2023年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数六模试卷及答案解析

2023年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数六模试卷
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算5﹣（﹣2）结果等于（
）A ．﹣3B ．3C ．﹣7
D ．72．（3分）下列展开图中，是正方体展开图的是（
）A ．B ．
C ．
D ．
3．（3分）计算（﹣3x ）2•2x 正确的是（
）A ．6x 3B ．12x 3C ．18x 3D ．﹣12x 3
4．（3分）如图，AB ∥CD ，CD ∥EF ，CE 平分∠BCD ，若∠ABC ＝58°，则∠CEF 的度数为（）
A ．131°
B ．141°
C ．151°
D ．161°
5．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，点E 在AC 上，EF 垂直平分AC ，交AB 于F ，BF ＝1，则EF 的长为（）
A ．4
B ．3
C ．
D ．
6．（3分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°，点D 在⊙O 上，连接CD 、DB ，CD 与AB 交于点E ，若DB ＝DE ，则∠DCB 的度数为（）
A．20°B．25°C．27°D．35°
7．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的取值范围为（）
A．﹣1＜x＜3B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣1或x＞3D．x＜﹣3或x＞1二、选择题（共6小题，每小题3分，计18分）
8．（3分）分解因式：2x3﹣18x＝．
9．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a+b0．
10．（3分）正五边形ABCDE和正方形DEFG位置如图所示，连接AF，则∠AFE的度数为________°．
11．（3分）5G是第五代移动通信技术，5G网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．请将1300000用科学记数法表示为．12．（3分）已知一次函数y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，反比函数的图象经过AB的中点，则k的值为．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD上一点，且AE＝5，过点E作EF⊥AC于F，交BC于点G，则四边形ABGF的面积为．
三、解答题(共14小题，计81分，解答应写出过程。

)
14．（4分）计算：．
15．（4分）解不等式：．
16．（4分）化简：（1﹣）．
17．（4分）如图，已知在△ABC中，∠C＞90°，CA＜AB，请用尺规作图法，在AB上确定一点D，使得∠CDB＝2∠A．（保留作图痕迹，不写作法．）
18．（4分）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB并连接BD，使∠CBD＝∠CDB，在CB上截取CE＝AB，连接DE，求证：DE＝AC．
19．（5分）如图，一个正方形纸片先剪去宽为2cm的长方形，记该长方形的面积为S1，再剪去宽为2cm的长方形，记该长方形的面积为S2，若S1＝，求原正方形纸片的面积．
20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A和点B在x轴上，且点B的坐标为（2，0），cos∠C＝，求点C的坐标．
21．（5分）一只不透明的袋子中装有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有45°、60°、120°、135°四个度数，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下度数后不放回，再搅匀后从袋子中任意摸出1个球，并记下度数．
（1）第一次摸到球上标记度数小于90°的概率是；
（2）用画树状图或列表法求两次摸到球上标记度数之和为180°的概率．
22．（6分）为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某市教育部门对友谊中学九年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了名学生，并补全上面条形统计图．
（2）本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为；众数为．（3）该校九年级有1700名学生，请你估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有多少人？
23．（7分）中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣”，如图1所示，其工作方法主要利用了光的反射原理，在图2中，AB呈水平状态，入射角∠BOC＝30°，
∠OAD＝15°（入射角等于反射角，OC、AD为法线），若AB＝10米，求光线从O
到达A经过的距离（即OA的长度）．
24．（7分）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表：
目的地甲地乙地
每吨费用（元）120200
设运往甲地的货物为x吨，全部运出的总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若该公司运出货物的总费用不超过4800元，求该公司运往甲地至少多少吨货物？
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．
26．（8分）已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AC，点P为抛物线上一点，且在y轴右侧，过点P作PQ⊥x轴于Q，若△PAQ ∽△ACO，请求出点P的坐标．
27．（10分）如图①，已知线段AB与直线l，过A、B两点，作⊙O使其与直线l相切，切点为P，易证∠APB＝∠AHB＞∠AQB，可知点P对线段AB的视角最大．
问题提出
（1）如图②，已知△ABP的外接圆为⊙O，PQ与⊙O相切于点P，交AB的延长线于点Q．
①请判断∠BPQ与∠A的大小关系，并说明理由．
②若QB＝2，AB＝6，求PQ的长．
问题解决
