【最新北师大版】数学八下易错题(含答案)

八年级下册易错题
第一章 三角形的证明
1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝.则该等腰三角形的周长是（D ）
A ．7㎝
B ．9㎝
C ．12㎝或者9㎝
D ．12㎝
考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边.等腰三角形两腰相等.
因此只能是：5cm.5cm,2cm.
2.一个等腰三角形的一个角是40°.则它的底角是（D ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．40°或70°
考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：①当40°是顶角时.底角就是70°；②40°就是一个底角.
3.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm.则最长边上的高是（D ）
A.2.4cm
B.3cm
C.4cm
D. 4.8cm
提示：设最长边上的高为h,由题意可得△ABC 是直角三角形.利用面积相等求.即h .10.2
18.6.21 解得h=4.8
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300
.腰长为6.则其底边上的高是3或33. 解：①三角形是钝角三角形时.如图1.∵∠ABD=30°
∴AD=21AB=2
1×6=3. ∵AB=AC. ∴∠ABC=∠ACB=
21∠BAD=21(90°-30°)=30°. ∴∠ABD=∠ABC.
∴底边上的高AE=AD=3；
②三角形是锐角三角形时.如图2.∵∠ABD=30°
∴∠A=90°-30°=60°.
∴△ABC 是等边三角形. ∴底边上的高为2
3×6=33 综上所述.底边上的高是3或33
5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B ）的交点.
A.三个内角平分线
B.三边垂直平分线
C.三条中线
D.三条高 考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等.为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三
边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等.为角平分线的交点.此时的距离有“垂直”】
6.如图.在△ABC 中.AB=5.AC=3.BC 的垂直平分线交AB 于D.交BC 于E.则△ADC 的周长等于8
考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°. 答案：已知：△ABC , 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°
证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°.即每一内角都大于60°
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°
考查知识：反证法.用反证法进行证明时先写出已知、求证.再假设求证的反面成立.推出与题设、定理等相矛盾的结论.从而肯定原结论成立【注意：反证法一般很少用到.除非是题目要求用反证法证明.否则一般不考虑该方法】
8. 如图所示.∠AOB=30°.OC 平分∠AOB .P 为OC 上任意一点.PD∥OA 交OB 于点D.PE⊥OA 于点E.若PE=2cm.则PD=_________cm ．
解：过点P 作PF ⊥OB 于F.
∵∠AOB=30°.OC 平分∠AOB.
∴∠AOC=∠BOC=15°.
∵PD ∥OA.
∴∠DPO=∠AOP=15°.
∴∠DPO=∠AOP=15°.
∴∠BOC=∠DPO.
∴PD=OD=4cm.
∵∠AOB=30°.PD ∥OA.
∴∠BDP=30°.
∴在Rt △PDF 中.PF=2
1PD=2cm. ∵OC 为角平分线.PE ⊥OA.PF ⊥OB,
∴PE=PF.∴PE=PF=2cm
9.如图.在△ABC中.∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M.交AC于N.若BM+CN=9.则线段MN的长为（） A.6 B.7 C.8 D.9
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E.
∴∠MBE=∠EBC.∠ECN=∠ECB.
∵MN∥BC.
∴∠EBC=∠EBC.∠ECN=∠ECB.
∴BM=ME.EN=CN.
∴MN=BM+CN.
∵BM+CN=9.
∴MN=9
B. C.
13.如图.在△ABC 中.AD 是中线.AE 是角平分线.CF ⊥AE 于点F.AB=5,AC=2,则DF 的长为2
3.
解：延长CF 交AB 于点G.
∵AE 平分∠BAC.
∴∠GAF=∠CAF.
∵AF 垂直CG.
∴∠AFG=∠AFC.
在△AFG 和△AFC 中.
∴△AFG ≌△AFC （ASA ）
∴AC=AG.GF=CF.
又∵点D 是BC 的中点.
∴DF 是△CBG 的中位线.
∴DF=21BG=21（AB-AG ）=21（AB-AC ）=2
3
点评：本题考查了三角形的中位线定理.解答本题的关键是作出辅助线.一般出现既是角平分线又是高的情况.我们就需要寻找等腰三角形．
14.如图.在△ABC中.AD为∠BAC的平分线.FE垂直平分AD.交AD于E.交BC的延长线于F. 求证：∠CAF=∠B.
