人教新版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷(有答案)

第28章锐角三角函数单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1C．D．
2．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）
A．B．C．D．
3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）
A．B．C．1D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）
A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）
C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）
5．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）
A．B．C．5D．
6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）
A．0.5B．C．1D．
7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB 平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则
A、B之间的距离为（）
A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m
8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）
A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm
9．今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF 行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑
≈0.44，cos26°≈.90，tan26°AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°
≈0.49）
A．29.0B．28.5C．27.5D．27.0
10．位于南开（融侨）中学旁边的“转转桥”是重庆市网红景点之一，在桥下人形天桥（如图1），其平面图如图2所示，天桥入口D点有一台阶DC，CD=0.5米，其坡度为i=1：0.75，在DC 上方有一平层BC=1米，且BC与地面MN平行，在天桥顶端A点测得B点的俯角为63°，且AD⊥MN，为知道台阶AB的长度，请根据以上信息，帮小亮计算出台阶AB的长度，约为（）精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，tan63°≈2.00
A．1.4米B．2.5米C．2.8米D．2.9米
11．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）
A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时
12．如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）
①B地在C地的北偏西50°方向上；
②A地在B地的北偏西30°方向上；
③cos∠BAC=；
④∠ACB=50°．其中错误的是（）
A．①②B．②④C．①③D．③④
二．填空题（共12小题）
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为
14．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．
15．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是．
16．若0°＜α＜90°，tanα=1，则sinα＝．
17．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．
18．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα＝．
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB=．
20．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=．
21．计算：tan45°+=；
22．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=．
23．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．
A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为．
≈（精确到0.01）．
B．用科学计算器计算：sin69°
24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）
三．解答题（共26小题）
25．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．
﹣cos45°+tan260°．
26．计算：sin30°
﹣2cos45°．
27．计算：2sin30°
28．计算：2cos230°+﹣sin60°
．
29．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°
．
30．（1）计算与化简：cos60°?tan30°
（2）因式分解：3a2﹣6a+3．
﹣cos45°．
31．计算：tan260°﹣2sin30°
32．计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．
33．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′Ａ的形状，并说明理由．
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．
34．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．
35．在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，3），C （﹣4，3），求sinB的值．
36．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=20．
（1）求BC的长度；
（2）若∠ADC=75°，求CD的长．
37．C919大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣．如图是某校航模兴趣小组获得
的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
38．如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=60°，∠ACB=45°，量得BC的长为30m，求这条河的宽度（结果精确到1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732．）
39．清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶的说：“呀！
这棵树真高！有60多米．”小阳却不以为然：“60多米？我看没有．”两个人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”
小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光
沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是 1.6米．
（1）请在指定区域内画出小红和小阳测量古松树高的示意图；
（2）通过计算说明小红和小阳谁的说法正确（计算结果精确到0.1）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）
40．如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点
A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）
41．如图，某市为方便行人过马路，打算修建一座高为4x（m）的过街天桥．已知天桥的斜面坡度i=1：0.75是指坡面的铅直高度DE（CF）与水平宽度AE（BF）的比，其中DC∥AB，CD=8x （m）．
