人教A版高中数学选修2-1练习题-及答案利用向量求空间角

第3课时 利用向量求空间角
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若平面α的一个法向量为n 1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n 2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于 ( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析因为n 1·n 2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°.
答案D
2.已知A (0,1,1),B (2,-1,0),C (3,5,7),D (1,2,4),则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( ) A.5√22
66 B.-5√22
66 C.5√2222
D.-5√22
22
解析AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2,-1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-3,-3),而cos AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|=3×√22
=
5√22
66
,故直线AB 和CD 所成角的
余弦值为5√22
66. 答案A
3.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AA 1=3,AB=AC=BC=2,则AA 1与平面AB 1C 1所成角的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析取AB 的中点D ,连接CD ,分别以AD ,CD ,DE 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,
可得A (1,0,0),A 1(1,0,3),故AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,3),而B 1(-1,0,3),C 1(0,√3,3),设平面AB 1C 1的法向量为m =(a ,b ,c ),
根据m ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,解得m =(3,-√3,2),cos <m ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|m ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=12. 故AA 1与平面AB 1C 1所成角的大小为30°,故选A. 答案A
4.若二面角α-l-β的大小为120°,则平面α与平面β的法向量的夹角为( ) A.120°
B.60°
C.120°或60°
D.30°或150°
解析二面角为120°时,其法向量的夹角可能是60°,也可能是120°. 答案C
5.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为AD ,C 1D 1的中点,O 为侧面BCC 1B 1的中心,则异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为( ) A.1
6
B.14
C.-16
D.-14
解析如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M (1,0,0),N (0,1,2),O (1,2,1),D 1(0,0,2),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,1).则
cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=
√6×√6
=16.∴异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为1
6,故选A.
答案A
6.若两个平面α,β的法向量分别是u =(1,0,1),v =(-1,1,0),则这两个平面所成的锐二面角的度数是 .
解析设这两个平面所成的锐二面角为θ,则cos θ=|u ·v |
|u ||v |=|-1|
√2×√2
=1
2,所以锐二面角的度数是60°.
答案60°
7.已知在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=1,BC=2,AA 1=4,E 是侧棱CC 1的中点,则直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为 .
解析在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=1,BC=2,AA 1=4,E 是侧棱CC 1的中点,以D 为原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,A (2,0,0),E (0,1,2),A 1(2,0,4),D (0,0,0),EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-2),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,4),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),设平面A 1ED 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+4z=0,n ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y+2z=0,取z=1,得n =(-2,-2,1),设直线AE 与平面A 1ED 所成角为θ,则sin θ=cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=|EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
·n |EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
||n |
|=√9×√9
=4
9.∴
直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为4
9.
答案4
9
8.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为 .
解析建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D (2,0,0),A 1(0,0,2),E (0,2,1),则A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-2),A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1).
设平面A 1ED 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1D
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.
则{2x -2z =0,2y -z =0,即{x =z ,z =2y . 令y=1,得n =(2,1,2).
易知平面ABCD 的法向量为m =(0,0,1), 则cos <n ,m>=n ·m
|n ||m |=2
3. 答案23
9.
如图所示,四边形ABCD 是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA ⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=2,AD=1. (1)求SC 与平面ASD 所成角的余弦值; (2)求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值.
解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S (0,0,2),C (2,2,0),D (1,0,0),SC
⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),∵AB ⊥平面SAD ,故平面ASD 的一个法向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),设SC 与平面ASD 所成的角为θ,则sin θ=|cos <SC ⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SC ⃗⃗⃗⃗⃗
||AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=
√3
3
,故cos θ=√63,即SC 与平面ASD 所成角的余弦值为√6
3. (2)平面SAB 的一个法向量为m =(1,0,0),∵SC
⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),设平面SCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),由{SC
⃗⃗⃗⃗ ·n =0,SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0⇒{x +y -z =0,x -2z =0,令z=1可得平面SCD 的一个法向量为n =(2,-1,1),显然,平面
SAB 和平面SCD 所成角为锐角,不妨设为α,则cos α=m ·n |m ||n |=√6
3,即平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值为√6
3.
10.
(选做题)如图,在四棱锥P-ABCD 中,BC ⊥CD ,AD=CD ,PA=3√2,△ABC 和△PBC 均为边长为2√3的等边三角形.
(1)求证:平面PBC ⊥平面ABCD ; (2)求二面角C-PB-D 的余弦值. 解(1)取BC 的中点O ,连接OP ,OA ,
因为△ABC ,△PBC 均为边长为2√3的等边三角形, 所以AO ⊥BC ,OP ⊥BC ,且OA=OP=3.
因为AP=3√2,所以OP 2+OA 2=AP 2,所以OP ⊥OA , 又因为OA ∩BC=O ,OA ⊂平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD , 所以OP ⊥平面ABCD.
又因为OP ⊂平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面ABCD. (2)因为BC ⊥CD ,△ABC 为等边三角形, 所以∠ACD=π
6,
又因为AD=CD ,所以∠CAD=π
6,∠ADC=2π
3, 在△ADC 中,由正弦定理,得:AC
sin∠ADC =CD
sin∠CAD ,
所以CD=2.