解：∠B=∠CAF.
∵FE垂直平分AD.
∴FA=FD.
∴∠FAD=∠ADF
∵AD为∠BAC的平分线.
∴∠CAD=∠BAD
又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD.∠B=∠ADF-∠BAD.
∴∠B=∠CAF
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点. 15.如图.OA、OB表示两条相交的公路.点M、N是两个工厂.现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P.使中转站到公路OA、OB的距离相等.并且到工厂M、N的距离也相等.用尺规作出货物中转站P的位置．
解：①作∠AOB的角平分线；
②连接MN.作MN的垂直平分线.交OM于一点.交点就是所求货物中转站的位置．
16. 如图.在△ABC中.∠C=90°.AD平分∠CAB.交CB于点D.过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°.CD=1.求BD的长．
(1)证明：∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵DE⊥AB.∠C=90°.
∴∠ACD=∠AED=90°
又∵AD=AD.
∴△ACD≌△AED
（2）解：∵△ACD≌△AED
∴DE=CD=1
∵∠B=30°.∠DEB=90°.
∴BD=2DE=2
17.如图.△ABC中.AB=BC.BE⊥AC于点E.AD⊥BC于点D.∠BAD=45°.AD与BE交于点F.连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=.求AD的长．
（1）证明：
∵AD⊥BC.∠BAD=45°
∴∠ABD=∠45°=∠BAD
∴AD=BD
∵BE⊥AC
∴∠CAD+∠AFE=90°
∵AD⊥BC
∴∠FBD=∠BFD=90°
又∠AFE=∠BFD
∴∠CAD=∠FBD
又∠ADC=∠BDF=90°
∴△ADC≌△BDF
∴AC=BF
∵AB=BC.BE⊥AC
∴AC=2AE
∴BF=2AE
(2)解：设AD=x.则BD=x
∴AB=BC=2+x
∵△ABD 是等腰直角三角形
∴AB=2AD ∴2+x=2x
解得x=2+2
即AD=2+2
18.如图.已知△ABC 是等边三角形.D 、E 分别在BA 、BC 的延长线上.且AD=BE.
求证：DC=DE
证明：
延长BE 至F.使EF=BC
∵△ABC 是等边三角形
∴∠B=60°.AB=BC
∴AB=BC=EF
∵AD=BE.BD=AB+AD, BF=BE+EF
∴BD=BF
∴△BDF 是等边三角形
∴∠F=60°.BD=FD
在△BCD 和△FED 中.
BC=EF
∠B=∠F=60°
BD=FD
∴△BCD ≌△FED （SAS ）
∴DC=DE
19.如图.在△ABC 中.AC=BC.∠ACB=90°.D 是AC 上一点.AE ⊥BD 交BD 的延长线于E.且AE=2
1BD.求证：BD 是∠ABC 的角平分线.
证明：
延长AE 、BC 交于点F
∵AE ⊥BE
∴∠BEF=90°.又∠ACF=∠ACB=90°
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△ACF 和△BCD 中
∴△ACF ≌△BCD （ASA ）
∴AF=BD
又AE=2
1BD ∴AE=EF,即点E 是AF 的中点
∴AB=BF
∴BD 是∠ABC 的角平分线
20.如图.在△ABC 中.分别以AC 、AB 为边.向外作正△ACD.正△ABE.BD 与AE 相交于F.连接AF.求证：AF 平分∠DME
证明：
过点A 分别作AM ⊥BD,AN ⊥CE,分别交BD.CE 于M.N 两点
∵△ABE 和△ACD 均为等边三角形.
∴∠EAB=∠CAD=60°.AD=AC.AB=AE
∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC.
∴△EAC ≌△BAD.
∴ AM BD S AN CE S BAD EAC .2
1.21===V V CE=BD ∴AN=AM
∴AF 平分∠DME （在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）
21.如图.已知：AB=AC.∠A=90°.AF=BE,BD=DC.求证：FD ⊥ED.
证明：连接AD.