（1）请求出天桥总长和马路宽度AB的比；
（2）若某人从A地出发，横过马路直行（A→E→F→Ｂ）到达B地，平均速度是 2.5m/s；返回时从天桥由BC→CD→DA到达A地，平均速度是 1.5m/s，结果比去时多用了12.8s，请求出马路宽度AB的长．
42．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
43．电影《厉害了，我的国》震撼上演后，引起了大家的强烈共鸣，当“复兴号”一幕又一幕的奔驰在祖国广袤的大地上，中国高铁的车轮快速的滚出了崭新中国的新画卷．中国高铁的飞
速发展，使越来越多的人选择高铁出行．为了保证市民出行方便，某市的高铁站出入口与地
铁站出入口进行对接．已知某人沿着坡角为30°的楼梯AB从A行至B，后沿BC路线上斜坡CD，坡角为30°，再行走一段距离DE，到达高铁入口处．若入口处楼梯EF的坡角为45°，DE ∥BC∥AF，AB=20米，CD=4米，那么EF的长度是多少米？（保留0.1米）（≈1.414）
44．图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太
阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），
，请完成以下计算：如图2，AB⊥BC，垂足为点B，CD∥AB，FG⊥DE，垂足为点G，若∠θ=37°50′FG=30cm，CD=10cm，求CF的长（结果取整数，参考数据：sin37°50′
≈079，
≈0.6l，cos37°50′tan37°50′
≈0.78）
45．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70】
46．如图，李强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼，为了求得对面办公大楼的高度，李强测得办公大楼顶部点A的仰角为30°，测得办公大楼底部点B的俯角为37°，已知测量点P到对面办公大楼上部AD的距离PM为30m，办公大楼平台CD=10m．求办公大楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，≈1.73）
47．为了测量白塔的高度AB，在D处用高为 1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）
48．如图是宁夏沙坡头的沙丘滑沙场景．已知滑沙斜坡AC的坡度是tanα＝，在与滑沙坡底C 距离20米的D处，测得坡顶A的仰角为26.6°，且点D、C、B在同一直线上，求滑坡的高AB．
=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．
（结果取整数：参考数据：sin26.6°
49．如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）
50．如图，在一次海警演习中，A、B两地分别同时派出甲、乙两快艇营救一货轮C，已知B地位于A地正西方向相距84海里位置，货轮C位于A地正北方向，位于B地北偏东48.2°方向
≈0.7，cos48.2°≈0.6，tan48.2°≈1.05）（所有数据精确到个位，sin48.2°
（1）求A、B两地分别与货轮C的距离；
（2）若乙快艇每小时比甲快艇多行驶20海里，且它们同时达到货轮C位置，求甲、乙快艇的速度．
答案
一．选择题（共12小题）
1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）
A．B．1C．D．
【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵tan∠BCD=，设BE=x，则AC=2x，
∴tanA===，
故选：A．
【点评】本题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．
2．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）
A．B．C．D．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴=，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴==，
设AD=2a，则AC=5a，
根据勾股定理得到CD=a，
因而sinA==．
故选：B．
【点评】求三角函数值的问题一般要转化为，直角三角形的边的比的问题，本题注意到△AED ∽△ABC是解决本题的关键．
3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）
A．B．C．1D．
【分析】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用sin60°=，cos60°=可求DB=，AD=，把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．
【解答】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，
∴DB=，AD=c，
在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，
∴（a﹣）2=b2﹣c2，
即a2+c2=b2+ac，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）
A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）
C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）
【分析】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．由△CBH∽△BAO，推出===2，推出BH=﹣2a，CH=2b，推出C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，可得=，推出=，推出FH=2c，可得C（﹣b﹣2c，2b），因为2c+2b=﹣2a，推出2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，可得C（a﹣c，﹣2a﹣2c），由此即可判断；
【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．
∵tan∠BAC==2，
∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°，
∴∠CBH=∠BAO，∵∠CHB=∠AOB=90°，
∴△CBH∽△BAO，
∴===2，
∴BH=﹣2a，CH=2b，
∴C（b+2a，2b），
由题意可证△CHF∽△BOD，
∴=，
∴=，
∴FH=2c，
∴C（﹣b﹣2c，2b），
∵2c+2b=﹣2a，
∴2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，
∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
5．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）
A．B．C．5D．
【分析】作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形．
根据锐角三角函数求得CD、AD的长，再根据锐角三角函数求得BD的长，从而求得AB的长．【解答】解：作CD⊥AB于D．
在直角三角形ACD中，∠A=30°，AC=，
∴CD=，AD=3．
在直角三角形BCD中，，
∴BD==2．
∴AB=AD+BD=5．
故选：C．
【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．
6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）
A．0.5B．C．1D．
【分析】过F作FG⊥AC于G，然后连接AF，根据△ACF和△ABC底和高的比例可得出△ACF的面积，然后根据S ACF=AC×FG可求出FG的长，继而得出了答案．
【解答】解：过F作FG⊥AC于G，连接AF，可得：△ACF和△ABC底之比为1：3；高之比为1：1；
∴△ACF和△ABC的面积之比为1：3，
又∵AB=2，BC=3，
∴S△ABC=3，S△ACF=1，
又∵S△ACF=AC×FG，
∴FG=．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识，难度较大，首先要判断出FG可表示最短距离，然后
解答本题关键的一步是利用底与高的关系求出△AFC的面积．
