江苏省扬州市2020届高三数学下学期5月调研测试试题含解析

江苏省扬州市2020届高三数学下学期5月调研测试试题（含解析）
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）
1.已知集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，则A B =______.
【答案】{}|02x x << 【解析】 【分析】
利用集合的交运算即可求解.
【详解】由集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>， 所以A
B ={}|02x x <<.
故答案为：{}|02x x <<
【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题. 2.已知()12i z i -=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为_______.
【答案】2
【解析】 【分析】
利用复数的乘除运算求出213122i z i i +=
=+-，再根据复数模的运算z =即可求解.
【详解】()()()()()2121313
12111222
i i i i i z i z i i i i ++++-=+⇒=
===+--+，
所以2z ==.
故答案为：
2
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的求法，属于基础题.
3.已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取_______名学生. 【答案】30 【解析】 【分析】
首先算出高三年级学生人数在总学生人数中占的比例，然后将比例与抽取的学生人数相乘即可求解.
【详解】高三年级在总学生人数中占的比例：600
1
10008006004
=++，
所以高三年级需抽取人数为：1
120304
⨯=. 故答案为：30
【点睛】本题考查了分层抽样的特征，掌握分层抽样的概念以及特征是解题的关键，属于基础题.
4.如图伪代码的输出结果为_______.
【答案】15 【解析】 【分析】
分析程序语言，得出该程序运行后是计算并输出S 的值，写出运行结果即可. 【详解】该程序运行后是计算并输出：1234515S =++++=. 故答案为：15
【点睛】本题考查了程序语言的问题，考查了学生的推理能力，难度较小，属于基础题.
5.若实数x ，y 满足0110x y x y ≥⎧⎪
≥-⎨⎪+-≤⎩
，则2x y -的最小值为_______.
【答案】-1
【分析】
作出约束条件的可行域，令2z x y =-，平移直线2y x =，转化为2y x z =-截距的最大值即可求解.
【详解】作出约束条件0110x y x y ≥⎧⎪
≥-⎨⎪+-≤⎩
的可行域，如图（阴影部分）：
令2z x y =-，转化为2y x z =-截距的最大值
作出直线2y x =，平移该直线，当直线经过点A 时，直线2y x z =-的截距最大，
10x x y =⎧⎨
+-=⎩
， 解得0x =，1y =，即()0,1A ， 所以min 2011z =⨯-=-. 故答案为：-1
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的几何意义，考查了数形结合的思想，属于基础题.
6.已知{}1,1a ∈-，{}3,1,2b ∈-，则直线10ax by 不经过第二象限的概率为_______. 【答案】
1
6
【分析】
(),a b 包含的基本事件总数236n =⨯=，直线10ax
by 不经过第二象限，从而
0a ≥，0b ≤，由此利用列举法能求出直线不经过第二象限的概率.
【详解】
直线：10ax by ，若{}1,1a ∈-，{}3,1,2b ∈-，
∴(),a b 包含的基本事件总数236n =⨯=，
直线10ax by 不经过第二象限，
∴0a ≥，0b ≤，
∴满足直线10ax by 不经过第二象限的(),a b 有：()1,3-，共1种情况. ∴直线10ax by 不经过第二象限的概率为16
P =
. 故答案为：
16
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式，列举法求基本事件个数，属于基础题.
7.已知双曲线22
214x y b
-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为
_______.
【答案】【解析】 【分析】
求出抛物线的焦点()3,0F ，从而求出b ，进而求出虚轴长2b 即可. 【详解】抛物线212y x =的焦点()3,0F ，
双曲线22
214x y b -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，
2249b c ∴+==，解得b =
所以2b =
故答案为：【点睛】本题考查了双曲线、抛物线的简单几何性质，需掌握双曲线的虚轴以及双曲线、抛
物线的焦点，属于基础题. 8.已知α为锐角，且1
cos()63
π
α+
=，则cos α=_______.
【解析】 【分析】
根据同角三角函数的基本关系可得sin()63π
α+=，由cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式展开即可求解. 【详解】由α为锐角，且1
cos()63
π
α+=，
所以sin()63π
α+
==
， 所以cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+
-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1132=+
【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.
9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1633a a a =，且4a 与5a 的等差中项为2，则
5S =_______.