∵∠A=90° AB=AC D 是BC 的中点
∴AD ⊥BC ∠ADB=90° ∠B=45°=∠CAD AD=BD （直角三角形中.中线等于斜边的一半）且BE=AF
∴易证△BED ≌△AFD （SAS ）
∴∠BDE=∠ADF ∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
∴ED ⊥FD
第二章 不等式(组)
就不取】
【自己做】（1）已知关于x 的方程3k －5x ＝－9的解是非负数.求k 的取值范围.
(2) 已知关于x 的不等式（1-a ）x ＞2的解集为x ＜
a -12 .则a 的取值范围是a ＞1. 提示：利用不等式的基本性质三：a-1＜0
（3）如果不等式组⎩
⎨⎧<+>-00b x a x 的解集是3<x <5,那么a=3,b=-5. 提示：解得不等式组的解集为：a<x <-b
而不等式组的解集为：3<x <5
∴a=3,b=-5
(4) 如果不等式 ⎩
⎨⎧><m x x 8 无解,那么m 的取值范围是 （B ） A ．m ＞8 B.m ≥8 C.m ＜8 D.m ≤8
提示：不等式组无解的条件是：比大的还大.比小的还小；∴m ≥8【“=”一定要考虑.这个题取“=”就满足题意】
(5)如果不等式组⎩
⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是3>x .则m 的取值范围是(A )． A ．m≤3 B ． m≥3 C ．m=3 D ．m ＜3
提示：不等式组解集：同大取大；解不等式组得
而该不等式组的解集是3>x .∴m≤3【“=”一定要考虑.这个题取“=”就满足题意】
(6)关于x 的不等式组()⎪⎩
⎪⎨⎧->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解.则a 的取值范围是65-＜a ≤3
2-． 解：解该不等式组得
∵有三个整数解
∴2＜x ＜6a+10
∴三个整数解应该是3,4,5
∴5＜6a+10≤6 解得65-＜a ≤3
2- 【自己解答】(7) 若方程组⎩⎨⎧+=++=+3
654,2m y x m y x 的解x .y 均为正数.求m 的取值范围.
提示：先将m 当作已知数.将x 、y 用含m 的式子表示出来.然后利用x .y 均为正数.列出含m 的不等式组.解出m 的取值范围
【自己解】2.解不等式（组）【
】
（1）解不等式12
13312+-≥+）（x x .并将解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+--+<-12153
12)1(315x x x x .并把它的解集表示在数轴上. 3.一元一次不等式（组）与一次函数
利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y 值得大小.函数值（y ）越大.图像越高.函数值（y ）越小.图像越高低.这里一般是让求自变量x 的取值范围.找出与x
轴交点的横坐标（指一元一次不等式）.看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标.然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.
(1)函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数.k ≠0）的图象如图所示.则关于x 的不等
式kx+b>0的解集为（C ）．
A ．x>0
B ．x<0
C ．x<2 D
．x>2
（2）直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示.则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为x<-1
4.一元一次不等式（组）应用题
◆一件商品的进价是500元.标价为600元.打折销售后要保证获利不低于8%.则此商品最多打9折.
商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10
x
解：设可以打x 折．
那么（600×10
x -500）÷500≥8% 解得x ≥9．
故答案为：9．
◆某商贩去菜摊买黄瓜.他上午买了30斤.价格为每斤x 元；下午.他又买了20斤．价格为每斤
y 元．后来他以每斤
2
y x +元的价格卖完后.结果发现自己赔了钱.其原因是（B ） < B ．>
C ．≤
D ．≥
（1）某商场文具部的某种毛笔每支售价25元.书法练习本每本售价5元。

该商场为促销制定了如下两种优惠方式：
第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；
第二种：按购买金额打九折付款。

八年级（2）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支.书法练习本 x （x ≥10）本。

试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱？
（利用一次函数与不等式（组）的知识进行解答）
解：（1）y 1=25×10+（x-10）×5=5x+200； y 2=（25×10+5x ）×0.9=4.5x+225．
（2）①y 1＞y 2时.
即5x+200＞4.5x+225.
解得：x ＞50；
②y 1=y 2时.
即5x+200=4.5x+225.
解得：x=50；
③y 1＜y 2时.
即5x+200＜4.5x+225.
