半导体物理学 刘恩科 第七版 完整课后题答案

第一章习题
1．设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c (k)和价带极大值附近能量E V (k)分别为：
E c =02
20122021202236)(,)(3m k h m k h k E m k k h m k h V -=-+0m 。

试求：
为电子惯性质量，nm a a
k 314.0,1==
（1）禁带宽度;（2）
导带底电子有效质量;
（3）价带顶电子有效质量;
（4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化解：（1）
eV
m k E k E E E k m dk E d k m k
dk dE Ec k k m m m dk E d k k m k k m k V C g V V V c 64.012)0()43
(0,060064
3
382324
3
0)(2320
212102220
202
02022210
1202==-==<-===-==>=+===-+ 因此：取极大值
处，所以又因为得价带：
取极小值处，所以：在又因为：得：由导带：
04
32
2
2
*8
3)2(1
m dk E d m
k k C nC
===
s
N k k k p k p m dk E d m
k k k k V nV
/1095.704
3
)()
()4(6
)3(25104
3002
2
2*1
1
-===⨯=-=-=∆=-
== 所以：准动量的定义：2.晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m，107V/m 的电场时，试分别
计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。

解：根据：t
k h
qE f ∆∆==得qE
k t -∆=
∆ s
a
t s
a
t 137
19
282
1911027.810
10
6.1)0(102
7.810106.1)
0(----⨯=⨯⨯--
=
∆⨯=⨯⨯--
=
∆π
π
补充题1
分别计算Si （100），（110），（111）面每平方厘米内的原子个数，即原子面
密度（提示：先画出各晶面内原子的位置和分布图）
Si 在（100），（110）和（111）面上的原子分布如图1
所示：
（a ）(100)晶面（b ）(110)晶面
（c ）(111)晶面
补充题2
一维晶体的电子能带可写为)2cos 81
cos 8
7()2
2ka ka ma k E +-= （，式中a 为晶格常数，试求（1）布里渊区边界；（2）能带宽度；
（3）电子在波矢k 状态时的速度；
（4）能带底部电子的有效质量*
n m ；
（5）能带顶部空穴的有效质量*p
m 解：（1）由
0)(=dk k dE 得a
n k π
=（n=0，±1，±2…）进一步分析a
n k π
)
12(+=，E（k）有极大值，
2
142
2
1422
142
822/1083.73422
32
212414111/1059.92422124142110/1078.6)
1043.5(2
24141100cm atom a a a cm atom a a a cm atom a a ⨯==⨯+⨯+⨯⨯==⨯⨯
+⨯+⨯=⨯==⨯
+-）：（）：
（）：（
2
22)ma k E MAX =（a
n
k π
2=时，E（k）有极小值
所以布里渊区边界为a
n k π
)
12(+=(2)能带宽度为2
22)()ma k E k E MIN MAX =-（(3）电子在波矢k 状态的速度)2sin 4
1
(sin 1ka ka ma dk dE v -== （4）电子的有效质量
)2cos 21(cos 2
22*
ka ka m
dk
E
d m n
-=
= 能带底部a
n k π2=
所以m
m n 2*
=(5)能带顶部a
n k π
)12(+=，且*
*
n p m m -=，
所以能带顶部空穴的有效质量3
2*
m m p =
半导体物理第2章习题
1.实际半导体与理想半导体间的主要区别是什么？
答：（1）理想半导体：假设晶格原子严格按周期性排列并静止在格点位置上，实际半导体中原子不是静止的，而是在其平衡位置附近振动。

（2）理想半导体是纯净不含杂质的，实际半导体含有若干杂质。

（3）理想半导体的晶格结构是完整的，实际半导体中存在点缺陷，线缺陷和面缺陷等。

2.以As掺入Ge中为例，说明什么是施主杂质、施主杂质电离过程和n型半导体。

As有5个价电子，其中的四个价电子与周围的四个Ge原子形成共价键，还剩余一个电子，同时As原子所在处也多余一个正电荷，称为正离子中心，所以，一个As原子取代一个Ge原子，其效果是形成一个正电中心和一个多余的电子.多余的电子束缚在正电中心，但这种束缚很弱,很小的能量就可使电子摆脱束缚，成为在晶格中导电的自由电子，而As原子形成一个不能移动的正电中心。

这个过程叫做施主杂质的电离过程。

能够施放电子而在导带中产生电子并形成正电中心，称为施主杂质或N型杂质，掺有施主杂质的半导体叫N型半导体。

3.以Ga掺入Ge中为例，说明什么是受主杂质、受主杂质电离过程和p型半导体。

Ga有3个价电子，它与周围的四个Ge原子形成共价键，还缺少一个电子，于是在Ge晶体的共价键中产生了一个空穴，而Ga原子接受一个电子后所在处形成一个负离子中心，所以，一个Ga原子取代一个Ge原子，其效果是形成一个负电中心和一个空穴，空穴束缚在Ga原子附近，但这种束缚很弱，很小的能量就可使空穴摆脱束缚，成为在晶格中自由运动的导电空穴，而Ga原子形成一个不能移动的负电中心。

这个过程叫做受主杂质的电离过程，能够接受电子而在价带中产生空穴，并形成负电中心的杂质，称为受主杂质，掺有受主型杂质的半导体叫P 型半导体。

4.以Si在GaAs中的行为为例，说明IV族杂质在III-V族化合物中可能出现的
双性行为。

Si取代GaAs中的Ga原子则起施主作用；Si取代GaAs中的As原子则起受
主作用。

导带中电子浓度随硅杂质浓度的增加而增加，当硅杂质浓度增加到一定程度时趋于饱和。

硅先取代Ga 原子起施主作用，随着硅浓度的增加，硅取代As 原子起受主作用。

5.举例说明杂质补偿作用。

当半导体中同时存在施主和受主杂质时，若（1）N D >>N A
因为受主能级低于施主能级，所以施主杂质的电子首先跃迁到N A 个受主能级上，还有N D -N A 个电子在施主能级上，杂质全部电离时，跃迁到导带中的导电电子的浓度为n=N D -N A 。