【答案】121 【解析】 【分析】
利用等比数列的通项公式可得2521134
1
134a q a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得181a =，1
3q =，再利用等比数列的前n 项和公式即可求解.
【详解】由题意， 1633a a a =，且4a 与5a 的等差中项为2，
设等比数列{}n a 的公比为q ，
所以2521134
1134
a q a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得181a =，1
3q =， 所以55
181********
S ⎡⎤
⎛⎫⨯-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 故答案为：121
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.
10.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面ABCD 的中心，设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S 、2S ，则
1
2
S S =_______.
【解析】 【分析】
由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再分别求出正四棱柱与正四棱锥的侧面积即可求解. 【详解】如图，
正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，
则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为：142324S =⨯⨯=， 正四棱锥1111O A B C D -
=
∴正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为：
21
422
S =⨯⨯=
∴
123105
410S S ==. 故答案为：
310
5
【点睛】本题考查了多面体侧面积的求法，涉及正四棱柱和正四棱锥的性质特征，是基础的计算题.
11.已知曲线C ：()3
f x x x =-，直线l ：y ax a =-，则“1
4
a =-
”是“直线l 与曲线C 相切”的_______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】
由已知可得，曲线C 与直线l 均过点()1,0，若直线l 与曲线C 相切，设切点的横坐标为0x ，写出过切点的切线方程，利用待定系数法明确a 的取值，再结合充分必要性作出判断
【详解】()2
31f x x '=-，直线l ：y ax a =-过点()1,0，曲线C 也过点()1,0，
若直线l 与曲线C 相切，设切点的横坐标为0x ， 则切线为(
)
2
3
00312y x x x =--，
则2
030312x a x a ⎧-=⎨=⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩或01214x a ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以“1
4
a =-
”是“直线l 与曲线C 相切”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要
【点睛】本题考查了充要条件的判断，涉及直线与三次函数相切问题，考查了计算能力与转化能力，属于中档题. 12.已知0x >，0y >，则16y x x xy
+
+的最小值为_______.
【答案】【解析】 【分析】
由21616
y y x x x xy xy
+++=+，两次利用基本不等式即可求解.
【详解】由0x >，0y >，
21616248
y y y y x x x x x xy xy xy xy +⋅⋅++=+≥+=+≥=，
当且仅当x =4y =时取等号，
故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题.
13.已知点D 为圆O ：2
2
4x y +=的弦MN 的中点，点A 的坐标为()1,0，且1AM AN →→
⋅=，
则OA OD →→
⋅的最小值为_______. 【答案】-1 【解析】 【分析】
设(),D x y ，2
2
2
222441AM AN AD DN AD OD AD OD →
→
→→→→→→⎛
⎫⋅=-=--=+-= ⎪⎝⎭
，利用向量模
的坐标运算求出点D 的轨迹方程为2
21924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭，由OA OD x →→⋅=，根据点D 的轨迹方程即可求解.
【
详解】设(),D x y ，AM AN AD DM AD DN AD DN AD DN →→
→→→→→→→→
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅=+⋅+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
222
222441AD DN AD OD AD OD →→→→→→⎛
⎫=-=--=+-= ⎪⎝⎭，
()1,AD x y →
=-，(),OD x y →
= ，
()2
22215x y x y ∴-+++=，
即2
2
2x x y -+=，
2
21924x y ⎛
⎫∴-+= ⎪⎝
⎭，
13122
OA OD x →
→
⋅=≥
-=-.则OA OD →→
⋅的最小值为-1. 故答案为：-1
【点睛】本题考查了向量的三角形法则、向量的数量积的坐标运算，考查了转化与化归的思想，属于中档题.
14.数列{}n a 中，11a =，*
1*
1,4,4n n n n a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩
，设{}n a 的前n 项和为n S ，若1
42
n n S λ-≤⋅恒成立，则实数λ的取值范围是_______. 【答案】33
2
λ≥ 【解析】 【分析】
11a =，*1*
1,4
,4n n n n a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩
，可得: 4411n n a a -=+，41421n n a a --=+，42431n n a a --=+，
可得43424144346n n n n n a a a a a ----+++=+，414414313n n n n a a a a +--==+=+，又11a =，可得
()4311332
n a n n -=+-⨯=-，
()()412344342414n n n n n S a a a a a a a a ---=+++++++()154346n a a a n
-=+++
2
64n n =+， 由1
42
n n S λ-≤⋅恒成立，只需21
max
642n n n λ-⎧⎫
+≥⎨⎬⎩⎭即可，通过作差可得其单调性，即可得出最大值.
