=
∠，即CD 的长为5.………………………12分
【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，三角恒等变换等知识，意在考察考生数形结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养． 18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长 为1的菱形，45BAD ∠=︒，2PD =，M 为PD 的中点，
E 为AM 的中点，点
F 在线段PB 上，且3PF FB =.
（1）求证：//EF 平面ABCD ；
（2）若平面PDC ⊥底面ABCD ，且PD DC ⊥， 求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．
解：（1）证明：（法一）如图，设DM 中点为N ，连接EN ，NF ，BD ，则有//NE AD ，
NE ⊄平面ABCD ，AD
⊆平面ABCD ， //NE ∴平面ABCD ，……………………2分
又
3
4
PN PF PD PB ==， ∴//NF DB ，……………………4分
NF ⊄平面ABCD ，BD
⊆平面ABCD ， //NF ∴平面ABCD ，……………………5分
又
NF NE N =，∴平面//NEF 平面ABCD ，
∴//EF 平面ABCD ．……………………6分
（第18题图）
P A
B
C
D
F M E
P
A
C
（法二）如图，设AD 中点为R ，Q 为线段BD 上一点，且3DQ QB
=. 连接ER 、RQ 、QF ，则有//ER PD ，……………………1分
1
4
BF BQ BP BD ==，∴//QF PD ，……………………3分 ∴//QF ER ，且14
QF PD ER ==，…………………4分
即QFER 为平行四边形，∴//EF QR ，………………5分EF ⊄平面ABCD ，RQ ⊆平面ABCD ， //EF ∴平面ABCD ．……………………6分
（2）（法一）解：平面PDC ⊥底面ABCD , 且PD DC ⊥，
∴PD ⊥底面ABCD ，……………………7分
如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D
xyz -，
则(0,0,0)
D ，(0,0,2)P ，(1,0,0)A ，(
22
C -∴(1,0,0)BC A
D ==-，
(,2)22
PC =--，……………………8分
设平面PBC 的一个法向量为1(,,)n x y z =，
则1100n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴02022
x x y z -=⎧⎪
⎨-+-=⎪⎩， 取y =1)n =，……………………10分
又易知平面PAD 的一个法向量2(0,1,0)n =，……………………11分 设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为q ，则1212||cos ||||n n n n θ⋅=
⋅3
=
， ∴平面PAD 与平面PBC ．……………………12分 （法二）如图，过A 、P 分别做PD 、AD 的平行线，交于点S ，则////S P A D B C
，
C
P
C
S
∴直线SP 为平面PAD 与平面PBC 的交线，
过D 做DG BC ⊥，交BC 于G ，连接PG ，则BC ⊥平面PDG ，
∴GPD ∠即为平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角，设为θ，……………………9分
底面ABCD 是边长为1
的菱形，45BAD ∠=︒，
∴DGC 为等腰直角三角形，
∴
DG =
，又2PD =， ∴cos θ=
12分 【说明】本题主要考察了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的性质，平面与平面所
成角等知识，意在考察考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力． 19.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为(1,0)F ，且点3
(1,)2
P 在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．
解：（1）(法一)设椭圆C 的方程为
221(0)a b a b
+=>>，
一个焦点坐标为(1,0)F ，∴另一个焦点坐标为(1,0)-，……………………1分
∴由椭圆定义可知2a =4 ∴2a =，……………………3分
∴2
2
2
3b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=. ……………………4分
(法二)不妨设椭圆C 的方程为
22
1x y m n
+= (0m n >>)， 一个焦点坐标为(1,0)F ，∴1m n -=，① ……………………1分
又点3
(1,)2
P 在椭圆C 上，∴1312m n +
=，② ……………………2分 联立方程①，②，解得4m =，3n =，
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=. ……………………4分
（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，
由方程组221143
x my x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，，消去x ，并整理得：22
(34)690m y my ++-=，
∵2
2
(6)36(34)0m m =++>∆， ∴122634m y y m +=-
+， 122
9
34
y y m =-+，……………………7分 ∵直线BM 的方程可表示为1
1(2)2
y y x x =
--， 将此方程与直线4x =联立，可求得点Q 的坐标为1
12(4,
)2
y x -，……………………9分 ∴22(2,)AN
x y =+，1
12(6,
)2
y AQ x =- ∵122126(2)2y y x x -+⋅
-211216(2)2(2)
2
y x y x x --+=- [][]
211216(1)22(1)212
y my y my my +--++=
+-（）
1212146()
1
my y y y my -+=
-22
19
64()6()34
3401
m
m m m my -
--
++==-，
∴//AN AQ ，……………………11分
又向量AN 和AQ 有公共点A ，故A ，N ，Q 三点在同一条直线上．…………12分 【说明】本题以直线与椭圆为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 20.（本小题满分12分）
某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：
（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率； （2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：
预计去年消费金额在(1600,3200]内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3200,4800]内的消费者都
将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额.