解得x ＜50．
（3）甲方案：25×10+50×5=500元；
乙方案：（25×10+60×5）×0.9=495元；
两种方案买：25×10+50×5×0.9=475元.
（2）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品.为了吸引顾客.各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后.超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后.超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x>300）．
（1）请用含x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
解：（1）设应付金额为y 则
在甲超市购物所付的费用是：y=300+0.8（x-300）=0.8x+60
在甲超市购物所付的费用是：y=200+0.85（x-200）=0.85x+30
(2)①当0.8x+60>0.85x+30时.
解得x＜600.而x＞300
∴300＜x＜600
即顾客购物超过300元且不满600元时.到乙超市更优惠；
②当0.8x+60=0.85x+30时.
解得x=600
∴当顾客购物600元时.到两家超市所付费用相同；
③当0.8x+60＜0.85x+30时.
解得x＞600
∴当顾客购物超过600元时.到甲超市更优惠；
（3）去年6月份广州市某果农收获荔枝30吨.香蕉13吨.现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳.已知甲货车可装荔枝4吨和香蕉1吨。

乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨：
①该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
②若甲种货车每辆要付出运输费2000元。

乙种货车每辆要付出运输费1300元.则该果农应选择哪种方案使运费最少？最少是多少？
解：（1）设安排甲种货车x辆.则安排乙种货车10-x辆.由题意得
解得5≤x≤7
∵x是整数
∴x取5、6、7
因此.安排甲、乙两种货车有三种方案：
方案1：甲种货车5辆.乙种货车5辆；
方案2：甲种货车6辆.乙种货车4辆；
方案3：甲种货车7辆.乙种货车3辆.
(2)方案1需要运费：2000×5+1300×5=16500（元）
方案2需要运费：2000×6+1300×4=17200（元）
方案3需要运费：2000×7+1300×3=17900（元）
∴该果农应选择方案1运费最少.最少运费是16500元.
（4）某工厂计划为震区生产A.B两种型号的学生桌椅500套.以解决1250名学生的学习问题.一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0．5m3.一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0．7m3.工厂现有库存木料302m3．
①有多少种生产方案?
②现要把生产的全部桌椅运往震区.已知每套A型桌椅的生产成本为100元.运费2元；每套B 型桌椅的生产成本为120元.运费4元.求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式.并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用=生产成本+运费）
③按②的方案计算.有没有剩余木料?如果有.请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅.最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有.请说明理由．
解：（1）设生产A型桌椅x套.则生产B型桌椅（500-x）套.由题意得
解得240≤x ≤250
∵x 是整数.
∴有11种生产方案
(2) 由题意得y=（100+2）x+（120+4）×（500-x ）= -22x+62000(240≤x ≤250) ∵-22＜0.
∴y 随x 的增大而减小
∴当x=250时.y 有最小值
∴当生产A 型桌椅250套、B 型桌椅250套时.总费用最少.为-22×250+62000=56500元
（3）有剩余木料.
[302-(05+0.7)×250]÷0.5×2=8
或302-(05+0.7)×250=2＜3
∴有以下几种方案：
① 全部做A 型可做4套.
② 全部做B 型可做2套.
③一部分做A 型一部分做B 型最多3套.
比较可知.应选第①中方案.故最大值应为8
∴最多还可以为8名学生提供桌椅.
（5）本学期我校开展了课外兴趣小组活动.有很多同学参加了书法兴趣小组。

小刚代表兴趣小组的同学去文具店购买毛笔。

一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买毛笔100枝以上（包括100枝）.可以按批发价付款；购买100枝以下（不包括100枝）只能按零售价付款。

小刚来到该店购买毛笔.如果给兴趣小组的同学每人购买一枝.那么只能按零售价付款.需270元；如果多购买10枝.那么可以按批发价付款.同样需270元。

①请问参加书法兴趣小组的同学人数在什么范围内？（3分）
②若按批发价购买10枝与按零售价购买9枝的款相同.那么参加书法兴趣小组的同学有多少人？
解：
① 设有x 人则由题意可得：
∴90≤x ＜100且x 为整数 ②设批发价为m 元.零售价为n 元 则得到 10m=9n 还有条件得
∴xm=(x+10)n ∴10
910==+m n x x 解得 x=90
（6）若干名学生.若干间宿舍.若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人.则有一间宿舍的人不空也不满.问学生有多少人？宿舍有几间？
解：设宿舍有x 间.则学生有4x+20人.由题意可得：
解得：5＜x＜7
∵x为整数.