即则有效受主浓度为N Aeff ≈N D -N A （2）N A >>N D
施主能级上的全部电子跃迁到受主能级上，受主能级上还有N A -N D 个空穴，
它们可接受价带上的N A -N D 个电子，在价带中形成的空穴浓度p=N A -N D .即有效受主浓度为N Aeff ≈N A -N D （3）N A ≈N D 时，
不能向导带和价带提供电子和空穴，称为杂质的高度补偿6.说明类氢模型的优点和不足。

7.锑化铟的禁带宽度Eg=0.18eV，相对介电常数εr =17，电子的有效质量
*n m =0.015m 0,m 0为电子的惯性质量，求①施主杂质的电离能，②施主的弱束缚电子基态轨道半径。

eV E m m q m E r n r n D 42
200*
2204*101.717
6
.130015.0)4(2-⨯=⨯===∆εεπε ：
解：根据类氢原子模型8.磷化镓的禁带宽度Eg=2.26eV，相对介电常数εr =11.1，空穴的有效质量m *p =0.86m 0,m 0为电子的惯性质量，求①受主杂质电离能；②受主束缚的空穴的基态轨道半径。

nm r m m m q h r nm
m q h r n
r n r 60053.00*
0*2020
20
20=====επεεπε
eV E m m q m E r P r P A 0096.01
.116.13086.0)4(22
20
0*
2204*=⨯===∆εεπε ：
解：根据类氢原子模型第三章习题和答案
1.计算能量在E=E c 到2
*n 2
C L 2m 100E E π+=之间单位体积中的量子态数。

解2.试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。

nm
r m m m q h r nm
m q h r P
r
P r 68.6053.00*0*2020
20
20=====επεεπε3
2
2
2
3
3
*28100E 21
2
33
*
22100E 00212
3
3
*231000L 8100)(3222)(22)(1Z V Z
Z )(Z )(22)(2
32
2
C
22
C
L E m h E E E m V dE E E m V dE E g V
d dE
E g d E E m V E g c
n c C
n l
m h E C n
l
m E C n n c n c π
ππππ=
+-=-==
=
=-=*+
+
⎰
⎰**
）（）
（单位体积内的量子态数）
（)
(21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'2
1
3'
'
''''2'
21'21'21'
2
222
2
22C a a l
t t
z y x a
c c z
l
a z y t a
y x t a x
l
z
t y
x C C e E E m h
k V m m
m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k m k m k k h E k E K IC E G si -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+∙=+++====+++=*
**
*
*系中的态密度在等能面仍为球形等能面系中在则：令）
（关系为）（半导体的、证明：[]
3
1
23
221232'
2123
2
31'2
'''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~l
t
n c n
c l t t z m m s
m V
E E h
m E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dk
k k g Vk k g d k dE E E =-==∴-⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+∙∙==∴∙=∇∙=+**
πππ）方向有四个，
锗在（旋转椭球，个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。

空间所包含的空间的状态数等于在
3.当E-E F 为1.5k 0T，4k 0T,10k 0T 时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。

4.画出-78o C、室温（27o C）、500o C 三个温度下的费米分布函数曲线，并进行比较。

5.利用表3-2中的m *n ，m *p 数值，计算硅、锗、砷化镓在室温下的N C ,N V 以及本征载流子的浓度。

6.计算硅在-78o C，27o C，300o C 时的本征费米能级，假定它在禁带中间合理吗？
费米能级
费米函数
玻尔兹曼分布函数
1.5k 0T 0.1820.2234k 0T 0.018
0.0183
10k 0T
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=========⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧===***
***-**
ev E m o m m m A G ev E m o m m m si ev E m o m m m G e N N n h koTm N h koTm N g p n s a g p n g p n e koT E v c i p v n
C g
428.1;47.;068.0:12.1;59.;08.1:67.0;37.;56.0:)()2(2)2(25000000221
232
2
32
ππ[]
eV
kT eV kT K T eV
kT eV kT K T eV m m kT eV kT K T m m kT E E E E m m m m Si Si n
p
V C i F p n 022.008
.159
.0ln 43,0497.0573012.008.159
.0ln 43,026.03000072.008.159.0ln 43,
016.0195ln 43259.0,08.1:32220
1100-===-===-===+-====*
*
**
时，当时，当时，当的本征费米能级，F
E E -T
k E E e
E f F
011)(-+=
T
k E E F e
E f 0)(--
=51054.4-⨯5
1054.4-⨯
所以假设本征费米能级在禁带中间合理，特别是温度不太高的情况下。

7.①在室温下，锗的有效态密度N c =1.05⨯1019cm -3，N V =3.9⨯1018cm -3，试求锗的载流子有效质量m *n
m *p 。

计算77K 时的N C 和N V 。

已知300K 时，E g =0.67eV。

77k
时E g =0.76eV。

求这两个温度时锗的本征载流子浓度。

②77K 时，锗的电子浓度为1017cm -3，假定受主浓度为零，而E c -E D =0.01eV，求锗中施主浓度E D 为多少？
8.利用题7所给的N c 和N V 数值及E g =0.67eV，求温度为300K 和500K 时，含施主浓度N D =5⨯1015cm -3，受主浓度N A =2⨯109cm -3的锗中电子及空穴浓度为多少？
3173
183'
3183
193'3'
'/1008.5300
77109.330077/1037.1300
771005.13007730077772cm N N cm N N T T K N K N N N K V V C C C C V
C ⨯=⨯⨯=∙=⨯=⨯⨯=∙=∴=）（）（
）（）（
）（）（、时的）（3
171037.110067.001.017003
777
276
.021
17183
13300267.021
1819221
/1017.1)21(10)21(212121/1098.1)1008.51037.1(77/107.1)109.31005.1()()3(18
17
00000cm e
e
n N e
N e
N e
N n n cm e
n K cm e
n e
N N n C
o
D C
o D F
C c
D F D N n koT
E D N n T k E D
T
k E E E E D
T k E E D
D k i k i koT
Eg
v c i ⨯=+=+=∴+=
+=+=
=⨯=⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯==⨯∙
∙∆∙∆--+--
--+
-⨯-
⨯--时，室温：kg
m
N T
k m
kg m
N T k m Tm
k
N Tm
k
N v p
c n
p v
n
c 31
3
1202
31
3
202
23
2
2
3
2
10
6.229.02210
1.556.022)
2(2)
2(
21.7-*-**
*⨯==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
⨯==⎥⎦⎤⎢⎣⎡===
ππππ得
）根据（
9.计算施主杂质浓度分别为1016cm 3，,1018cm -3，1019cm -3的硅在室温下的费米能级，并假定杂质是全部电离，再用算出的的费米能级核对一下，上述假定是否在每一种情况下都成立。

