高考数学(文通用)一轮复习课件：第三章第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三章三角函数、解三角形
第3讲两角和与差的正弦、余弦和正
切公式
教材回顾▼夯实基础
知谋梳理〉
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
cos acos 0土sinasin B
cos(aT B )= _________________
tan a土tan B
1+tan atan B
(a±0, a , 0均不为佥兀+于，kE： Z 课本温故追根求源
sin(a±/?)=
sin acos “土cos asin p tan(m±Q=
2.二倍角的正弦、余弦、
• a2sin acos a sm 2 a = cos 2 a = cos%—si，疣
2tan a
tan 2“a,
正切公式
2a—1 2cos1
Tl
\
2 a均不为E兀+
亍,kWZ、
1—2sin2a
3. 三角公式关系
令0 = a 「 以-0代0
C 2a ------------------- 匕十） -----------
两式相除
两式相除
两式相除
T(a + B)v 利用cos 任±0 利用cos 任土 a) 令 0二a I ^2a 3(a + 0) v 以-仔代0
7T 利用 cos(—±a a S(a_Q) T （—p ）
£要点整食7
1.辨明两个易误点
(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错.
、伍
(2)在(0,兀)范围内，sin(d+")=专所对应的角不是唯
一的.
2・有关公式的逆用及变形用
(l)tan a 土 tan B = tan(a±/?)(1+tan a tan 0)； (3)1+ sin 2 a = (sin a +cos a )2, 1—sin 2 a =(sin a — cos
a )2, sin a 土 cos a ⑵ cos? 1 + cos 2 a 2
sin 2 1 —cos 2 a
3.角的变换技巧
a =(a+fl)_ 卩;
a =卩_ a);
a =^[(«+^)+ (a—fi)]；0=扌仗+沟_@_创；JI JI A JI A
3
★暉自测
卩
a 解析：因为sin —
2
=1
1.若 sin
贝！)cos a=( C
D
i
=申,所以COS
a
—= 1— 2
■
2X
3
2. (2015•高考全国卷 I )sin 20° cos 10°
解析：sin 20° cos 10° —cos 160° sin 10° =sin 20° cos
c.
—cos 160° sin 10°
10° + cos 20° sin 10° = sin(20°
+ 10° )=sin 30° =|.
（a ）¥
卵冰"+〃）呵|M 'lhp+訂1
引¥=（罟一町呵昵•£
=(“+巧11引
4.已知
解析：因为
以COS X—sinx=^, 则1
1_
sin 2x=巧 —sin2r=五'所以 sin 2x=-.
所以^COS X —
—sin x= 2
JI a sin —= sin
3 JI
----- c os a
sin —,所以 tan a = l
5.已知 a +yj=sin^a
,贝i tan a = ____ ]
解析：因为 所以 cos a cos
JI
----- s in
3
典例剖析▼考点突破+
名师导悟以例说法
考点一三角函数公式的直接应用
典例対（2015•高考广东卷）已知tan a =2
⑴求tan@+£的值;
⑵求.2亠.心―的值.
sm a +sm a cos a — cos 2 a — 1
2+1 _
1-2X1 = _X
sin 2 a
a cos a —cos 2 a —1
2sin a cos a _ 2tan a
sin 2 a +sin a cos a — 2cos 2 a tan 2
a +tan a —2 2X2 4+2-2
兀
tan a+tan — JT
1—tan fftan —
⑵sii? a +sin
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用«> 0的三角函数表示Q土〃的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.
O'
2aW （0,兀），tan 2 a =|>0, ,所
以 sin 2 a =扌，cos 2 a =7
JI
JI
=sin 2 a cos —+cos 2 a sin —
_4 J 亠 3 V5_4+3 萌 一5%2十5* 2 _
10 •
腹歸训绣］1•已知
,tan a =-,求 tan 2 Q 和
sin （2 ff+yj 的值.
解：tan 2
2tan a CL —~ 5
1—tan a
2X
i 4 2 一亍
1_
©
因为圧 5’
所以2圧 所以
考点二三角函数公式的活用(高频考点)
三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，在解答题中考查三角函数的性质和解三角形时也应用三角函数公式.高考对三角函数公式的考查主要有以下三个命题角度:
(1)应用正切公式的变形;
(2)降幕公式的应用;
(3)二倍角公式的逆用.
\/3tan 12° —3 sin
12° (4COS 2
12° —2)
(1)(2015-高考重庆卷)若
tan 兀
a = 2tan —,
5
A. 1
C. 3
B. 2 D. 4 (2)求值:
［解］⑴选C ・因为cos （ a
—脅）
JI JI
sin a cos —+cos a sin —
JI
兀
sin a cos ——cos a sin —
I
JI JI
cos
l a +
T~2
f JI =sinl a
+—
tan a +ta
又因为tan
兀
a =2tan —,
兀 兀
2tan ----- t an —
5 5
tan
兀
所以原式= JI JI 2tan —+tair^-
厂sin 12°
V3X--------- -3
—cos 12。