∴x=6
∴学生有4×6+20=44（人）
答：学生有44人.宿舍有6间.
（7）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板.做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．(1)现有正方形纸板162张.长方形纸板340张．若要做两种纸盒共l00个.按两种纸盒的生产个数来分.有哪几种生产方案?
（2）若有正方形纸板162张.长方形纸板a张.做成上述两种纸盒.纸板恰好用完．已知
<a.求a的值．
290<
306
解：（1）设生产竖式纸盒x个.则生产横式纸盒（100-x）个.由题意得：
解得38≤x≤40
∴有3种生产方案.如下：
方案1：生产竖式纸盒38个.横式纸盒62个；
方案2：生产竖式纸盒39个.横式纸盒61个；
方案3：生产竖式纸盒40个.横式纸盒60个.
（2）设竖式纸盒x个.横式纸盒y个.由题意得：
解得648-5y=a
∵290＜a＜306
∴290＜648-5y＜306
解得68.4＜y＜71.6
∵y为整数.
∴y只能取69、70、71
∴对应的a的取值为303、298、293.
第三章图形的平移与旋转
1.下列图形中.既是轴对称图形又是中心对称图形的有（C）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2.在如图所示的单位正方形网格中.△ABC经过平移后得到△A1B1C1.已知在AC上一点P （2.4.2）平移后的对应点为P1.点P1绕点O逆时针旋转180°.得到对应点P2.则P2点的坐标为（C）
A.(1.4.-1)
B.(1.5.2)
C.(1.6.1)
D.（2.4,1）
3.如图所示.△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的.则这个点的坐标是（0,1）.
解：如图.连接AD、BE.作线段AD、BE的垂直平分线.两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是（0,1）
4.如图.在方格纸上.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请按要求完成下列操作：先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1.再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．
5.如图1.已知：Rt△ABC和Rt△DBE.∠ABC=∠DBE=90°.AB=CB.DB=EB．
（1）如图1.点D在△ABC外.点E在AB边上时.求证：AD=CE.AD⊥CE；
（2）若将（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转.使点E在△ABC的内部.如图2.则（1）中的结论是否仍然成立？请证明；
（3）若将（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转.使点E在△ABC的外部.如图3.请直接写出AD.CE 的数量关系及位置关系．
解：（1）证明：如图图1所示.
在△ABD和△CBE中.
∴△ABD≌△CBE（SAS）
∴AD=CE.∠BAD=∠BCE.
∵∠BCE+∠BEC=90°.∠AEF=∠BEC.
∴∠BAD+∠AEF=90°
∴∠AFE=90°
∴AD⊥CE
（2）（1）中的结论AD=CE.AD⊥CE仍然成立.理由为：
证明：如图图2所示.
∵∠ABC=∠DBE=90°
∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE.即∠ABD=∠CBE
在△ABD和△CBE中.
∴△ABD≌△CBE（SAS）
∴AD=CE.∠BAD=∠BCE.
∵∠BCE+∠BOC=90°.∠AOF=∠BOC.
∴∠BAD+∠AOF=90°
∴∠AFE=90°
∴AD⊥CE
(3) AD=CE.AD⊥CE.理由为：
证明：如图图3所示.设AF和BC相交于点M
∵∠ABC=∠DBE=90°
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC.即∠ABD=∠CBE
在△ABD和△CBE中.
∴△ABD≌△CBE（SAS）
∴AD=CE.∠BAD=∠BCE.
∵∠BAD+∠AMB=90°.∠AMB=∠CMF.
∴∠BCE+∠CMF=90°
∴∠AFC=90°
∴AD⊥CE
6.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠A=30°.点D是AB的中点.DE⊥BC.垂足为点E.连接CD．（1）如图1.DE与BC的数量关系是；
（2）如图2.若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合）.连接DP.将线段DP绕点D 逆时针旋转60°.得到线段DF.连接BF.请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系.并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点.按照（2）中的作法.请在图3中补全图形.并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
解：（1）∵∠ACB=90°.∠A=30°
∴∠B=60°
∵点D 是AB 的中点.