计算时，取施主能级在导带底下的面的0.05eV。

⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯==⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯≈=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+-=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+-+-=∴=---→⎩⎨⎧==+--⨯==⨯==-
-
3
1503
1503
1003
150212202
12202
0202
00003
152
1
''3
13221
/1084.4/1084.9500/108/105300)2(2)2(20)(0/109.6)(500/100.2)(300.8'
020cm
p cm
n K t cm
p cm
n K T n N N N N p n N N N N n n N N n n n p n N N p n cm e
N N n K cm e N N n K i D A D A i A D A D i A D i
A D V
C
i T
k E V c i T k g e g 时：时：根据电中性条件：
时：时：%90-exp(211%
10)
exp(2111
%10%,9005.0)2(27.0.0108.210ln 026.0;/10087.0108.210ln 026.0;/1021.0108.210ln 026.0;/10,ln
/105.1/108.2,300,ln .90019
193
1919
183
1819
16
3
16
03
103
190≥-+=≤-+==--=⨯+==-=⨯+==-=⨯+==+=⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯==+=+
）
或是否占据施主为施主杂质全部电离标准或时离区的解假设杂质全部由强电T
k E E N n T
k E E N n eV E E eV
E E E cm N eV
E E E cm N eV E E E cm N N N T k E E cm
n cm
N K T N N T k E E E F D D D F
D D D D C c c F D c c F D c c F D i
D
i F i C C D c F F
10.以施主杂质电离90%作为强电离的标准，求掺砷的n 型锗在300K 时，以杂质电离为主的饱和区掺杂质的浓度范围。

11.若锗中施主杂质电离能∆E D =0.01eV，施主杂质浓度分别为N D =1014cm -3j 及
没有全部电离
全部电离小于质数的百分比）
未电离施主占总电离杂全部电离的上限求出硅中施主在室温下）（不成立不成立成立3171816317163
17026.005
.0026
.005.0'
026
.0023
.019026
.0037
.018026
.016
.0026
.021
.016105.210,10105.210/105.221.0,2%10()2(2%10%802
111
:10%302
1
11
:
10%42.02
1
11
2
111:
10cm N cm N cm e N N e N N e N N D e N n N e N n N e e N n N D D C D C D koT
E
C
D D D D D
D
D E E D
D
D D
C D ⨯〉=⨯=⨯====〉=+===+===+=
+==-∆--+-之上，大部分没有电离在，之下，但没有全电离在成立，全电离全电离
，与也可比较）（０D F F D D D F F D D F D D F D F D E E E E cm N E E E E cm N E E cm N T k E E E E 026.0023.0;/1026.0~037.0;/10026.016.021.005.0;/102319318316'
'〈-=-==-=〉〉=+-=-=〉〉-317143
133
17026
.00127
.019026.00127
.00319/1022.3~104.2~5/104.2/1022.32
1005.11.021.0026
.00127
.0exp 2%10)exp(2300/1005.1,0127.0.10cm N n A cm n G N A cm e e N N N N T k E
N N D A K cm N eV E A D i s i e D s C D C D D C D s C D s ⨯⨯∴⨯=⨯=⨯⨯==∴+=
∆=
⨯==∆---，即有效掺杂浓度为的掺杂浓度范围的本征浓度电离的部分，在室温下不能掺杂浓度超过限杂质全部电离的掺杂上以下，室温的电离能解
上限上限上限
1017cm -3。

计算①99%电离；②90%电离；③50%电离时温度各为多少？12.若硅中施主杂质电离能∆E D =0.04eV，施主杂质浓度分别为1015cm -3，1018cm -3。

计算①99%电离；②90%电离；③50%电离时温度各为多少？
13.有一块掺磷的n 型硅，N D =1015cm -3,分别计算温度为①77K；②300K；③500K；
④800K 时导带中电子浓度（本征载流子浓度数值查图3-7）
14.计算含有施主杂质浓度为N D =9⨯1015cm -3，及受主杂质浓度为1.1⨯1016cm 3，的
硅在300K 时的电子和空穴浓度以及费米能级的位置。

eV n p T k E E eV
N p T k E E cm p n n cm N N p cm n Si K T i i F v V F i D A i 336.010
5.1102ln 02
6.0ln 224.0101.1102ln 026.0ln 10125.1102,105.130010
15
001915
003
50
2
03150310-=⨯⨯-=-=-=⨯⨯-=-=-⨯==⨯=-=⨯==---或：饱和区流子浓度，处于强电离掺杂浓度远大于本征载的本征载流子浓度时，解：15.掺有浓度为每立方米为1022硼原子的硅材料，分别计算①300K；②600K 时
费米能级的位置及多子和少子浓度（本征载流子浓度数值查图3-7）。

3
1703173
152
2
03143
150315310/10/108000)4(/1014.12
4~/104500)3(/10/10/103002.13cm n n cm n K cm n N N n N cm n K cm N n cm N cm n K i i i D D D i D D i =≈=⨯≈++=⨯==≈=<<=时，过度区时，强电离区时，）（
eV
n p T k E E cm n cm p n p n N n p cm n K T eV N p T k E E eV
n p T k E E cm p n n cm p a cm n K T i i F i A i v
V F i i F i i 025.01011062.1ln 052.0ln /1017.6/1062.1/101600)2(184.0ln
359.01010ln 026.0ln /1025.2/10,/105.1300)1(16
16
003
15031602
00003160
01016
003
40
2
03
160310-=⨯⨯-=-=-⨯=⨯==+=⨯==-=-=--=-=-=-⨯===⨯==处于过渡区：时，或杂质全部电离时，16.掺有浓度为每立方米为1.5⨯1023砷原子和立方米5⨯1022铟的锗材料，分别
计算①300K；②600K 时费米能级的位置及多子和少子浓度（本征载流子浓度数值查图3-7）。