【详解】由11a =，*
1*1,4
,4n n n
n a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩
，
可得: 4411n n a a -=+，41421n n a a --=+，42431n n a a --=+， 所以43424144346n n n n n a a a a a ----+++=+，
414414313n n n n a a a a +--==+=+，又11a =
所以()4311332n a n n -=+-⨯=-， 所以()()412344342414n n n n n S a a a a a a a a ---=++++
+++
()154346n a a a n -=+++
()
213246642
n n n n n +-=⨯+=+，
由1
42
n n S λ-≤⋅恒成立，即21642n n n λ-+≤⋅恒成立
21
max
642n n n λ-⎧⎫+∴≥⎨⎬⎩⎭， 设21
642
n n n n
c -+=， 则()()2
22116141646810
222
n n n n n
n n n n n n c c +-++++-++-=-=， 当1n =时，26810120n n -++=>，即210c c ->， 当2n =时，2681020n n -++=>，即320c c ->， 当3n =时，26810200n n -++=-<，即430c c -<， 由二次函数的性质可知当4n ≥时，10n n C C +-<
可得345n c c c c >>>>，且123c c c <<，
所以{}3max 332
n c c ==
， 332
λ∴≥
. 故答案为：332
λ≥
【点睛】本题考查了数列的恒成立问题、等差数列的前n 项和公式，数列的单调性，考查了转化与划归的思想，属于难题.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.在ABC 中，已知2cos S bc A =，其中S 为ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，
C 的对边.
（1）求角A 的值；
（2）若6
tan 5B =，求sin 2C 的值. 【答案】（1）4A π=.（2）11
61
【解析】 【分析】
（1）利用三角形的面积公式化简可得sin cos A A =，从而可得tan 1A =，即可求得A 的值.
（2）利用两角和的正切公式可得tan()tan 114A B B π⎛⎫
+=+=- ⎪⎝⎭
，再有A B C π++=，求
出()tan tan 11C A B =-+=，再利用二倍角公式sin 22sin cos C C C =，利用弦化切齐次式即可求解.
【详解】解：（1）因为2cos S bc A =，所以12sin cos 2
bc A bc A ⨯=， 则sin cos A A =，
因为在ABC 中，()0,A π∈，所以sin cos 0A A =>， 所以tan 1A =， 所以4
A π
=
.
（2）由（1）知4
A π
=
，又因为6tan 5
B =
，
所以
6
1
1tan5 tan()tan
11
6
41tan1
5
B
A B B
B
π+
+
⎛⎫
+=+===-
⎪-
⎝⎭-
，
因为在ABC中，A B Cπ
++=，所以()
tan tan11
C A B
=-+=，
所以
22
2sin cos
sin22sin cos
sin cos
C C
C C C
C C
==
+22
2tan2112211
1tan11112261
C
C
⨯
====
++
.
【点睛】本题考查了三角形的面积公式、两角和的正切公式、二倍角公式以及齐次式求三角函数值，属于基础题.
16.如图，三棱柱111
ABC A B C
-中，
1
BC B C
=，O为四边形
11
ACC A对角线交点，F为棱
1
BB 的中点，且AF⊥平面11
BCC B.
（1）证明：//
OF平面ABC；
（2）证明：四边形11
ACC A为矩形.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）取AC中点D，连结,
OD BD，由题意
111
////
BB CC AA且
11
BB AA
=，证出//
OD BF，且OD BF
=，进而可得//
OF BD，利用线面平行的判定定理即可证出.
（2）首先证出1
CF BB
⊥，利用线面垂直的性质定理证出
1
AF BB
⊥，再利用线面垂直的判定定理证出1
BB⊥平面AFC，从而可证出
1
BB AC
⊥，根据
11
//
BB CC，即证
1
AC CC
⊥. 【详解】证明：（1）取AC中点D，连结,
OD BD.
在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形，
111////BB CC AA 且11BB AA =.
因为O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点，所以O 为1A C 中点， 又D 为AC 中点，所以1//OD AA ，且11
2
OD AA =
. 又11//BB AA ，11BB AA =，所以1//OD BB ，且11
2
OD BB =.