该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案： 方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.
方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回．．．
地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数
为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.
以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由. 解：（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有X 人， 则X 的可能值为“0,1,2”，……………………1分
∴112
84422121216319
(1)(1)(2)333333
C C C P X P X P X C C ≥==+==+=+=. ………………3分
（或者2821219
(1)1(0)133
C P X P X C ≥=-==-=. ……………………3分）
（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：
28257100⨯=，602515100⨯=，12
253100
⨯=，……………………4分 ∴按照方案1奖励的总金额为：
1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=元， ……………………5分
方案2： 设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，
则η的可能值为“0,200,300”， ……………………6分
Q 摸到红球的概率：1
2152
5
C P C ==，
∴031
2
013
3232381(0)5555125
P C C η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭， 2
1
232336(200)55125
P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
3
33
28(300)5125P C η⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
， …………………………8分
∴η的分布列为
∴81368020030076.8125125125
E η=⨯
+⨯+⨯=元，……………………10分 ∴按照方案2奖励的总金额为：
2(28260312)76.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=元， ……………………11分 Q 方案1奖励的总金额1ξ多于方案1奖励的总金额2ξ，
∴预计方案2投资较少. ……………………12分
【说明】本题以健身锻炼为背景，考查应用超几何分布、二项分布等分布列模型及分层抽样与期望等统计学和概率知识对数据进行分析处理及决策的数学建模能力，综合考查了考生应用数学模型及所学知识对数据的处理能力及建模、解模的数学应用意识. 21.（本小题满分12分）
已知定义域为(0,)+∞的函数()e (2)x
a
f x x x
=--.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数）
（1）求函数()f x 的递增区间；
（2）若函数()f x 为定义域上的增函数，且12()()4e f x f x +=-，证明:122x x +≥.
解：（1）易知22
e (1)()
()x x x a f x x
--'=，……………………………………………1分 ①若0a ≤，由()0f x '>解得1x >，
∴函数()f x 的递增区间为(1,)+∞；……………………………………………2分
②若01a <<，则
∴3分
③若1a =，则22
e (1)(1)
()0x x x f x x
-+'=≥， ∴函数()f x 的递增区间为(0,)+∞；……………………………………………4分
④若1a >，则
∴5分
综上，若0a ≤，()f x 的递增区间为(1,)+∞；
若01a <<，()f x 的递增区间为和(1,)+∞； 若1a =，函数()f x 的递增区间为(0,)+∞；
若1a >，函数()f x 的递增区间为(0,1)和)+∞.