（2）如图③，一大型游乐场入口AB设在道路DN边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结合现实情况，相关部门准备在与地面道路DN夹角为60°的射线DM方向上（位于垂直于地面的平面内）确定一个位置C，并架设斜杆AC，在斜杆AC的中点P 处安装一摄像头，对入口AB实施监控（其中点A、B、D、P、C、M、N在同一平面内），已知DA＝40米，AB＝25米，调研发现，当∠APB最大时监控效果最好，请问在射线DM上是否存在一点C，使得∠APB达到最大？若存在，请确定点C在DM上的位置及斜杆AC的长度；若不存在，请说明理由．
2023年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数六模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．【分析】先把减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算，即可解答本题．【解答】解：5﹣（﹣2）
＝5+2
＝7，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的减法，解答本题的关键是明确有理数的减法计算方法．2．【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．
【解答】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故A选项不符合题意；
四个连成一排的小正方形可以围成前后左右四面，剩下的两面必须分在上下两面才能围成正方体，
故B选项不符合题意，D选项符合题意；
C．三个连成一排的小正方形不可能围成正方体．
故选：D．
【点评】本题主要考查正方体展开图的知识，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题的关键．
3．【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可．
【解答】解：（﹣3x）2•2x
＝9x2•2x
＝18x3．
故选：C．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．【分析】由AB∥CD，得到∠BCD＝∠ABC＝58°，由角平分线定义求出∠ECD的度数，由EF∥CD，得到∠CEF+∠ECD＝180°，即可求出∠CEF的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝58°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECD＝∠BCD＝29°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF+∠ECD＝180°，
∴∠CEF＝180°﹣29°＝151°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质．
5．【分析】根据EF垂直平分AC，得出AF＝CF＝5，在Rt△AEF中，由勾股定理解答即可．【解答】解：∵AB＝AC＝6，EF垂直平分AC，
∴AE＝CE＝AC＝3，
∵BF＝1，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣1＝5，
∴AF＝CF＝5，
在Rt△AEF中，
EF＝，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．6．【分析】由直角三角形的性质求出∠A的度数，由圆周角定理得到∠D的度数，由等腰三角形的性质求出∠DEB的度数，由三角形外角的性质即可求出∠DCB的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝50°，
∴∠D＝∠A＝50°，
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB＝×（180°﹣50）＝65°，
∵∠DEB＝∠ECB+∠EBC，
∴∠DCB＝∠DEB﹣∠EBC＝65°﹣40°＝25°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
7．【分析】根据题意求出当y＝1时对应的x的值，再根据开口方向和y＞1即可求出x的取值范围．
【解答】解：根据题意可得：当y＝1时，即x2﹣2x﹣2＝1，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∵a＝1＞0，图象开口向上，且y＞1，
∴x＜﹣1或x＞3，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，解题关键是求出y＝1时对应的x值．
二、选择题（共6小题，每小题3分，计18分）
8．【分析】先提取公因式2x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：原式＝2x（x2﹣9）
＝2x（x+3）（x﹣3），
故答案为：2x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．9．【分析】首先根据数轴判断出a、b的符号和二者绝对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”来解答即可．
【解答】解：∵a在原点左边，b在原点右边，∴a＜b，
∵a距离原点的距离比b距离原点的距离大，
∴|a|＞|b|，
则a+b＜0．
【点评】本题首先考查了根据数轴确定数轴上的点对应实数的取值范围，接着考查了实数的运算法则．
10．【分析】由正多边形的性质得AE＝DE，∠AED＝108°，EF＝DE，∠DEF＝90°，则AE＝EF，∠AEF＝162°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，四边形DEFG是正方形，
∴AE＝DE，∠AED＝×（5﹣2）×180°＝108°，EF＝DE，∠DEF＝90°，
∴AE＝EF，∠AEF＝360°﹣∠AED﹣∠DEF＝360°﹣108°﹣90°＝162°，
∴∠AFE＝∠AEF＝×（180°﹣∠AEF）＝×（180°﹣162°）＝9°，
故答案为：9．
【点评】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将数据1300000用科学记数法可表示为：1.3×106．
故答案是：1.3×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．【分析】由一次函数的解析式可得A、B点坐标，进而求得AB的中点坐标，代入求得k的值．
【解答】解：把x＝0代y＝﹣2x+4，得：y＝﹣2×0+4＝4．
把y＝0代入y＝﹣2x+4，解得x＝2，
∴A（2，0），B（0，4），
∴AB的中点为（1，2），
∵反比函数的图象经过AB的中点，
∴k＝1×2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得AB的中点是解题的关键．
