专题09圆锥曲线-2021年新高考数学尖子生培优题

2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）
专题09 圆锥曲线
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、单选题
1．椭圆22
154
x y +=的长轴长是（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ．10
【答案】C
【解析】因为椭圆的方程是22
154
x y +=
， 所以25a =，
解得a =，
所以长轴长是2a =
2．双曲线22
22
1124x y m m
−=+−的焦距是（ ）
A ．4
B ．
C ．8
D ．
【答案】C
【解析】由题意可得，c 2�a 2+b 2�m 2+12+4�m 2�16 �c ＝4 焦距2c �8 3．抛物线2
14
y x =
的焦点坐标是（ ）
A ．1,016
B ．()1,0
C ．1-
,016
D ．()0,1
【答案】D 【解析】2
14
y x =
即24x y =，所以其焦点在y 轴正半轴，坐标为()0,1 4．抛物线2
1
2
x y =
的准线方程为（ ） A ．18y =− B ．18
y =
C ．1
2
x =−
D ．12
x =
【答案】A
【解析】解：由于抛物线22x py =的准线方程为2
p y =−
， 则有抛物线2
12x y =
的准线方程是18
y =−． 5．已知12F F 、是双曲线22
22:1x y E a b
−=的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点
,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）．
A B ．2
C ．1+
D ．2+
【答案】C
【解析】由题意得222222210,11b c c a ac e e e e a
=⇒−=⇒−−=>⇒=
6．焦点在x 轴上的椭圆22
2125
x y a +=
焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF 的周长为（ ）
A ．20
B ．28
C ．
D ．
【答案】D
【解析】解：因为焦点在x 轴上的椭圆22
2125
x y a += 焦距为8，所以22254a −=
，解得a =
如图，根据椭圆的定义可得122AF AF a +=
，122BF BF a +=
，所以22211224ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++== 故选：D
7．抛物线24y x =的焦点到双曲线221x y −=的渐近线的距离为（ ）
A ．
1
2
B
C
D ．2
【答案】B
【解析】因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为0x y ±=
，
所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d
8．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点（设点A 在第一象限），分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B ，若1AFA 为等边三角形，1BFB 的面积为1S ，四边形11A B BF 的面积
为2S ，则1
2
S S =（ ）
A ．
13
B ．
14
C ．
16
D ．
17
【答案】D
【解析】由条件可得1160AFx AFA A FO °∠=∠=∠=，1130BFB OFB °
∠=∠=，直线AB
的方程为2p y
x − ，与22y px =联立，消去y ，整理得22
33504
p x px −+=，解得6p x =或32p x =
，故3,,26
p p
A B ，则1|2|||623p p p BF BB ==+=
，则1BFB
的面积为11262p p S =×+ 11A B BF
的面积为
2S p p
=+−⋅=
，故1217S S =．
二、多选题
9．已知抛物线
()2
20y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3
和p 的值可以是( ) A ．2 B ．6
C ．4
D ．8
【答案】AC
【解析】设M 的横坐标为x ，由题意，32
p
x +
=，28px =，解得2p =或4p =. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22
1412
x y −=，则（ ）
A ．实轴长为2 B
．渐近线方程为y =
C ．离心率为2
D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
【答案】BC
【解析】由双曲线方程22
1412
x y −=，得2a =
，b =
4c =
=，
所以实轴长24a =，故选项A 错误；
渐近线方程为b y x a
=±，故选项B 正确； 离心率2c
e
a
==，故选项C 正确； 准线方程2
1a x c
=±=±，取其中一条准线1x =，
y =与1x =
的交点(A ，
点A
到直线y =的距离
d
D 错误.
11．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则（ ）
A ．C 的准线方程为4x =−
B ．F 点的坐标为()0,4
C ．12FN = D
．三角形ONF 的面积为（O 为坐标原点）
【答案】ACD
【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限，
设抛物线的准线l 与x 轴交于点F ′，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =−，
F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF ′=，
在直角梯形ANFF ′中，中位线62
AN FF BM
′
+==，
由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==，
故6612FN FM NM =+=+=
，ON =
，1
42
QNF S =
×=△.
12．已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C
C ．若mn <0，则C
是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD
【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22
1
11
x y m n
+=， 因为0m n >>，所以
11m n
<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；
对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=
可化为22
1
x y n
+=， 此时曲线C
的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22
1
11
x y m n
+=， 此时曲线C 表示双曲线，
由220mx ny +=
可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21
y n
=
，
y =，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；
三、填空题
13．双曲线2
2
13
x y −=的焦距长为_______．
【答案】4
【解析】1,a b
==，222c a b =+ ，2c ∴=
，焦距长24c
=.