浓度接近，处于过度区
本征载流子浓度与掺杂和区度，所以处于强电离饱度远大于本征载流子浓能够全部电离，杂质浓杂质在解：3
171317
003
917
26
02031703
133********:60022.0102101ln 026.0ln 1010
1104101300102:300105,105.1------⨯==⨯⨯==-=⨯⨯==⨯=-=⨯=⨯=⨯=cm n K eV
n n T k E E cm n n p cm N N n K cm n K cm N cm N i i i F i A D i A D
eV n n T k E E n n p n N N N N n n p n N p N n i i F i i A D A D i D A 01.010
2106.2ln 072.0ln 106.1106.22
4)(17
17
0017
2
017
2
2020000=⨯⨯==-⨯==⨯=+-+-=
=+=+17.施主浓度为1013cm 3的n 型硅，计算400K 时本征载流子浓度、多子浓度、少
子浓度和费米能级的位置。

18.掺磷的n 型硅，已知磷的电离能为０.０４４eV，求室温下杂质一半电离时
费米能级的位置和浓度。

eV
n n T k E E cm n n p n N
N n n np N p n cm n K cm N
si i i F
o i i D
D i
D i D
017.010110
62.1ln
035.0ln /1017.610
62.1421
2,0(/10
1400,/10
:.1713
13
03
122
013
22
2
313
313
=⨯⨯⨯==-⨯==⨯=++=⎩⎨⎧==--⨯==查表）
时，3
3
18026
.0062.019
000/191015.5%50/1054.2108.2534.0,12.1:062.02ln 026.0044.02ln 2ln 2ln .
22
12
1
1.1800cm N N n cm e
e
N n eV E E eV E si eV
E E T k E E T k E E T k E E e
N n e N n D D T
k E E c i F g c C D C D F D F koT
E E D D T
k E E D
D F C F D F D ⨯⨯=∴=⨯=⨯⨯===-=-=--=-∆-=-=-===+=
-
----则有解：
19.求室温下掺锑的n 型硅，使E F =（E C +E D ）/2时锑的浓度。

已知锑的电离能为
0.039eV。

20.制造晶体管一般是在高杂质浓度的n 型衬底上外延一层n 型外延层，再在
外延层中扩散硼、磷而成的。

（1）设n 型硅单晶衬底是掺锑的，锑的电离能为0.039eV，300K 时的E F 位
于导带下面0.026eV 处，计算锑的浓度和导带中电子浓度。

（2）设n 型外延层杂质均匀分布，杂质浓度为4.6⨯1015cm -3,计算300K 时E F
的位置及电子和空穴浓度。

（3）在外延层中扩散硼后，硼的浓度分布随样品深度变化。

设扩散层某一深
度处硼浓度为5.2⨯1015cm -3,计算300K 时E F 的位置及电子和空穴浓度。

（4）如温度升到500K，计算③中电子和空穴的浓度（本征载流子浓度数查
3182
10021002
103
181********/1048.9026.00195.0exp 21026.00195.02exp(212)
exp(2120195.0222/1048.93.014.32
108.2)71.0(2
2
0195.02
039
.0222222
.19cm
F N T k E E T k E E F N N T
k E E N T k E E F N E E E E E E E E n n cm F N T k E E F N n T
k E E E E E E E E E E E E E E C D F C F C
D D F D C F C D
D C D D C D F D
C C F c
D D C D C C D C C F C D
C F ⨯=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-+⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=
∴-+=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=∆=-=-+=
-=⨯=⨯⨯⨯=-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=∴<==∆=-=--=+-=-∴+=+
）（）（求用：发生弱减并解：πππππ
图3-7）。

eV n p T k E E n p i
i E 0245.0ln
109.11083.80
0140140-=-=-⨯=⨯=21.试计算掺磷的硅、锗在室温下开始发生弱简并时的杂质浓度为多少？
20000314105.11060
03
514
2
10020314151503
415
2100203
15003
19026.0013
.0000003
1819
2
100,104500)4(276.0ln 026.0ln
/1075.3106)105.1(/106106.4102.53/1089.4106.4)105.1(/106.4223.0ln 300)2(/1007.4)21()exp(21()
exp(21/1048.93.014
.3108.22)1(2026.01.2010
14
i D A i i
i F i D A i D C C D c F D
F D D
F D
D c
F C n p n N p N n cm n K eV n p T k E E cm p n n cm N N p cm
n n p cm N n eV
E N N
T k E E K cm e n T k E E n N T
k E E N n n cm F N n T k E E =+=+⨯=-==-=-⨯=⨯⨯==⨯=⨯-⨯=-=⨯=⨯⨯==⨯==-=+=⨯=+=-+=∴-+=
=⨯=⨯⨯⨯=
-=
∴==--⨯⨯+处于过度区时：）（时杂质全部电离
，发生弱减并）（π
)(/107.121)2(14
.31005.12)
/1081.7)21(1.014
.3108.2221)2(22)
exp(212.
21318026
.00394.02119
3
18026
.0008
.019
026
.0008
.02100021Ge cm e F N Si cm e
e F N N T k E E T
k E E N T k E E F N Ge si D C
D F C D F D C F C
⨯=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-⨯⨯=
⨯=+⨯⨯⨯⨯=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-==--+=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡----（发生弱减并ππ
22.利用上题结果，计算掺磷的硅、锗的室温下开始发生弱简并时有多少施主发生电离？导带中电子浓度为多少？
第四章习题及答案
1.300K 时，Ge 的本征电阻率为47Ωcm ，如电子和空穴迁移率分别为3900cm 2/(
V.S)和1900cm 2/(
V.S)。

试求Ge 的载流子浓度。

解：在本征情况下，i n p n ==,由)
(/p n i p n u u q n pqu nqu +=
+=
=1
11σρ知3
1319
102921900390010
6021471
1
--⨯=+⨯⨯⨯=
+=
cm u u q n p n i .)
(.)
(ρ2.试计算本征Si 在室温时的电导率，设电子和空穴迁移率分别为1350cm 2/(V.S)和500cm 2/(V.S)。

当掺入百万分之一的As 后，设杂质全部电离，试计算其电导率。

比本征Si 的电导率增大了多少倍？
解：300K 时，)/(),/(S V cm u S V cm u p n ⋅=⋅=225001350，查表3-2或图3-7可知，室温下Si 的本征载流子浓度约为3101001-⨯=cm n i .。