(_sinl2° (4COS212° -2)
书sin 12°— 3cos 12°2sin 12° cos 12°(2cos212° -1) 2\/3l —sin 12°--~cos 12° )
sin 24° cos 24°
2心sin (12° -60° ) 厶书
尹n 48。

J fl _ 7 y \ TL1 lz\ A A J KX
& M n I y-Z z 产〒r^Q^i 0« h P <Jlu tz 二\ J nf r/7 J? ryj n r^z^C77 f r
三角函数公式的应用技巧
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan a+tan = tan(a+ 妙(1—tan atan “)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向
思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.
1
2.(1)(2016-洛阳高三年级统考)已知sin 2 a =-,
J
3 JI
⑵若 a + p = — ,则(1 - tan tz )(1 - tan 0)的值是
［通关练习］
3
3
3
所以cosfa —£=彳.
3 兀 、心 tan a +tan B (2)— 1= tan --- = tan(a+〃)= --------------
4 7
1-tan fftan B 所以 tan CL tan 0 — 1= tan a+tan B • 所以 1—tan a — tan 〃 + tan a tan 0 = 2, 即(1—tan a )(1—tan 0)=2・
解析：⑴因为
1 + sin 2
Q 2
考点三角的变换
1 1 (1)(2015•高考重庆卷tan a =-, tan(a+/?)=-,
0 乙则tan 〃 = ( A )A.i
7 c£
7 B・一6 D?
(2)(2016•六盘水质检)已知cos a =
J
,则cos(a —/?)的值等于(D )
B ・_ 2
D.至 27
=丄,cos(a+/?)=—
且 «>
c
- -3
小丄严 c c tan （。

+〃）—tan a
［解析］⑴tan 0=伽［依+“）—刃=1+仙（Q+“）忑口’1_1
I~1
1+2X3
（°，T，所以2aG（0，31）•
1 7
cos a =-, 所以cos 2 a =2cos2a —1=—^因为
所以 sin 2 a =z \/l —cos 2
2 a
所以 sin(a+p)=yl — cos 2
(m+〃) 所以 cos(a —0)=cos[2a —(«+〃)] = cos 2acos(a+/?)+siii 2 asin(a+〃)
£)0+晋 g
而a 9
兀\
所以a+阻（0,
JI ),
4\/2
2^2
~ 3，
Q互动探究若本例(2)条件不变，求cos 20的值.
1 1
_亍cos(a+/?)=--, 所以
<z+“W(0, n ),
半,sin(<z+Q=晋, cos B = cos[(a+a]=cos(a+“)cos
1 1 2\li 2\l
2 7且偽0曰0,
a +sin(a+/?)siii
解：因为cos a =
所以sin a =
所以cos 2 0 = 2cos2B — 1= 2 X g)-
3 3 3 3 9
所以cos 2 0 = 2cos2B — 1= 2 X g)-
角的变换技巧
(1)当“已知角”有两个时, 般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式;
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已
知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角” 成“已知角”.
跟踪训练3•⑴(2016•广东省佛山一中质检)已知Ovzv斗,
—qv0vO, sin 0 =—乜，cos(a—/?) = -,贝!| sin
33
—65—-
(2)设a为锐角，若cos( a则sin(2 a +岗的值为17^2
50
12 4
解析：⑴由题意得cos =—, sin（a—/?）=-,则sin a =
B + cos（m—〃）sin sin［（m—〃）+〃］=sin（a—Q・cos
+1（站
⑵因为必为锐角，COS(Q+N■丿
3
a
所以sin
一
5‘
a+■
闌1能训练▼轻松闯关*
［学生用书
4
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闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能本部分内容讲解结束。