∴DB=DC,
∴△DCB 为等边三角形
∵DE ⊥BC.
∴DE=2
3BC (2) BF+BP=
332DE.理由如下： ∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°.得到线段DF. ∴∠PDF=60°.DP=DF.
而∠CDB=60°
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB.
∴∠CDP=∠BDF.
在△DCP 和△DBF 中
∴△DCP ≌△DBF （SAS ）
∴CP=BF
而CP=BC-BP
∴BF+BP=BC
∵DE=2
3BC ∴BC=3
32DE ∴BF+BP=
332DE （3）如图.与（2）一样可证明△DCP ≌△DBF ∴CP=BF
而CP=BC+BP ∴BF-BP=BC ∴BF-BP=
3
3
2DE 点评：本题考查了全等三角形的判断与性质：判断三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”;全等三角形的对应边相等.也考查了等边三角形的判断与性质以及含30度的直角三角形三边的关系.
第四章 因式分解
★这种变形叫做把这个多项式因式分解.也叫分解因式；【由此可见：分解因式”和“因式分解”实质是一样的（是一回事）】；
★分解因式时一定要分到不能分解为止；如：2
y x -不能再分解了；再如： 22)4(-a 还可
以分解为2
2)2()2(+-a a
★分解因式的方法：①提公因式法；②公式法（平法差公式 完全平方公式）③十字相乘法.
十字相乘法：
简单的概括为：把多项式中第一个和第三个数竖着写成相乘的形式.然后再十字相乘.相加.要等于多项式里中间的那个数.最后横着分解出来即可（如上图） 1.下列从左边到右边的变形.是因式分解的是: （D ） A.12a 2
b=3a ·4ab
B.（x+3）（x －3）=x 2
－9 C.4x 2+8x －1=4x （x+2）－1
D.()()41432
+-=-+x x x x
2.下列各组代数式中没有公因式的是 （B ）
A ．4a 2bc 与8abc 2
B ．a 3b 2+1与a 2b 3
–1
C. b(a –2b)2与a （2b –a ）2
D. x+1与x 2
–1
3.将–x 4
–3x 2
+x 提取公因式–x 后.剩下的因式是)13(3
-+-x x x ．
4.若4a 4–ka 2b+25b 2
是一个完全平方式.则k=±20．【提示：完全平方式有两个.中间是±2ab 】
5.若一个正方形的面积是9m 2+24mn+16n 2
.则这个正方形的边长是n m 43+．
6. 已知x 2+y 2
—4x+6y+13=0.则x=2.y=-3. 提示：0)3()2(2
2
=++-y x
7.若0342=-+x x .那么51232
-+x x 的值为4
提示：由0342=-+x x 得342
=+x x .∴45)4(351232
2
=-+=-+x x x x
8.已知119×21=2499.则119×213－2498×212等于212
.