13．【分析】由矩形的性质与勾股定理可求得AC＝10，可判定△AEF∽△ACD，则有
，则可求得AF，EF的长度，由题意可判定△AEF∽△CGF，得
的面积，从而可求四边形ABGF的面积．
，则可求得S
△CFG
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，
∴AC＝，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝∠D＝90°，
∵∠EAF＝∠CAD，
∴△AEF∽△ACD，
∴，
∴AF＝4，EF＝3，
∴CF＝AC﹣AF＝6，
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠GCF，
∴△AEF∽△CGF，
∴，
∴，
即，
＝，
解得：S
△CGF
＝S△ABC﹣S△CGF
∴S
四边形ABGF
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解答的关键是求得△CGF 的面积．
三、解答题(共14小题，计81分，解答应写出过程。

)
14．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝2﹣+2+
＝4．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：∵，
∴x+1+8＞4x，
x﹣4x＞﹣1﹣8，
﹣3x＞﹣9，
则x＜3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．16．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
17．【分析】作AC的垂直平分线交AB于点D，则根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，所以∠A＝∠DCA，然后根据三角形外角性质可得到∠CDB＝2∠A．
【解答】解：如图，作AC的垂直平分线交AB于点D，则D点为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
18．【分析】根据等腰三角形的判定等角对等边，可以得到CB＝CD，然后根据平行线的性
质可以得到∠DCE＝∠CBA，再根据SAS可以证明△DCE≌△CBA，最后根据全等三角形的性质即可得到结论成立．
【解答】证明：∵∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠CBA，
在△DCE和△CBA中，
，
∴△DCE≌△CBA（SAS），
∴DE＝AC．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用SAS证明三角形全等．
19．【分析】设原正方形纸片的边长为acm，根据矩形的面积公式列方程，得到正方形的边长，根据正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：设原正方形纸片的边长为acm，
根据题意得，2a＝×2（a﹣2），
解得a＝3，
∴原正方形纸片的面积3×3＝9．
【点评】本题考查了正方形的性质，正方形和矩形的面积公式，熟练掌握正方形和矩形的面积公式是解题的关键．
20．【分析】由菱形的性质得CD∥AB，CD＝AB＝AD，则CD∥x轴，由cos∠DAB＝cos∠
C＝＝，且B（2，0），得＝，则CD＝AD＝AB＝5，OA＝3，则OD＝
＝4，即可求得点C的坐标为（5，4）．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝AD，∠DAB＝∠C，
∵点A和点B在x轴上，
∴CD∥x轴，
∵∠AOD＝90°，cos∠DAB＝cos∠C＝，
∴＝，
∴＝，
∵B（2，0），
∴OA＝AB﹣2，
∴＝，
∴CD＝AD＝AB＝5，
∴OA＝5﹣2＝3，
∴OD＝＝＝4，
∴D（0，4），
∴点C的坐标为（5，4）．
【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，求得CD＝AD＝AB＝5是解题的关键．
21．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵袋中共有4个乒乓球，第一次摸到球上标记度数小于90°的概率是＝．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸到球上标记度数之和为180°结果有共4种，∴两次摸到球上标记度数之和为180°的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．【分析】（1）用天完成作业所用时间为1小时的学生人数除以30%可得样本容量，再用样本容量分别减去其他三组的人数可得“1.5小时”的人数，并补全条形统计图即可；
（2）根据条形统计图分析出中位数和众数；
（3）用样本中每天完成作业所用时间为2小时的学生的比例乘总人数即可．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：30÷30%＝100（人），
完成作业时间为1.5小时的有：100﹣12﹣30﹣18＝40（人），
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
（2）由（1）中的条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是1.5，
∵100÷2＝50，则中位数是1.5，
故答案为：1.5，1.5；
（3）1700×＝306（名），
答：估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有306人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．【分析】过点A作AE⊥OB于点E，根据题意可得∠AOB＝60°，AD⊥AB，进而求得∠OAB＝75°，根据三角形内角和定理可得∠B＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝45°，以此可证明△AEB为等腰直角三角形，则AE＝AB•sin∠B，OA＝，以此即可求解．【解答】解：如图，过点A作AE⊥OB于点E，
∵入射角∠BOC＝30°，入射角等于反射角，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝60°，
∵AD⊥AB，∠OAD＝15°，
∴∠OAB＝75°，
∴∠B＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝45°，
∵AE⊥OB，
∴△AEB为等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，AB＝10米，AE＝AB•sin∠B＝＝（米），