又F 为1BB 中点，所以//OD BF ，且OD BF =， 所以ODBF 为平行四边形， 所以//OF BD ，
又因为BD ⊂平面ABC ，OF ⊄平面ABC ， 所以//OF 平面ABC ：
（2）因为1BC B C =，F 为1BB 中点，所以1CF BB ⊥，
又因为AF ⊥平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以1AF BB ⊥.
因为1CF BB ⊥，1AF BB ⊥，CF ⊂平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，CF AF F ⋂=， 所以1BB ⊥平面AFC .
又AC ⊂平面AFC ，所以1BB AC ⊥， 又由（1）知11//BB CC ，所以1AC CC ⊥，
在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形， 所以四边形11ACC A 为矩形.
【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理以及性质定理，属于基础题. 17.某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成，考
虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①三根细钢管长均为1米（粗细忽略不计），且与地面所成的角均为6
3π
πθθ⎛⎫≤≤
⎪⎝⎭；②架面与架底平行，且架面三角形ABC 与
架底三角形111A B C 均为等边三角形；③三根细钢管相交处的节点O 分三根细钢管上、下两段之比均为2:3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形111A B C 的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”.
（1）当3
πθ=
时，求“支架高度”；
（2）求“支架需要空间”的最大值. 【答案】（1）3
2
米.（2）950立方米.
【解析】 【分析】
（1）根据题意1AA 与地面所成的角为
3π，11AA =米，从而3
1sin 3h π=⨯=. （2）过O 作1OO ⊥平面111A B C ，垂足为1O ，且1111113
cos 5
O A O C O B θ===
，表示出111
A B C △S ，进而2273sin V θθ=⋅，,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin t θ=，利用导数即可求解. 【详解】解：（1）因为架面与架底平行，且1AA 与地面所成的角为3
π
，11AA =米， 所以“支架高度”3
1sin
3
h π
=⨯=
（米）. （2）过O 作1OO ⊥平面111A B C ，垂足为1O .
又11O A ⊂平面111A B C ，所以111OO O A ⊥， 又1AA 与地面所成的角为θ，所以113
cos 5
O A θ=， 同理11113
cos 5
O C O B θ==
， 所以1O 为等边三角形111A B C 外心，也为其重心，
所以11113333
cos 3cos 255
3B C AO θθ=⋅
⋅=⨯=， 111
2
2
333273cos cos A B C S θθ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
△， 记“支架需要空间”为V ，则2273cos sin V θθ=⋅，,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 令sin t θ=，则13,2t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
所以()()23
2732731V t t t t =-=-，13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. 又()2
22738131'131001003V t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭8133310033t t ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 则当13,23t ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时，'0V >，V 单调递增；当33,32t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，'0V <，V 单调递减. 所以当3
3
t =
时，3
max 27333273329
350V ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
（立方米）.
答：（1）当3
πθ=
时，“支架高度”为
3
米； （2）“支架需要空间”的最大值为
9
50
立方米. 【点睛】本题考查了导数在研究函数最值中的应用，解题的关键是列出函数表达式，考查了分析解题的能力，属于中档题.
18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：()22
2210x y a b a b +=>>过点21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，且椭圆的离心率为
2
2
，直线l ：y x t =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C 、D 两点.
（1）求椭圆E 的标准方程； （2）求线段CD 长的最大值； （3）求AC AD →
→
⋅的值.
【答案】（1）2
212x y +=（2）max 433
CD =
（3）0 【解析】 【分析】
（1）由离心率2222c
a b e a
a -==
=，解得222a b =，再将点21,2⎛ ⎝⎭
代入椭圆方程，可得
2211
12a b
+=，解出a 、b 即可求解. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出AB 的中点(),M M M x y ，求出直线CD 的方程为1
3
y x t =--，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.
（3）利用向量数量积的坐标运算，结合（2），利用韦达定理即可求解.
【详解】解：（1）设椭圆E 的焦距为()20c c >，
则2
c e a a ==
=
，可知222a b =. 又因为椭圆E
过点1,2⎛ ⎝⎭
，所以2211
12a b +=， 解得2
2a =，2
1b =，所以椭圆的标准方程为2
212
x y +=.
