2021届高考数学一轮练之乐：选修4-5-3几个重要不等式

2021届高考数学一轮练之乐：选修4-5-3几个重要不等式
一、选择题
1．a、b为非零实数，a＋b＝1，x1，x2∈R＋，M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)，N＝x1x2，则M和N的关系( )
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 答案：A
2．已知a、b∈R＋，且a＋b＝1，则4a＋1＋4b＋1的最大值是( ) A．26 B．23 C.6 D．12 答案：B
3．已知x，y为实数，且满足3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为( ) A．6 B.6 C．11 D.11 答案：D
4．已知x＋y＋z＝1，则μ＝2x2＋3y2＋z2的最小值为( )
6
A．1 B．6 C．11 D.
11答案：D
5．设a1、a2、…、an都是正数，b1、b2、…、bn是a1、a2、…、an的任一排列，
则a1b1－1＋a2b2－1＋…＋anbn－1的最小值是( ) A．1 B．n
C．n2 D．无法确定答案：B
6．设a、b、c为正数，且a＋2b＋3c＝13，则3a＋2b＋c的最大值为( ) 16913133A.
B. C. D.13 333
答案：C 二、填空题
7．若a1－b2＋b1－a2＝1，则a2＋b2＝__________. 答案：1
8．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案：a≥4或a≤－2
a21a22a22021
9．设a1，a2，…，a2021都为正数，且a1＋a2＋…＋a2021＝1，则＋＋…＋
2＋a12＋a22＋a2021的最小值是__________．
1
答案： 4023
三、解答题
10．求函数y＝1－x＋4＋2x的最大值．
解析：因为y2＝(1－x＋2・2＋x)2≤[12＋(2)2][1－x＋2＋x]＝3×3，∴y≤3，当且仅当12
＝时取“＝”号，即当x＝0时，ymax＝3. 1－x2＋x11．已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a＞0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．解析：由柯西不等式知：
?1?2＋?1?2?≥?x＋1×2y＋1×3z?2(当且仅当x＝4y＝9z时取等号)． [x2＋(2y)2＋(3z)2]?12＋3???2??3???2
因为x2＋4y2＋9z2＝a(a＞0)，
497a7a所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.
36667a36因为x＋y＋z的最大值是1，所以＝1，a＝，
6493694
所以当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值1，
49494936
所以a的值为.
49
11
12．已知a，b，c为实数，且a＋b＋c＝2m－2，a2＋b2＋c2＝1－m.
4911a＋b＋c?2
(1)求证：a2＋b2＋c2≥；
4914(2)求实数m的取值范围．
1?1
b2＋?c?2](12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2，即解析：(1)证明：由柯西不等式得：[a2＋??2??3?
?a2＋1b2＋1c2?・14≥(a＋b＋c)2，所以a2＋1b2＋1c2≥a＋b＋c?2，当且仅当|a|＝1|b|＝1|c|时，
49??491449
取等号．
(2)由已知得(a＋b＋c)2＝(2m－2)2，结合(1)的结论可得：14(1－m)≥(2m－2)2，即2m2＋3m
5115
－5≤0，所以－≤m≤1，又a2＋b2＋c2＝1－m≥0，所以m≤1，故m的取值范围为－≤m≤1.
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