（2）
函数
()f x 为(0,)+∞上的增函数，
∴
1a =，即1()e (2)x
f x x x
=--，…………………… 6分 注意到
(1)2e f =-，故12()()4e 2(1)f x f x f +=-=，
∴不妨设1201x x <≤≤，…………………………7分
(法一)欲证122x x +≥，只需证212x x ≥-，只需证21()(2)f x f x ≥-， 即证114e ()(2)f x f x --≥-，即证11()(2)4e f x f x +-≤-， 令()()(2)x f x f x ϕ=
+-，01x <≤，只需证()(1)x ϕϕ≤，……………………8分
∴2222
22
e (1)(3)
()()(2)e
(1)[](2)x x
x x x f x f x x x x ϕ--+-'''=--=---，
下证()0x ϕ'≥，即证
2222
e (1)(3)
0(2)x x x x x -+--≥-， 由熟知的不等式e 1x
x ≥+可知22
1222e
(e )(11)x x x x --=≥+-=，
当01x <≤时，即22
2e 1x x
-≥，
∴22322222
e (1)(3)(3)31
1(2)(2)(2)
x x x x x x x x x x x x -+---++-≥+-=---，…………………10分 易知当01x <≤时，2210x x --<，∴322
31(1)(21)0x x x x x x -++=---≥，
∴2222
e (1)(3)
0(2)
x x x x x -+--≥-，………………………………11分 ∴()0x ϕ'≥，即()x ϕ单调递增，即()(1)x ϕϕ≤，从而122x x +≥得证. ………12分
(法二) 令222
e (1)(1)e (1)()()e (1)x x x
x x x g x f x x x x
-+-'===--，
则32
3e (1)(2)
()x x x x g x x -++'=，…………………8分
由上表可画出()e (2)x f x x x =--
的图象，如右图实线所示，
右图虚线所示为函数1
()e (2)x f x x x =--(01)x <≤的图象
关于点(1,2e)Q -对称后的函数()4e (2)h x f x =---的图象，
设图中点11(,())A x f x ，则12(2,())C x f x -，22(,())B x f x ，
欲证122x x +≥，只需证212x x ≥-，只需证点B 不在点C 的左侧即可，
即证当12x ≤<时，4e (2)()f x f x ---≥恒成立，
即证21
1
4e e ()e (2)2x x x x x x -----≥---，
即证21
1
e (2)e ()4e 2x x x x x x -+-++≥-，……………………………………10分
由基本不等式可知211
e (2)e ()2x x x x x x -+-++≥-2e 4e =，
∴211
e (2)e ()4e 2x x x x x x -+-++≥-，
∴122x x +≥得证. ……………12分
【说明】 本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=,
sin ,cos 2ααt y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ．
（1）求曲线C 的参数方程；
（2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求221
1PA PB +的取值范围．
解:（1）2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=， ……………………1分 将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入上式， ……………………2分 可得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=，……………3分 ∴曲线C 的参数方程为1cos ,sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨
=⎩（ϕ为参数）. ……………………5分 （2）将⎩
⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x 代入曲线C 的直角坐标方程， 整理得：26cos 80t t α-+=， ………………………………………………6分 由题意得236cos 320α∆->=，故9
8cos 2>α， 又1cos 2≤α，∴28
cos (,1]9
α∈， ………………………………………………7分 设方程26cos 80t t α-+=的两个实根分别为1t ，2t ，
则αcos 621=+t t ，821=⋅t t ，…………………………………………………………8分 1t ∴与2t 同号，
由参数t 的几何意义，可得
αcos 62121=+=+=+t t t t PB PA ，821=⋅=⋅t t PB PA ，
22222()21
1PA PB PA PB PA PB PA PB +-⋅∴+=⋅
221212212()29cos 4()16
t t t t t t α+-⋅-==⋅， ………………… ……………………9分 Q 28cos (,1]9
α∈，
29cos 415(,]16416α-∴∈， 2211
PB PA +∴的取值范围为15(,]416
． ……………………………………10分 【说明】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数21)(-++=x x x f ，1)(2++-=mx x x g ．
（1）当4-=m 时，求不等式)()(x g x f <的解集；
（2）若不等式)()(x g x f <在1[2,]2
--上恒成立，求实数m 的取值范围． 解: (1) 21)(-++=x x x f ，
⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<<--≤+-=∴,2,12,21,3,1,12)(x x x x x x f …………………………………………1分
当4-=m 时，14)(2+--=x x x g ，
①当1-≤x 时，原不等式等价于022<+x x ，解得02<<-x ，
12-≤<-∴x ； …………………………………………2分 ②当21<<-x 时，原不等式等价于0242<++x x ， 解之，得2222+-<<--x ，
221+-<<-∴x ； ……………………………………………………3分 ③当2≥x 时，11)2()(-=≤g x g ，而3)2()(=≥f x f ，
∴不等式)()(x g x f <解集为空集． …………………………………………4分 综上所述，不等式)()(x g x f <
的解集为(2,2--．…………………………5分 （2）①当12-≤≤-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于x x mx 22->，又0<x ， 2-<∴x m ，故4-<m ；…………………………………………………………7分 ②当2
11-≤<-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于3)(>x g 恒成立，即3)(min >x g ， 只需(1)31()32g g -≥⎧⎪⎨->⎪⎩即可，即3,9,2
m m ≤-⎧⎪⎨<-⎪⎩ 2
9-<∴m ， ……………………………………………………9分
综上，
9
(,)
2
m∈-∞-．………………………………………………………………10分
【说明】本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．。