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，
由22
22
y x t x y =+⎧⎨+=⎩得2234220x tx t ++-=， 又直线l ：y x t =+与椭圆E 相交于A ，B 两点，
所以122
1243223x x t t x x ⎧
+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，且()22
(4)43220t t ∆=-⨯⨯->
，则t <<设AB 的中点(),M M M x y ，则12223M x x x t +=
=-，1
3M M y x t t =+=， 所以AB 的中垂线的方程为13y x t =--，即直线CD 的方程为1
3
y x t =--，
由221322y x t x y ⎧=--⎪
⎨⎪+=⎩得2227122180x tx t ++-=，则342
34
4921827x x t t x x ⎧
+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
， 所以
CD =
=
==
又(t ∈，所以当0t
=
时，max CD =
=（3）由（2）知，()()31314141,,AC AD x x y y x x y y →
→
⋅=--⋅--
()()()()31413141x x x x y y y y =--+--
()()314131414433x x x x x x t x x t ⎛
⎫⎛⎫=--+------ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
()()22234341134134114816339x x x x x x x x x t x x x tx t ⎛
⎫=-+++++++++ ⎪⎝
⎭
()223434114816
22339
x x t x x x tx t =+++++，
由（2）知34
2342
21149
2182734220x x t t x x x tx t ⎧+=-⎪⎪
-⎪
=⎨⎪++-=⎪⎪⎩
，
所以()()223434114216234339
AC AD x x t x x x tx t →
→
⋅=+
++++ ()22221844216
222273939t t t t t -⎛⎫=⨯+⨯-+-+ ⎪⎝⎭
2
4163648027272727t ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭
. 【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及向量的数量积的坐标表示，考查了学生的计算能力，属于难题. 19.已知函数()()1f x a x a R x ⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
，()ln g x x =. （1）当1a =吋，解不等式()()0f x g x -≤； （2）设()()()u x xf x g x =-.
①当0a <时，若存在()(),0,m n m n ∈+∞≠，使得()()0u m u n +=，证明：1mn <； ②当0a >时，讨论()u x 的零点个数. 【答案】（1）(]0,1（2）①见解析②见解析 【解析】 【分析】
（1）将1a =代入，不妨设()()()1
ln h x f x g x x x x
=-=-
-，利用导数判断函数单调递增，
由()10h =，即可求解.
（2）①由()()0u m u n +=，代入解析式整理可得()
2
2
2ln ln 0a m n m n +---=，由0a <，
利用基本不等式可得(
)
22
2ln ln 0(22)ln()a m n m n a mn mn +---=≤--，方法一：设
mn t =，利用导数即可证出；方法二：利用反证法，假设1mn ≥，找出
()()22ln 0a mn mn --≤，与已知矛盾即可. ②()()()()21ln u x xf x g x a x x =-=--，
求导函数2121'()2ax u x ax x x
-=-=，求出函数的单调区间以及最值，且()10u =
，讨论
1=
1<
1>即可得出零点个数. 【详解】解：（1）设()()()1
ln h x f x g x x x x
=-=-
-， 则()2
2
222
131114'210
x h x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭+-===>， 所以()h x 在()0,∞+上递增，又()10h =，所以01x <≤， 所以()()0f x g x -≤的解集为(]0,1.
（2）①证明：由()()0u m u n +=得()()
2
2
1ln 1ln 0a m m a n n --+--=，
即(
)
22
2ln ln 0a m n m n +---=，又0a <，
所以(
)
22
2ln ln 0(22)ln()a m n m n a mn mn +---=≤--， 因为m n ≠，所以“=”不成立. 思路一：
设mn t =，()(22)ln (0)v t a t t t =-->，则1
'()20v t a t
=-<， 所以()v t 在()0,∞+单调递减， 又()10v =，所以1t <，即1mn <. 思路二：
假设1mn ≥，则220mn -≥，()ln 0mn ≥，所以()()22ln 0a mn mn --≤，
这与(22)ln()0a mn mn -->矛盾，故1mn <. ②()()()()
2
1ln u x xf x g x a x x =-=--，
当0a >时，2121
'()2ax u x ax x x
-=-=，
令()'0u x =得x =（负值舍去）.
所以当x ⎛∈ ⎝时，()'0u x <，()u x 为减函数，
当x ⎫
∈+∞⎪⎪⎭
时，()'0u x >，()u x 为增函数.
又()10u =.
1︒
1=，即12a =时，()u x 有一个零点.