在Rt三角形AOE中，OA＝＝＝20（米）．
∴光线从O到达A经过的距离20米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意正确构造出直角三角形，由三角形内角和定理求出∠B＝45°是解题关键．
24．【分析】（1）根据总费用＝运往甲地和乙地的费用之和列出函数解析式；
（2）令y≤4800，解不等式即可．
【解答】解：（1）设运往甲地为x吨，则运往乙地（30﹣x）吨，
根据题意得：y＝120x+200（30﹣x）＝﹣80x+6000，
∴y与x间的函数表达式为y＝﹣80x+6000；
（2）∵该公司运出货物的总费用不超过4800元，
∴﹣80x+6000≤4800，
解得x≥15，
答：该公司运往甲地至少15吨货物．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．25．【分析】（1）连接OD，证明∠ADE+∠ODB＝90°，∠A+∠DBO＝∠A+∠ODB＝90°即可解决问题；
（2）连接CD，根据切线长定理可得DE＝EC，则AC＝10，根据圆周角定理可得∠BDC ＝90°，由勾股定理可求出CD长为6，设BD＝x，则AB＝8+x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（8+x）2﹣102，则x2+62＝（8+x）2﹣102，解方程即可
解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE+∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠DBO＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠DBO，
∴∠A+∠DBO＝∠A+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）解：如图，连接CD，
由（1）知，AE＝DE，
∵BC为⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线，∠BDC＝90°，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE＝EC，
∴AE＝EC，
∵DE＝5，
∴AC＝AE+EC＝10，
∵∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AD＝8，AC＝10，
∴CD＝＝＝6，
设BD＝x，则AB＝AD+BD＝8+x，
在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2，即BC2＝x2+62，
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2，即BC2＝（8+x）2﹣102，∴x2+62＝（8+x）2﹣102，
解得：x＝，
∴BC＝＝＝．
【点评】本题主要考查切线的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，通过勾股定理建立方程并求解．
26．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）设P（m，m2﹣m﹣2），在y＝x2﹣x﹣2中，得C（0，﹣2），即有＝，
若△PAQ∽△ACO，则＝＝，分两种情况：当P在x轴下方时，
＝，可解得P（3，﹣2）；当P在x轴上方时，＝，解得P（5，3）．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（4，0）代入得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）设P（m，m2﹣m﹣2），则PQ＝|m2﹣m﹣2|，AQ＝m+1，
在y＝x2﹣x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴OC＝2，
∴＝，
若△PAQ∽△ACO，则＝＝，
当P在x轴下方时，如图：
∴＝，
解得m＝3或m＝﹣1（增根，舍去），
∴P（3，﹣2）；
当P在x轴上方时，如图：
∴＝，
解得m＝5或m＝﹣1（舍去），
∴P（5，3）；
综上所述，P的坐标为（3，﹣2）或（5，3）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的性质与应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
27．【分析】（1）①作直径PN，连接BN，则∠PNB+∠NPB＝90°，PQ与⊙O相切，得∠NPB+∠BPQ＝90°，再根据圆周角定理即可得结果．②证明△BPQ∽△PAQ，得，代入数值可得结果．
（2）取AD的中点E，过点E作DM的平行线EF，经过A，B作⊙O与EF相切于点P，此时∠APB最大，由△PEA∽BEP求出PE，由勾股定理求出EH，AH，PE，再求出PA，最终得到CD，AC的长度．
【解答】（1）解：①∠BPQ＝∠A，理由如下：
如图②，连接PO并延长至圆上一点N，连接BN，
则∠PAB＝∠PNB，
∵PN为圆的直径，
∴∠PBN＝90°，
∴∠PNB+∠NPB＝90°，
∵PQ与⊙O相切于点P，
∴∠NPQ＝90°，
∴∠NPB+∠BPQ＝90°，
∴∠BPQ＝∠PNB，
∵∠PNB＝∠A，
∴∠BPQ＝∠A．
②∵∠BPQ＝∠A，∠BQP＝∠PQA，
∴△BPQ∽△PAQ，
∴，
∵AB＝6，QB＝2，
∴AQ＝AB+BQ＝6+2＝8，
∴，
∴PQ＝4．
（2）解：存在一点C，使得∠APB达到最大．
如图③，取AD的中点E，过点E作DM的平行线EF，经过A，B作⊙O与EF相切于点P，
由题意知，此时∠APB最大．
∵DM∥EF，P是AC中点，
∴∠PEA＝60°，CD＝2PE，
作直径PG，连接AG，
则∠PBE＝∠G，∠PAC＝90°，
∴∠APG+∠PBE＝90°，
∵EF是⊙O的切线，P是切点，
∴PG⊥EF，
∴∠EPA+∠APG＝90°，
∴∠EPA＝∠PBE，
又∠AEP＝∠PEB，
∴△PEA∽BEP，
∴PE2＝EA•EB＝20×（20+25）＝900，
∴PE＝30，
∴CD＝2PE＝60．
过点A作AH⊥EF于H，
∵∠PEA＝60°，
∴∠EAH＝30°，
∴EH＝AE＝×20＝10，
AH＝AE•sin60°＝20×＝10，
∴PH＝PE﹣EH＝30﹣10＝20，由勾股定理得，
PA ＝＝
＝，
∴AC＝2PA＝2×＝．
故点C在DM上距离点D60m处，斜杆AC
的长度为m．
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形相似，圆的张角等知识，属于圆的综合题，恰当添加辅助线，灵活运用所学知识是解题关键。

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