本征情况下，
cm
S +.u u q n pqu nqu -p n i p n /.)()(6191010035001350106021101-⨯=⨯⨯⨯⨯=+=+=σ金钢石结构一个原胞内的等效原子个数为8421
6818=+⨯+⨯个，查看附录B 知
Si 的晶格常数为0.543102nm，则其原子密度为
3
223
71051054310208--⨯=⨯cm )
.(。

掺入百万分之一的As,杂质的浓度为316221051000000
1
105-⨯=⨯
⨯=cm N D ，杂
3
18026
.00394
.01803
18026
.0008.018
0001018.121107.1:101.3211081.7:)
exp(21--+--++
⨯=+⨯==⨯=+⨯=
=-+=
=cm e
n n Ge cm e
n n Si T
k E E N n n D D
D
F D
D
质全部电离后，i D n N >>，这种情况下，查图4-14（a ）可知其多子的迁移率为800cm 2/(V.S)
cm
S .qu N -n D /.'
'468001060211051916=⨯⨯⨯⨯=≈σ比本征情况下增大了66
101210
346⨯=⨯=-..'σσ倍3.电阻率为10Ω.m 的p 型Si 样品，试计算室温时多数载流子和少数载流子浓度。

解：查表4-15(b)可知，室温下，10Ω.m 的p 型Si 样品的掺杂浓度N A 约为
3151051-⨯cm .,查表3-2或图3-7可知，室温下Si 的本征载流子浓度约为3101001-⨯=cm n i .,i
A n N >>3
151051-⨯=≈cm N p A .3
415
2102
107610
511001-⨯=⨯⨯==cm p n n i ..).(4.0.1kg 的Ge 单晶，掺有3.2⨯10-9kg 的Sb，设杂质全部电离，试求该材料的电阻率[μn =0.38m 2/(V.S),Ge 的单晶密度为5.32g/cm 3,Sb 原子量为121.8]。

解：该Ge 单晶的体积为：381832
51000
10cm V ...=⨯=
;
Sb 掺杂的浓度为：3
142391042881810025681211000
1023cm N D ⨯=⨯⨯⨯⨯=-../...查图3-7可知，室温下Ge 的本征载流子浓度313102-⨯≈cm n i ，属于过渡区
3
141413010681048102-⨯=⨯+⨯=+=cm N p n D ..cm nqu n ⋅Ω=⨯⨯⨯⨯⨯=≈
=-911038010602110681
114
1914..../σρ5.500g 的Si 单晶，掺有4.5⨯10-5g 的B ，设杂质全部电离，试求该材料的电阻率[μp =500cm 2/(V.S),硅单晶密度为2.33g/cm 3,B 原子量为10.8]。

解：该Si 单晶的体积为：3621433
2500
cm V ..==
;B 掺杂的浓度为：3
16235
1017162141002568
101054cm N A ⨯=⨯⨯⨯=-../...
查表3-2或图3-7可知，室温下Si 的本征载流子浓度约为3101001-⨯=cm n i .。

因为i A n N >>，属于强电离区，3
1610121-⨯=≈cm N p A .cm pqu p ⋅Ω=⨯⨯⨯⨯=≈
=-11500
106021101711
1119
16.../σρ6.设电子迁移率0.1m 2/(V ∙S),Si 的电导有效质量m c =0.26m 0,加以强度为104V/m 的电场，试求平均自由时间和平均自由程。

解：由c
n
n m q τμ=
知平均自由时间为s
.q m -c n n 1319311048110602110108926010⨯=⨯⨯⨯⨯==--)./(.../μτ平均漂移速度为
134********-⨯=⨯==ms .E v n .μ平均自由程为
m
.v l n 1013310481104811001--⨯=⨯⨯⨯==..τ7长为2cm 的具有矩形截面的G e 样品，截面线度分别为1mm 和2mm，掺有1022m -3受主，试求室温时样品的电导率和电阻。

再掺入5⨯1022m -3施主后，求室温时样品的电导率和电阻。

解：31632210011001--⨯=⨯=cm .m .N A ，查图4-14（b ）可知，这个掺杂浓度下，Ge 的迁移率p u 为1500cm 2/(V.S),又查图3-7可知，室温下Ge 的本征载流子浓度313102-⨯≈cm n i ，i A n N >>，属强电离区，所以电导率为
cm
pqu p
⋅Ω=⨯⨯⨯⨯==-42150010602110011916...σ电阻为
Ω=⨯⨯=⋅==7412
010422
....s l s l R σρ
掺入5⨯1022m -3施主后
3
1632210041004--⨯=⨯=-=cm .m .N N n A D 总的杂质总和3161006-⨯=+=cm .N N N A D i ，查图4-14（b ）可知，这个浓度下，
Ge 的迁移率n u 为3000cm 2/(V.S),
cm
nqu nqu n n ⋅Ω=⨯⨯⨯⨯===-219300010602110041916...'σ电阻为
Ω=⨯⨯=⋅==252
0102192....'s l s l R σρ
8.截面积为0.001cm 2圆柱形纯Si 样品，长1mm,接于10V 的电源上，室温下希望通过0.1A 的电流，问：①样品的电阻是多少？②样品的电阻率应是多少？③应该掺入浓度为多少的施主？解：①样品电阻为Ω===
1001
010.I V R ②样品电阻率为cm
l Rs ⋅Ω=⨯==11
0001
0100..ρ③查表4-15（b ）知，室温下，电阻率cm ⋅Ω1的n 型Si 掺杂的浓度应该为
315105-⨯cm 。

9.试从图4-13求杂质浓度为1016cm -3和1018cm -3的Si，当温度分别为-50O C 和+150O C 时的电子和空穴迁移率。

解：电子和空穴的迁移率如下表，迁移率单位cm 2/(V.S)
浓度温度
1016cm -31018cm -3
-50O
C +150O
C -50O
C +150O
C 电子2500750400350空穴
800
600
200
100
10.试求本征Si 在473K 时的电阻率。