2︒
1<，即12a >时，由()10u =可知(1)0u u <=， 又()0a
u e
->，且1a
e
-<，
所以，()u x 在()0,1有一个零点，故此时()u x 有两个零点；
31>，即102a <<时，由()10u =可知(1)0u u <=，
令()()ln 1x x x ϕ=--，则()11'1x
x x x
ϕ-=
-=， 所以当()0,1x ∈时，()'0x ϕ>，()x ϕ单调递增；
当()1,x ∈+∞时，()'0x ϕ<，()x ϕ单调递减，所以()()max 10x ϕϕ==， 故ln 1x x ≤-，则()ln 1x x -≥--. 所以()()
()2
11u x a x x >---，所以110u a ⎛⎫
->
⎪⎝⎭
，且111a ->，
所以，()u x 在()1,+∞有一个零点，故此时()u x 有两个零点.
综上，当1
2a =
时，()u x 有1个零点； 当0a >且1
2
a ≠时，()u x 有2个零点.
【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用、导数在研究函数零点中的应用，考查了分类讨论的思想，属于难题.
20.对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中(
)*
1n n n a a a n N +∆=-∈，
规定{}
2
n a ∆为{}n a 的二阶差分数列，其中(
)2
*
1n n n a a a n N
+∆=∆-∆∈.
（1）数列{}n a 的通项公式()2
*
n a n n =∈N ，试判断{}n a ∆，{}2
n
a ∆是否为等差数列，请说
明理由？
（2）数列{}n b 是公比为q
正项等比数列，且2q ≥，对于任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，
使得2
n m b b ∆=，求q 所有可能的取值构成的集合；
（3）各项均为正数的数列{}n c 的前n 项和为n S ，且2
0n c ∆=，对满足2m n k +=，m n ≠的
任意正整数m 、n 、k ，都有m n c c ≠，且不等式m n k S S tS +>恒成立，求实数t 的最大值. 【答案】（1）{}n a ∆，{}
2
n a ∆是等差数列，见解析（2）⎧⎪
⎨⎪⎪⎩⎭
；
（3）2 【解析】 【分析】
（1）根据题干中的定义，结合等差数列的定义即可判断. （2）根据等比数列的通项公式可得11n n b b q -=，结合题干可得111
11112n n n m b q b q b q b q +---+=，
从而可得2
(1)m n
q q --=，且0m n -≥；分类讨论0-=m n 、1m n -=或2m n -≥即可求
出q .
（3）根据题中对数列的定义可得2n c ∆2120n n n c c c ++=-+=，从而可得211n n n n c c c c +++-=-，
即{}n c 是等差数列，根据数列为正项等差数列可得0d >，代入等差数列前n 项和公式，由
222
()24
m n m n ++>
，可得m n k S S tS +>，当2t ≤时，不等式m n k S S tS +>都成立；当2t >时，令1m k =+，()
*
1,2n k k N k =-∈≥，代入等差数列的前n 项和公式，作差
()()21(2)2k m n d tS S S t d k k t c k d ⎛⎫
-+=--+-- ⎪⎝⎭
，由02d t d ->，20k k -≥，即可求解.
【详解】解：（1）因为2n a n =，所以22
1(1)21n n n a a a n n n +∆=-=+-=+，
则12n n a a +∆-∆=，又13a ∆=，所以{}n a ∆是首项为3，公差为2的等差数列.
因为2
12n n n a a a +∆=∆-∆=，则{
}
2
n a ∆是首项为2，公差为0的等差数列.
（2）因为数列{}n b 是公比为q 的正项等比数列，所以11n n
b b q -=.
又()2
1211212n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b ++++++∆=∆-∆=---=-+，
且对任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得2
n m b b ∆=，
所以对任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得1
1111112n n n m b q b q b q b q +---+=，
即2
(1)m n
q q
--=，因为2q ≥，所以0m n -≥.
1︒ 若0-=m n ，则2
211q q -+=，解得0q =（舍）或2q
，
即当2q
时，对任意的*n N ∈，都有2n n b b ∆=.
2︒ 若1m n -=，则2
310q q -+=，解得32q =
（舍）或32
q +=，
即当32
q +=
时，对任意的*n N ∈，都有2
1n n b b +∆=. 3若2m n -≥，则22(1)m n
q
q q -≥>-， 故对任意的*n N ∈，不存在*m N ∈，使得2
n m b b ∆=.