以O 为坐标原点,以OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x ,y ,z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则P (0,0,3),B (0,√3,0),D (2,-√3,0),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2√3,0), 设平面PBD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·BP
⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,
即{-√3y +3z =0,2x -2√3y =0,
令z=1,则平面PBD 的一个法向量为n =(3,√3,1), 依题意,平面PBC 的一个法向量m =(1,0,0), 所以cos <m ,n >=
m ·n
|m ||n |
=
3√13
13
. 故二面角C-PB-D 的余弦值为3√13
13.
能力提升
1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点,则sin <DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值为( ) A.1
B.√210
C.√2
D.√11
解析如图,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则D (0,0,0),B 1(1,1,1),C (0,1,0),M (1,12
,0), ∴DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1
2,0),
∴cos <DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
||CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=
1-1
2
√3×√1+
1
4
=√15
15,
∴sin <DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=
√14
√15
=√210
15.
答案B
2.如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB ,A 1D 1的中点分别为E ,F ,则直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角的正弦值为( )
A.√5
5 B.√30
6
C.√66
D.2√5
5
解析以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则E (2,1,0),F (1,0,2),EF
⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2), 取平面AA 1D 1D 的法向量为n =(0,1,0),
设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ,则sin θ=|cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
·n |EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
||n |
|=√66
, ∴直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角的正弦值为√6
6.故选C.
答案C
3.二面角的棱上有A ,B 两点,直线AC ,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2√17,则该二面角的大小为( ) A.150° B.45° C.60°
D.120°
解析由条件,知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =62+42+82+2×6×8cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=(2√17)2,所以cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=-12
, 即<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°,二面角的大小为60°. 答案C
4.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1A=2AB=2AD ,则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )
A.1
5 B.2
5
C.3
5
D.4
5
以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,
设AA 1=2AB=2AD=2,
则A 1(1,0,2),B (1,1,0),A (1,0,0),D 1(0,0,2), A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2), 设异面直线A 1B 与AD 1所成角为θ,
则cos θ=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=
√5×√5
=45
.
∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为4
5.故选D.
答案D
5.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等,则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为 .
解析设三棱柱的棱长为1,以B 为原点,建立坐标系如图,则C 1(0,1,1),A (√32,12,0),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√32,12,1),又
平面BB 1C 1C 的一个法向量n =(1,0,0),
设AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角为θ.
则sin θ=|cos <n ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
·n ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
||n |
=√64,
故cos θ=√1-sin 2θ=√10
4. 答案√10
4
6.如图,三棱柱OAB-O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,且∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO 1=2,OA=√3,求异面直线A 1B 与O 1A 所成角的余弦值.
解以O 为坐标原点,OA ,OB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A (√3,0,0),B (0,2,0),A 1(√3,1,√3),O 1(0,1,√3), 所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,-√3),O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,-√3). 设所求的角为α,
则cos α=|A 1
B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
||O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=
|-3-1+3|
√7×√7
=1
7,
即异面直线A 1B 与O 1A 所成角的余弦值为17
. 7.
如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的√2倍,P 为侧棱SD 上的点. (1)求证:AC ⊥SD ;
(2)若SD ⊥平面PAC ,求二面角P-AC-S 的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC 上是否存在一点E ,使得BE ∥平面PAC.若存在,求SC ∶SE 的值;若不存在,试说明理由.
(1)证明连接BD 交AC 于O ,由题意SO ⊥AC.
在正方形ABCD 中,AC ⊥BD , 所以AC ⊥平面SBD ,得AC ⊥SD.
(2)解由题设知,连接BD ,设AC 交BD 于O ,由题意知SO ⊥平面ABCD.以O 为坐标原点,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OS ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立坐标系O-xyz 如图.设底面边长为a ,则高SO=√6
2a.
则S 0,0,√6
2
a ,D -√2
2
a ,0,0,C 0,√2
2
a ,0.
又SD ⊥平面PAC ,
则平面PAC 的一个法向量DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =√22a ,0,√62a , 平面SAC 的一个法向量OD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√22
a ,0,0, 则cos <DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=DS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|DS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|
=-12
, 又二面角P-AC-D 为锐角,则二面角P-AC-D 为60°.
(3)解在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC.由(2)知DS
⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAC 的一个法向量, 且DS
⃗⃗⃗⃗⃗ =√2
2
a ,0,√62a ,CS ⃗⃗⃗⃗ =0,-√22a ,√6
2
a .
设CE
⃗⃗⃗⃗⃗ =t CS ⃗⃗⃗⃗ ,t ∈[0,1], 则BE
⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +t CS ⃗⃗⃗⃗ =-√22
a ,√22
a (1-t ),√62
at . 又BE ∥平面PAC ,所以BE
⃗⃗⃗⃗⃗ ·DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则t=13
. 即当SC ∶SE=3∶2时,BE
⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DS ⃗⃗⃗⃗⃗ , 而BE 不在平面PAC 内,故BE ∥平面PAC.。