解：查看图3-7，可知，在473K 时，Si 的本征载流子浓度3141005-⨯=cm n i .，在这个浓度下，查图4-13可知道)/(s V cm u n ⋅≈2600，)
/(s V cm u p ⋅≈2400cm u u q n p n i i i ⋅Ω=+⨯⨯⨯⨯=
+=
=-5126004001060211051
1119
14.)
(.)
(/σρ11.截面积为10-3cm 2,掺有浓度为1013cm -3的p 型Si 样品，样品内部加有强度为103V/cm 的电场，求；
①室温时样品的电导率及流过样品的电流密度和电流强度。

②400K 时样品的电导率及流过样品的电流密度和电流强度。

解：
①查表4-15（b ）知室温下，浓度为1013cm -3的p 型Si 样品的电阻率为
cm ⋅Ω≈2000ρ，则电导率为cm S //41051-⨯≈=ρσ。

电流密度为2345010105cm A E J /.=⨯⨯==-σ电流强度为A
Js I 431051050--⨯=⨯==.②400K 时，查图4-13可知浓度为1013cm -3的p 型Si 的迁移率约为
)/(s V cm u p ⋅=2500，则电导率为cm S pqu p /.4191310850010602110--⨯=⨯⨯⨯==σ电流密度为2348010108cm A E J /.=⨯⨯==-σ电流强度为A
Js I 431081080--⨯=⨯==.12.试从图4-14求室温时杂质浓度分别为1015，1016，1017cm -3的p 型和n 型Si 样品的空穴和电子迁移率，并分别计算他们的电阻率。

再从图4-15分别求他们的电阻率。

浓度（cm -3）
1015
1016
1017
N 型P 型N 型P 型N 型
P 型迁移率(cm 2/(V.S))（图4-14）13005001200420
690240电阻率ρ(Ω.cm)
4.812.50.52 1.50.09
0.26
电阻率ρ(Ω.cm)（图4-15）
4.5
14
0.54 1.6
0.0850.21
硅的杂质浓度在1015
-1017
cm -3
范围内，室温下全部电离，属强电离区，D N n ≈或
A
N p ≈电阻率计算用到公式为p pqu 1=
ρ或n
nqu 1
=ρ13.掺有1.1⨯1016硼原子cm -3和9⨯1015磷原子cm -3的S i 样品，试计算室温时多数载流子和少数载流子浓度及样品的电阻率。

解：室温下，Si 的本征载流子浓度3
101001cm n i /.⨯=有效杂质浓度为：i D A n cm N N >>⨯=⨯-⨯=-3
1515161021091011/.，
属强电离区
多数载流子浓度3
15102cm N N p D A /⨯=-≈少数载流子浓度3
415
2002
105102101cm
p n n i /⨯=⨯⨯==总的杂质浓度316102cm N N N D A i /⨯=+≈，查图4-14（a ）知，
,/s V cm u p ⋅≈2400多子s V cm u n ⋅≈/21200少子电阻率为
cm .qp u nqu pqu -p n p ..Ω=⨯⨯⨯⨯=≈+=
87400
1021060211
1115
19ρ14.截面积为0.6cm 2、长为1cm 的n 型GaAs 样品，设u n =8000
cm 2/(V ∙S),n=1015cm -3，试求样品的电阻。

解：cm .nqu -n ..Ω=⨯⨯⨯⨯==
7808000
1011060211
11519ρ电阻为Ω=⨯==31601780../.s
l
R ρ
15.施主浓度分别为1014和1017cm -3的两个Ge 样品，设杂质全部电离：①分别计算室温时的电导率；
②若于两个GaAs 样品，分别计算室温的电导率。

解：查图4-14（b）知迁移率为施主浓度样品1014cm -31017cm -3
Ge 48003000GaAs 8000
5200
Ge 材料，
浓度为1014
cm -3
，cm
S .nqu -n /.077048001011060211419=⨯⨯⨯⨯==σ浓度为1017
cm -3
，cm
S .nqu -n /.14830001011060211719=⨯⨯⨯⨯==σ
GaAs 材料，
浓度为1014cm -3，cm S .nqu -n /.128080001011060211419=⨯⨯⨯⨯==σ浓度为1017cm -3，cm
S .nqu -n /.38352001011060211719=⨯⨯⨯⨯==σ16.分别计算掺有下列杂质的Si，在室温时的载流子浓度、迁移率和电阻率：①硼原子3⨯1015cm -3;
②硼原子1.3⨯1016cm -3+磷原子1.0⨯1016cm -3③磷原子1.3⨯1016cm -3+硼原子1.0⨯1016cm
④磷原子3⨯1015cm -3+镓原子1⨯1017cm -3+砷原子1⨯1017cm -3。

解：室温下，Si 的本征载流子浓度3101001cm n i /.⨯=，硅的杂质浓度在1015-1017cm -3范围内，室温下全部电离，属强电离区。

①硼原子3⨯1015cm -3
3
15103cm
N p A /⨯=≈3
415
202
1033103101cm
p n n i /.⨯=⨯⨯==查图4-14（a）知，s
V cm p ⋅=/2480μcm .qN u -A p ..Ω=⨯⨯⨯⨯==
34480
1031060211
115
19ρ②硼原子1.3⨯1016cm -3+磷原子1.0⨯1016cm -3
315316103100131cm cm N N p D A //)..(⨯=⨯-=-≈,
3415
202
1033103101cm
p n n i /.⨯=⨯⨯==3161032cm N N N D A i /.⨯=+=，查图4-14（a）知，s
V cm p ⋅=/2350μcm .qp u -p ..Ω=⨯⨯⨯⨯=≈
95350
1031060211
11519ρ③磷原子1.3⨯1016cm -3+硼原子1.0⨯1016cm
315316103100131cm cm N N n A D //)..(⨯=⨯-=-≈,
3415
202
1033103101cm
n n p i /.⨯=⨯⨯==
3161032cm N N N D A i /.⨯=+=，查图4-14（a）知，s
V cm n ⋅=/21000μcm .qp u -n ..Ω=⨯⨯⨯⨯=≈
121000
1031060211
11519ρ④磷原子3⨯1015cm -3+镓原子1⨯1017cm -3+砷原子1⨯1017cm -3
3
15
2
1103cm N N N n D A D /⨯=+-≈,3
415
202
1033103101cm
n n p i /.⨯=⨯⨯==3172110032cm N N N N D D A i /.⨯=++=，查图4-14（a）知，s
V cm n ⋅=/2500μcm .qp u -n ..Ω=⨯⨯⨯⨯=≈
24500
1031060211
115
19ρ17.①证明当u n ≠u p 且电子浓度n=n i p n i n p u u n p u u =,时，材料的电导率最小，并求σmin 的表达式。