综上所述，q 所有可能的取值构成的集合为32,2
⎧+⎪⎨⎪⎪⎩
⎭
；
（3）因为2
0n c ∆=，所以()21211n n n n n n n c c c c c c c ++++∆=∆-∆=---2120n n n c c c ++=-+=，
则211n n n n c c c c +++-=-，所以{}n c 是等差数列. 设{}n c 的公差为d ，则()11n c c n d =+-. 若0d =，则m n c c =；
若0d <，则当1
1c n d
>-
时，0n c <， 与数列{}n c 的各项均为正数矛盾，故0d >. 由等差数列前n 项和公式可得2122n d d S n c n ⎛⎫
=
+- ⎪⎝
⎭， 所以22112222n m d d d d S S n c n m c m ⎛⎫⎛⎫+=
+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221()22d d n m c m n ⎛
⎫=++-+ ⎪⎝
⎭， 2
12222k d m n d m n S c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
又m n ≠，222
()24
m n m n ++>
， 所以()22
1()22n m d d S S n m c m n ⎛⎫+=++-+ ⎪⎝⎭21()()2222k d m n d c m n S +⎛⎫>⋅
+-+= ⎪⎝
⎭， 则当2t ≤时，不等式m n k S S tS +>都成立.
另一方面，当2t >时，令1m k =+，(
)
*
1,2n k k N k =-∈≥， 则()()22111222m n d d S S k k c k ⎛⎫⎡⎤+=
++-+-⨯ ⎪⎣⎦⎝⎭()2122222d d k k c ⎛
⎫=++- ⎪⎝
⎭， 2122k d d S k c k ⎛⎫
=
+- ⎪⎝
⎭， 则()()22112222222k m n d d d d tS S S tk c tk k k c ⎛⎫⎛
⎫-+=
+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ()21(2)2d t d k k t c k d ⎛⎫
=--+-- ⎪⎝⎭
， 因为
02
d
t d ->，20k k -≥， 所以当1
(2)d
k t c >
-时，()0k n m tS S S -+>，即m n k S S tS +<.不满足任意性.
所以2t ≤ .
综上，t 的最大值为2.
【点睛】本题考查了数列的新定义、等差数列的定义以及等差数列的前n 项和公式，属于难题.
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21.已知矩阵22a M b ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，1223N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且1001MN ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
. （1）求矩阵M ；
（2）直线l 在矩阵M 对应的变换作用下变为直线30x y +=，求直线l 的方程.
【答案】（1）3221M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
（2）30x y -=.
【解析】 【分析】
（1）利用待定系数或公式即可求解.
（2）设直线l 上任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下变为()','x y ，代入直线即可求解. 【详解】解：（1）用待定系数或公式42622212102014323a a a MN b b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢
⎥⎢⎥⎢+++⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎣⎦
， 解得3a =-，1b =-，可求得3221M -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
；
（2）设直线l 上任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下变为()','x y ，
即3232'212'x x y x y x y y --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
在30x y +=上，
则32630x y x y -++-=，即30x y -=，所以直线l 的方程为30x y -=. 【点睛】本题考查了矩阵的变换，需掌握矩阵的运算公式，属于基础题.
22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为313x t y t
=⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x
轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：)4
π
ρθ=-，求直线l 被曲线C 截得
的弦长.
【解析】 【分析】
将直线的参数方程消去参数t 化为普通方程，将圆的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线
的距离公式求出圆心到直线的距离，然后根据勾股定理即可求解. 【详解】解：把直线方程l ：313x t
y t
=⎧⎨
=-⎩化为普通方程为1x y +=.
圆2sin 2cos 4πρθρθθ⎛⎫
=-
⇒=- ⎪⎝
⎭
， 即2
2sin 2cos ρρθρθ=-，
化为普通方程为2
2
220x x y y ++-=， 即()()2
2112x y ++-=，
圆心C 到直线l 的距离
d =
=
所以直线l 被圆C 截得的弦长为=.
【点睛】本题考查了直线参数方程化为普通方程、曲线的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相交几何法求弦长，属于基础题.
23.某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元（m 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励1002200⨯=元）. （1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率； （2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X 概率分布与期望()E X .
【答案】（1）3
5
（2）见解析，期望是150元. 【解析】 【分析】
（1）首先利用排列求出摸三次的总的基本事件个数：3
1560n A ==；然后利用分步计数原理
求出个位的排法、十位百位的排法求出三位数是奇数的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.