7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB 平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则
A、B之间的距离为（）
A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m
【分析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AM=BN．通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、CN的长度，则易得MN=AB．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．
则AB=MN，AM=BN．
在直角△ACM，∵∠ACM=45°，AM=50m，
∴CM=AM=50m．
∵在直角△BCN中，∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m，
∴CN=（m），
∴MN=CM﹣CN=50﹣（m）．
则AB=MN=（50﹣）m．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）
A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm
【分析】根据OA=OB，可知△AOB是等腰三角形，作OG⊥AB于点G，从而可以得到AG=BG，∠AOB=2∠AOG，从而可以得到OG的长．
【解答】解：作OG⊥AB于点G，
∵OA=OB=14厘米，∠AOB=60°，
∴∠AOG=∠BOG=30°，AG=BG，
∴OG=OA?cos30°=7厘米，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．
9．今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF 行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑
≈0.44，cos26°≈.90，tan26°AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°
≈0.49）
A．29.0B．28.5C．27.5D．27.0
【分析】作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．想办法求出BC、AH即可解决问题；
【解答】解：作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．则四边形BCMF，四边形CDGH是矩形．
在Rt△FEM中，FM：EM=1：2.4，EF=5.2m，
∴FM=BC=2m，EM=4.8m，CM=BF=30m，
∴CD=CM+EM+DE=45m，
∴GH=CD=45m，
在Rt△AGH中，AH=GH?tan26°≈22.05m，
∵CH=DG=51.5m，
∴AB=CH﹣BC﹣AH=51.5﹣2﹣22.05≈27.5（m），
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．位于南开（融侨）中学旁边的“转转桥”是重庆市网红景点之一，在桥下人形天桥（如图1），其平面图如图2所示，天桥入口D点有一台阶DC，CD=0.5米，其坡度为i=1：0.75，在DC 上方有一平层BC=1米，且BC与地面MN平行，在天桥顶端A点测得B点的俯角为63°，且AD⊥MN，为知道台阶AB的长度，请根据以上信息，帮小亮计算出台阶AB的长度，约为（）精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，tan63°≈2.00
A．1.4米B．2.5米C．2.8米D．2.9米
【分析】延长BC交AD于H．在Rt△DCH中，求出CH，再在Rt△ABH中求出AB即可；
【解答】解：延长BC交AD于H．
在Rt△CDH中，∵DH：CH=1：0.75，CD=0.5，
∴DH=0.4，CH=0.3，
∴BH=1.3，
在Rt△ABH中，cos63°=，
∴AB≈2.9（米），
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解仰角俯角的概念，理解坡度坡角的定义，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
11．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）
A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时
【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，
由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，
过点A作AD⊥CB的延长线于点D，
在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=45°+（90°﹣75°）=60°，
∴BD=AB?cos60°＝AB=6，AD=AB?sin60°=6，
∴CD=10x+6．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
解得：（不合题意舍去）．
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得出方程是解决问题的关键．
12．如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）
①B地在C地的北偏西50°方向上；
②A地在B地的北偏西30°方向上；
③cos∠BAC=；
④∠ACB=50°．其中错误的是（）
A．①②B．②④C．①③D．③④
【分析】先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可．
【解答】解：如图所示，
由题意可知，∠1=60°，∠4=50°，
∴∠5=∠4=50°，即B在C处的北偏西50°，故①正确；
∵∠2=60°，
∴∠3+∠7=180°﹣60°=120°，即A在B处的北偏西120°，故②错误；
∵∠1=∠2=60°，
∴∠BAC=30°，
∴cos∠BAC=，故③正确；
∵∠6=90°﹣∠5=40°，即公路AC和BC的夹角是40°，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解．
二．填空题（共12小题）
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为
【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC=，再利用勾股定理计算出AC=，然后利用面积法计算CD的长
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACB中，∵sinA==，
∴BC=×4=，
∴AC==，
∵CD?AB=AC?BC，
∴CD==，
即斜边上的高为．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．
【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图，
tanα＝=
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
15．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是α=β＞γ．
【分析】首先根据锐角三角函数的概念表示出tan∠1=，tan∠4=，进一步分析平行线，再根据平行线的性质进行分析．
【解答】解：如图所示，tan∠1=，tan∠4=，
故∠1=∠4．
根据两直线平行，内错角相等，得∠3=∠2，
于是∠1+∠2=∠3+∠4，
即α=β．
根据两直线平行，内错角相等，得∠4=∠5，
又∠3＞∠6，
故∠3+∠4＞∠5+∠6，
即β＞γ．
所以α=β＞γ．
【点评】考查了平行线的性质及识图分析能力．从图中找出同位角、内错角和同旁内角、根据平行线的性质解答．
16．若0°＜α＜90°，tanα=1，则sinα＝．
【分析】由0°＜α＜90°、tanα=1知∠α=45°，据此可得sinα＝．
【解答】解：∵0°＜α＜90°，tanα=1，
∴∠α=45°，
则sinα＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．
17．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．