解：n
p i n p nqu qu n n
nqu pqu +=+=2
σp i n p i u n
n q dn d u u n
n q dn d 32
2222
2=+-=σ
σ
),(令p
u i n p i n p i u u n p u u n n u u n
n dn d /,/)(==⇒=+-⇒=0022
σ
223
2
2
2>===p
p i n n p n
p n p i i
u u n n u u n u u q
u u u u u n n q
dn d n
p i /)/(/σ因此，n p i u u n n /=为最小点的取值
p
u i n n p i p p u i u u qn u u u n u u u n q 2=+=)//(min σ②试求300K 时Ge
和Si 样品的最小电导率的数值，并和本征电导率相比较。

查表4-1，可知室温下硅和锗较纯样品的迁移率
Si:cm
S u u qn p u i /..min 7101910732500145010110602122--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==σcm
S u u qn n p i i /.)(.)(61019101235001450101106021--⨯=+⨯⨯⨯⨯=+=σGe:cm
S u u qn p u i /..min 61019103881800380010110602122--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==σcm
S u u qn n p i i /.)(.)(610191097818003800101106021--⨯=+⨯⨯⨯⨯=+=σ
18.InSB 的电子迁移率为7.5m 2/(V ∙S),空穴迁移率为0.075m 2/(V ∙S),室温时本征载流子浓度为1.6⨯1016cm -3,试分别计算本征电导率、电阻率和最小电导率、最大电导率。

什么导电类型的材料电阻率可达最大。

解：cm
S u u qn n p i i /.)(..)(21947507500010611060211619=+⨯⨯⨯⨯=+=-σcm
i i ../Ω==05201σρ借用17题结果
cm S u u qn p u i /...min 4538750750001061106021221619=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-σcm
...//min max Ω===0260161211σρ当p u i n p i u u n p u u n n /,/==时，电阻率可达最大，这时
7507500075000750//i i n p n n =<=，这时为P 型半导体。

19.假设S
i 中电子的平均动能为3k 0T /2，试求室温时电子热运动的均方根
速度。

如将S i 置于10V/cm 的电场中，证明电子的平均漂移速度小于热运动速度，设电子迁移率为15000cm 2/(V ∙S).如仍设迁移率为上述数值，计算电场为104V/cm 时的平均漂移速度，并与热运动速度作一比较，。

这时电子的实际平均漂移速度和迁移率应为多少？20.试证G e 的电导有效质量也为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=t c m m m 213111第五章习题
1.在一个n 型半导体样品中，过剩空穴浓度为1013cm -3,空穴的寿命为100us。

计算空穴的复合率。

2.用强光照射n 型样品，假定光被均匀地吸收，产生过剩载流子，产生率为,
空穴寿命为τ。

s cm p
U s cm p U
p
31710
10010
313/10U 100,/10613
==∆=
====∆-⨯∆-τ
τμτ得：解：根据？求：已知：
（1）写出光照下过剩载流子所满足的方程；（2）求出光照下达到稳定状态时的过载流子浓度。

3.有一块n 型硅样品，寿命是1us，无光照时电阻率是10Ω∙cm。

今用光照射该样品，光被半导体均匀的吸收，电子-空穴对的产生率是1022cm -3∙s-1,试计算光照下样品的电阻率，并求电导中少数在流子的贡献占多大比例？
4.一块半导体材料的寿命τ=10us，光照在材料中会产生非平衡载流子，试求光照突然停止20us 后，其中非平衡载流子将衰减到原来的百分之几？
τ
τ
τ
ττ
g p g p dt
p d g Ae
t p g p dt p d L L t
L
=∆∴=+∆-∴=∆+=∆+∆-=∆∴-.
00
)2()(达到稳定状态时，方程的通解：梯度，无飘移。

解：均匀吸收，无浓度cm
s pq nq q p q n pq np cm
q p q n cm g n p g p
p n p n p n p
n L /06.396.21.0500106.1101350106.11010.0:101
:1010100
.1916191600'0003
16622=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=∆+∆++=+=Ω=+==⨯==∆=∆=+∆-
----μμμμμμσμμρττ
光照后光照前光照达到稳定态后%
2606
.38.006.3500106.1109.,..
32.01
19161
0''==⨯⨯⨯=∆∴∆>∆Ω==-σσ
ρp
u p p p p cm 的贡献主要是所以少子对电导的贡献献
少数载流子对电导的贡 。

后，减为原来的光照停止%5.1320%5.13)
0()
20()0()(1020
s e p p e
p t p t
μτ
==∆∆∆=∆--
5.n 型硅中，掺杂浓度N D =1016cm -3,光注入的非平衡载流子浓度∆n=∆p=1014cm -3。

计算无光照和有光照的电导率。

6.画出p 型半导体在光照（小注入）前后的能带图，标出原来的的费米能级和光照时的准费米能级。

E c E i
E v
E c E
F E i E v
E Fp
E Fn
光照前
光照后
7.掺施主浓度N D =1015cm -3的n 型硅，由于光的照射产生了非平衡载流子∆n=∆p=1014cm -3。

试计算这种情况下的准费米能级位置，并和原来的费米能级作
比较。

cm
s q n qu p q n p
p p n n n cm p cm n cm p n cm n K T n p n i /16.21350106.110:,/1025.2,10/10.105.1,30019160000003403160314310=⨯⨯⨯=≈+=∆+=∆+=⨯===∆=∆⨯==---μμσ无光照则设半导体的迁移率）
本征空穴的迁移率近似等于的半导体中电子、注：掺杂有光照131619140010(/19.20296.016.2)5001350(106.11016.2)(:
--=+=+⨯⨯⨯+≈+∆++=+=cm cm
s nq q p q n pq nq p n p n p
n μμμμμμσ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-=-==+⨯=
+=∆+=⨯=+=∆+=-T k E E e n p T k E E e n n cm
N n
p p p cm n n n FP i i
o i Fn i D
i 014
1415
2
1014
2
03
15141503/101010)105.1(10/101.11010 度强电离情况，载流子浓0.0517eV P F
E F E 0.0025eV
F
E n
F E 0.289eV 1010
1.514
10Tln 0k i
n
D
N
Tln o k i E F E 平衡时0.229eV 1010
1.514
10Tln 0
k i E FP E
i P
P
Tln 0k i E FP E
0.291eV 10101.515
101.1Tln 0
k i E Fn E i
n
n
Tln 0k i E Fn E
=-=-∴=⨯==--=⨯-=--==⨯⨯=-+=∴
8.在一块p 型半导体中，有一种复合-产生中心，小注入时，被这些中心俘获的电子发射回导带的过程和它与空穴复合的过程具有相同的概率。