14．以双曲线22
145x y −=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．
【答案】22
195
x y +=
【解析】由双曲线的相关性质可知，双曲线22
:145
x y C -=的焦点为(3,0)±，顶点为(20)±,，
所以椭圆的顶点为(3,0)±，焦点为(20)±,，
因为2
2
2
5b a c =-=，所以椭圆的方程为22
195
x y +=
15．已知抛物线
()2
20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，C ：()(2
2
16x a y −+−=过点F 且与l
相切，则p =______. 【答案】2或6
【解析】解：02p F
，在()(2
216x a y −+−=上
所以(2
2
0162p a −+−=
，即
22
p
a −=（1）， ()(2
2
16x a y −+−=和与l 相切，42
p
a +
=（2）， 由（1）（2）得，所以2p =或6p =
16．如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ､1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =______；椭圆E 的离心率e =______.
1 【解析】连接2PF ，由于l 是圆2F 的切线，所以12PF PF ⊥.
在12Rt PF F 中，212
PF OF OF c ===， 所以21212PF F F =
，所以126PF F π∠=，所以直线l
的斜率6tan π
k =
=
. 1PF =，
根据椭圆的定义可知12
12
212F F c c
e
a a
PF PF ====
−+.
四、解答题
17．求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆2
212x y +=
有相同的焦点，且经过点3(1,)2
（2
）经过(2,(A B 两点 【解析】（1）椭圆2
212
x y +=
的焦点坐标为(1,0)±，
∵椭圆过点3(1,)2
，
∴24a =
=，
∴2,a b ==，
∴椭圆的标准方程为22
143
x y +=.
（2）设所求的椭圆方程为22
1(0,0,)x y m n m n m n
+=>>≠．
把(2,(A B 两点代入， 得：1
4
213
241m
n
m n
+=
+= ，解得
81m n ==，， ∴椭圆方程为2
218
x y +=．
18．已知双曲线22
221(0,0)y x a b a b
−=>>
的一个焦点在直线:3120l y ++=上，且其一条渐近线与直
线l 平行，求该双曲线的方程.
【解析】依题意得，双曲线的焦点在y 轴上，又直线l 与y 轴的交点为(0,4)−，所以双曲线的一个焦点坐标为(0,4)−
，即4c =
=.
又因为直线l
的斜率为
a b =224,12a b ==， 故双曲线的方程为22
1412
y x −=.
19．已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为1x =−. （Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）直线:1l y x =−交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB .
【解析】（Ⅰ）依已知得12
p =，所以2p =； （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x =− =
消去y ，得2610x x −+=， 则126x x +=
，121x x =，
所以AB =
8=
. 20．已知双曲线()22
22
:10,0x y C a b a b −=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，且经过点(2,3)． （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程和其渐近线方程； （Ⅱ）设直线l 经过点(0,1)−，且斜率为k ．求直线l 与双曲线C 有两个公共点时k 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由已知，双曲线的焦点为(2,0)−和(2,0)
根据定义有：221a a −⇒= 故21a =，24c =，23b =，
从而所求双曲线C 的方程为2
2
13y x −=
其渐近线方程为：y =.
（Ⅱ）由22133y kx x y =− −= 得：()
223240k x kx −+−=
当230k −≠，即k ≠时，
若>0∆，即()()22244(4)31240k k k ∆=−−−=−>
24022k k ⇒−>⇒−<<时， 直线与双曲线相交，有两个公共点；
所以，当22k −<<，且k ≠时，直线与双曲线有两个公共点．
21．已知椭圆M ：22
219x y b
+=（0b >）的一个焦点为()2,0，设椭圆N 的焦点恰为椭圆M 短轴上的顶
点，且椭圆N 过点． （1）求N 的方程；
（2）若直线2y x =−与椭圆N 交于A ，B 两点，求AB ．
【解析】（1）由椭圆M ：22
219x y b
+=（0b >）的一个焦点为()2,0，得2c =，且222945b a c =−=−=，
∴椭圆N 的焦点为(0,，(．又椭圆N 过点，
∴椭圆N
∴椭圆N 1．
∴N 的方程为2
2
16y x +=；
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立22216y x y x =− +=
消去y ，整理得27420x x −−=， 则124
7x x +=，1227
x x =−， ∴
127AB =. 22．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =−相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C .
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？ （2）设点P 的坐标为()0,a −，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠.
【解析】（1）设(),Q x y
，由题意得y a =+，化简得24x ay =， 所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =， 它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线.
（2）不妨设()2,04t A t t a >
. 因为24x y a
=，所以2x y a ′=， 从而直线PA 的斜率为2
402t a t a t a
+=−，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.
要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=
. 设直线m 的方程为y kx a =
−，代入24x ay =并整理， 得22440x akx a −+=.
所以()221610a k ∆=−>，解得1k <−或1k >. 设()11,M x y ，()22,N x y ，
则124x x ak +=
，2124x x a =. ()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x −+−−−+=
+= ()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x −+−+==− 2
24204a ak k a ⋅=−=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠， 此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,−∞−∪+∞.。