【分析】根据tanA=和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA 的值．
【解答】解：如图，∵tanA==，
∴设AB=5x，则BC=4x，
AC=3x，
则有：sinA+cosA=+=+=，
故答案为：．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，只要画出图形，即可将正弦、余弦、正切函数联系起来，进而得出结论．
18．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα＝．
【分析】根据一个角的余切等于它余角的正切，可得答案．
【解答】解：由α是锐角，如果tanα=2，那么cotα＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用一个角的余切等于它余角的正切是解题关键．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB=．
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【解答】解：由∠C=90°，若sinA=，
得cosB=sinA=，
故答案为：．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．20．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=．
【分析】根据正切的定义，可得直角边，根据勾股定理，可得斜边，根据余弦函数，可得答案．【解答】解：如图，
由tanB=，得
AC=4k，BC=3k，
由勾股定理，得
AB=5k，
cosA===，
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用正切的定义得出直角边是解题关键．
21．计算：tan45°+=5；
【分析】先代入三角函数值、计算算术平方根，再计算加法可得答案．
【解答】解：tan45°+=1+4=5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值和算术平方根的定义．
22．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=30°．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：∵∠A是锐角，tanA=，
∴∠A=30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．23．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．
A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为π．
≈ 2.47（精确到0.01）．
B．用科学计算器计算：sin69°
【分析】A．根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解．
B．直接使用科学计算器进行计算．
【解答】解：A．∵AB=BC，CD=DE，
∴=，=，
∴+=+，
∴∠BOD=90°，
∴S阴影=S扇形OBD==π．
B．sin69°≈2.47．
故答案是：π；2.47．
【点评】A．考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．
B．考查了计算器的使用．
24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为8.16．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）
【分析】根据计算器的使用，可得答案．
【解答】解：tan 42≈0.9004，
=0.9004，
AC≈8.16，
故答案为：8.16．
【点评】本题考查了计算器，正确使用计算器是解题关键．
三．解答题（共26小题）
25．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．
【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．
【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，
∴EC==5x，
EM==x，
CM==2x，
∴EM2+CM2=CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM==．
【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．
26．计算：sin30°
﹣cos45°+tan260°．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求值即可．
【解答】解：原式=﹣×+×（）2
=﹣+×3
=1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值即可解题，属于基础题型．﹣2cos45°．
27．计算：2sin30°
【分析】首先计算特殊角的三角函数，然后再计算乘法，后计算加减即可．
【解答】解：原式=2×﹣2×=1﹣+2=1+．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．28．计算：2cos230°+﹣sin60°
．
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．
【解答】解：原式=2×（）2+﹣，
=+﹣，
=3﹣．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
．
29．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：3tan30°+cos245°﹣sin60°
=
=．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
30．（1）计算与化简：cos60°?tan30°
（2）因式分解：3a2﹣6a+3．
【分析】（1）根据特殊角三角函数值，可得答案；
（2）根据提公因式法、公式法，可得答案．
【解答】解：（1）原式=×=；
（2）3a2﹣6a+3
=3（a2﹣2a+1）
=3（a﹣1）2．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，分解因式要彻底，分解到不能分解为止．
31．计算：tan260°﹣2sin30°
﹣cos45°．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式=（）2﹣2×﹣×
=3﹣1﹣1
=1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．32．计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．
【分析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=1+3﹣=3．
【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．
33．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′Ａ的形状，并说明理由．
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A'是平行四边形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．（2）通过解直角△ABC得到AC的长，利用勾股定理即可得到BC的长度．
【解答】解：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：
，
由平移的性质得到：AC∥A′C′
，且AC=A′C′
则四边形ACC'A'是平行四边形．
又∵CD平分∠ACB的外角，
∴∠ACA′＝∠A'CC'，
∵AA'∥BB'，
∴∠C'CA'=∠AA'C，
∴∠AA'C=∠ACA'，
∴AA'=AC，
∴四边形ACC'A'是菱形．
（2）∵在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，
∴cos∠BAC==，即=，
∴AC=26．
∴由勾股定理知：BC===10．
【点评】本题考查了平移的性质，解直角三角形，勾股定理以及菱形的判定与性质等知识点．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完
全相同．。