试求这种复合-产生中心的能级位置，并说明它能否成为有效的复合中心？
9.把一种复合中心杂质掺入本征硅内，如果它的能级位置在禁带中央，试证明小注入时的寿命τ=τn+τp。

10.一块n 型硅内掺有1016cm -3的金原子，试求它在小注入时的寿命。

若一块p 型硅内也掺有1016cm -3的金原子，它在小注入时的寿命又是多少？
s N r r Au Si p s N r r A Si n cm N t n n n t p p p t 916
81016
173
16106.110
103.611106.810
1015.111u 10--+----⨯=⨯⨯==
⨯=⨯⨯==
=ττ决定了其寿命。

对少子电子的俘获系数中，型。

决定了少子空穴的寿命对空穴的俘获系数中，型11.在下述条件下，是否有载流子的净复合或者净产生：
T
k E E e
n p p p p p pn r k E E e
n n r pn r n T
k E E e
n r n n r n s n N o F i i t
p o i
t i t n t n t
o i
t i n t n t n t t -≈∆+=<<∆=--==001T ,.小注入：由题知，从价带俘获空穴向导带发射电子被电子占据复合中心接复合理论：解：根据复合中心的间不是有效的复合中心。

代入公式
很小。

,11,;011t
p t n o F i i t p n o F
i i p o i t i n N r N r p n p n E E E E r r T
k E E e n r T k E E e
n r +=
=-=-∴≈-=-τT
k E E c T
k E E c T
k E E c T
k E E c n p t p n i
T i
F V T T C o V F F c e
N p e
N n e
N p e N n p p n r r p p p r p n n r E E E E Si 0001100001010;;)(N )()(:
:--
--
--
--====∆++∆+++∆++=
== τ根据间接复合理论得复合中心的位置本征n
p n
t p t n p t p n p t n T i F r N r N p n n r r N p n n r p n n r r N p n n r p n p n E E E τττ+=+=
∆++∆+++
∆++∆++======1
1)()()()
(000000001
100所以：因为：
（1）在载流子完全耗尽（即n,p 都大大小于n i ）半导体区域。

（2）在只有少数载流子别耗尽（例如，p n <<p n0，而n n =n n0）的半导体区域。

（3）在n=p 的半导体区域，这里n>>n i0
12.在掺杂浓度N D =1016cm -3，少数载流子寿命为10us 的n 型硅中，如果由于外界作用，少数载流子全部被清除，那么在这种情况下，电子-空穴对的产生率是多大？（E t =E i ）。

产生复合率为负，表明有净载流子完全耗尽，0
0,0)1()()()(1
12112<+-=
≈≈+++-=
p r n r n r r N U p n p p r n n r n np r r N U p n i p n t p n i
p n t 产生
复合率为负，表明有净结，（反偏，只有少数载流子被耗尽0
)(),)2()
()()(1
1200112<++-=
≈<<+++-=
p r n n r n r r N U n n p p pn p p r n n r n np r r N U p n i p n t n n n n p n i p n t 复合
复合率为正，表明有净（0
)
()()
,)3()
()()(112
2112>+++-=
>>=+++-=
p n r n n r n n r r N U n n p n p p r n n r n np r r N U p n i p n t i p n i p n t 0
31603
402
03160,0,0,10/1025.2,10p p n p cm n n cm n n p cm N n i D -=∆=∆===⨯====i
T
k E E v T
k E E v i T k E E c T k E E c p n i p n t p n i p n t n e
N e N p n e N e N n p r n n r n r r N p p r n n r n np r r N U o v i v i c C ======++-=
+++-=
--
------0T 00T
111
102112)()()()(s cm p p r N n r n r r N n r n r n r n r r N p
p t n i p n t i p i n o n i p n t 396
40
00
2
2/1025.210
101025.2U ⨯-=⨯⨯-=-
=-=-
≈++-=-
13.室温下，p 型半导体中的电子寿命为τ=350us ，电子的迁移率u n =3600cm -2/(V ∙s)。

试求电子的扩散长度。

14.设空穴浓度是线性分布，在3us 内浓度差为1015cm -3,u p =400cm 2/(V ∙s)。

试
计算空穴扩散电流密度。

15.在电阻率为1Ω∙cm 的p 型硅半导体区域中，掺金浓度N t =1015cm -3,由边界稳定注入的电子浓度（∆n）0=1010cm -3,试求边界处电子扩散电流。

cm
q
T
k D L q
T
k D q T k D n n n n n n o n n 18.0103503600026.0600=⨯⨯⨯==
==
=-μτμμ：解：根据爱因斯坦关系2
4
15
00/55.510310400026.0cm A x p
T k x
p q T k q dx
p d qD J p
p
P
P =⨯⨯
⨯=∆∆=∆∆=∆-=-μμs
N r n cm N Si p g n x E n x n
E x n D t n t n n t p p p p p 8
15
831522106.110103.61110:
---⨯=⨯⨯==∆=-+∆-∂∂+∂∆∂-∂∆∂=∂∆∂ττμμ遇到复合中心复合
的复合中心内部掺有由于根据少子的连续性方程0,0,,2
22
2=∆-∆=∆-∆∆n n n P D n dx n d n x n d D ττ达到稳定分布无产生率无电场n
n n L x L x
D L Be
Ae
x n n
n
τ=+=∆+
-,)(:方程的通解为0
0000
002)()(0)(,)0(,0:
n T k q
n D q
D n qD L n qD dx x n d qD J e n x n n x n n x n
n
n
n
n
n o n
n
n
x n n Ln
x ∆=∆=∆=∆=∆=∴∆=∆∴=∞∆∞=∆=∆==-τμττ边界条件。