（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，求出各个随机变量的分布列，
利用均值公式即可求解.
【详解】解：（1）因为总的基本事件个数3
1560n A ==，摸到三位数是奇数的事件数
12
23436n A A ==，所以1363
605P =
=； 所以摸到三位数是奇数的概率3
5
.
（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，
3(50)5P X ==，1321(100)6010P X ⨯⨯===，1311(200)6020P X ⨯⨯===，
1321(300)6010P X ⨯⨯===，1311(400)6020P X ⨯⨯===，1321
(500)6010
P X ⨯⨯===，
获奖金额X 的概率分布为
均值311111
()5010020030040050015051020102010
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. 所以期望是150元.
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题.
24.（1）证明：
()1*
111,11
k k n n C C n N k N k n ++=∈∈++； （2）计算：00112220202020
2020202020202020111(1)(1)(1)(1)232021
C C C C -+-+-++-；
（3）计算：
2020
20200
2(1)2
k k
k C k =-+∑. 【答案】（1）见解析（2）12021（3）1
2043231
【解析】 【分析】
（1）利用组合数的运算即可求证.
（2）利用组合数的运算与性质即可证出. （3）方法一：设0
2
(1)2
n
k k
n n k a C k ==
-+∑，可得()
1
1
111
22
1(1)(1)22
n k k k n n n n k a C C k n ----==+-++-++∑，再利用组合数的运算性质即可求解；方法二：
2020
2020
2020
022020!2(1)
(1)(1)2!(2020)!(2)(1)
k
k
k k k k C
k k k k k ==+-=-⋅⋅+-++∑∑，根据组合数的运算即可求解.
【详解】解：（1）
1
111!1(1)!111!()!1(1)!()!1
k k n n n n C C k k k n k n k n k n +++=⋅=⋅=++-++-+； （2）0
1
122
2020
2020
2020202020202020111(1)(1)
(1)(1)23
2021
C C C C -+-+-++- 2020
20201
20202021
00
111(1)(1)120212021k
k k k k k C C k +===-=-=+∑∑. （3）设0
2
(1)2
n
k
k
n n
k a C
k ==
-+∑， 则()
1
1111
221(1)(1)22
n k k k n n n n k a C C k n ----==+
-++-++∑ 1
11
11
122(1)(1)22
n
n k
k k k
n n n n k k k a C
a C k n k ----===+-=+-++∑∑ ()11
00
222(1)(1)02n n
k k k k
n n n n n k k a C C a a n k n --==⎧⎫=+---=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑. 所以121
221
n n n n n n n a a a a n n n ---=
⇒=⋅+++1(1)32(2)(1)54n n a n n -⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅=
++⋅⋅⋅⋅， 又113a =，所以2
!2!1(2)!n n
n n a n C +==+. 所以
2020
2020
2020202020
20222022
211
(1)2k
k
k C
a k C C =-===+∑ 11101120212043231
=
=⨯.（结果没化简，不扣分）
方法二：
2020
2020
2020
022020!2(1)
(1)(1)2!(2020)!(2)(1)
k k
k k k k C
k k k k k ==+-=-⋅⋅+-++∑∑ 2020
2022!2(1)
(1)(2)!(2020)!20222021
k k k k k =+=-⋅
⋅+-⨯∑
2020
2
202202(1)(1)20222021k k k k C +==⋅-⋅+⋅⨯∑ 2020
2
20220
2(1)(21)20222021k k k k C +==⋅-⋅+-⋅⨯∑ 20202020
2220222022
002(1)(2)(1)20222021k k k k k k k C C ++==⎡⎤=⋅-⋅+⋅--⋅⎢⎥⨯⎣⎦∑∑ 20202020
12220212022002(1)2022(1)20222021k k k k k k C C +++==⎡⎤=⋅-⋅⋅--⋅⎢⎥⨯⎣⎦
∑∑ ()20201120221
120212022022022(1)(11)1(1)20222021k k k C C ++=⎡⎤=⋅--⋅-----⎢⎥⨯⎣⎦
∑ ()2021
22022(11)11202220222021⎡⎤=
⋅-⋅--+-⎣⎦⨯ 21120222021101120212043231
===⨯⨯. 【点睛】本题考查了组合数的运算与性质，掌握组合数的运算性质是解题的关键，属于难题.。