提示：119×21×212-2498×212=2499×212-2498×212=212×（2499-2498）=212
9.多项式m x x +-42
可以分解为)7)(3(-+x x .则m 的值为（C ） A.3 B.－3 C.－21 D.21
10. 若)32)(32)(94(81)2(2
-++=-x x x x n .则n 等于（B ）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 11.分解因式（我只写了答案.在答卷子时一定要写过程） ①(
)
22
2
41a a -+=2)1(-a 2
)1(+a ②228168ay axy ax -+-=2
)(8y x a -- ③（1）﹣9x 3
+6x 2
﹣x=2
)13(--x x
④a 4
﹣8a 2
+16=2
2)2()2(+-a a
⑤4233ay ax -=))((32
2y x y x a +- ⑥4)()(42
-+-+b a b a =2
)2(-+-b a 12.计算
①2010200820092
⨯-=1120092009)12009()12009(20092
2
2
=+-=+⨯--
②20142
+16﹣8×2014= 20142
﹣8×2014 +16=2
)42014(-=20102
=4040100
③9992
﹣1002×998=
1995
4)1000999)(1000999(41000999)21000()21000(999222-=++-=+-=-⨯+-13．（1）利用因式分解说明：12
7636-能被210整除． 证明：∵11111221212122121412
7
6.2106.6.356.35)16(666.6666
36===-=-=-=-
∴127
636-能被210整除
（2）若c b a 、、是△ABC 的三边.且bc ac ab c b a ++=++2
22.试探索△ABC 的形状.并说明理
由。

解：bc ac ab c b a ++=++222 =2)(2)(222bc ac ab c b a ++=++
=0)2()2()2(222222=+-++-++-c bc b c ac a b ab a =0)()()(222=-+-+-c b c a b a
解得：a=b,a=c,b=c ∴a=b=c
∴△ABC 为等边三角形
14.已知多项式(a 2+ka +25)–b 2
.在给定k 的值的条件下可以因式分解． （1）写出常数k 可能给定的值；【答案】k=±10 （2）针对其中一个给定的k 值.写出因式分解的过程．
解：当k=10时.原式=2
2
)5(b a -+=)5)(5(b a b a ++-+
★★★15.两位同学将一个二次三项式分解因式.一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x ﹣1）（x ﹣9）.另一位同学因看错了常数项而分解成2（x ﹣2）（x ﹣4）.请将原多项式分解因式．
解：因看错一次项.分解为.
所以二次项和常数项对； 因看错常数项.分解为
所以二次项和一次项对 所以原多项式为：
=
16.仔细阅读下面例题.解答问题：
例题：已知二次三项式x 2
﹣4x+m 有一个因式是（x+3）.求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为（x+n ）.得 x 2
﹣4x+m=（x+3）（x+n ）
则x 2﹣4x+m=x 2
+（n+3）x+3n ∴
．
解得：n=﹣7.m=﹣21
∴另一个因式为（x ﹣7）.m 的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x 2
+3x ﹣k 有一个因式是（2x ﹣5）.求另一个因式以及k 的值．
解：设另一个因式为（x+m ）.得2x 2
+3x ﹣k=（2x ﹣5）（x+m ）=2x ²+(2m-5)x-5m
∴2m-5=3 -5m=-k
解得m=4,k=20 ∴另一个因式为：（x+4）
17.根据条件.求下列代数式的值： （1）若x （y ﹣1）﹣y （x ﹣1）=4.求的值；
解：∵x （y ﹣1）﹣y （x ﹣1）=4
∴xy-x-xy+y=4 ∴y-x=4
∴162)(2
2
2
=+-=-x xy y x y ∴xy y x 21622
+=+
∴
82
216222=-+=-+xy xy
xy y x （2）若a+b=5.ab=3.求代数式a 3
b ﹣2a 2b 2
+ab 3
的值．
（3）利用“配方法”分解因式：a 2
－6a+8.
解：原式=)2)(4(1)3(1962
2--=--=-+-a a a a a （4）若a+b=5.ab=6.求：a 4
+b 4
的值. 解：
256x 4)125()(4]2)[(4)(2222222222244=--=--+=-+=+ab ab b a b a b a b a
第五章 分式及分式方程
★分母上含有字母的式子叫分式（不要约分.直接进行判断）如：x
x 2
5也是分式
★分式的基本性质：给分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式.分式的值不变.
★分式有意义：使分母不为零.分子有意义（主要是分子中含有平方根的情况）如：
2
1
54-+-x x 则4x-5≥0
x-2≠0
解得x ≥
4
5
且x ≠2 ★分式值为零：分子为零.且分母不为零；
最简分式：分子分母不能再进行约分的分式叫最简分式 ★分母中含有未知数的等式叫分式方程；
★解分式方程时.解完后一定要检验.若算出的解使公分母为零.则该解为分式方程的增根；若算出的解使公分母不为零.则该解为分式方程的根. ★增根：使公分母为零的根（或解）
1. 已知有理式：4x .a 4 .1x-y .3x 4 .12 x
2.1
a +4其中分式有（B ）A ．2个 B.3个 C.4个
D.5个
▲在盒子里放有三张分别写有整式a+1、a+2、2的卡片.从中随机抽取两张卡片.把两张卡片上的整式分别作为分子和分母.则能组成分式的概率是（C ） A.61 B ．31 C ．32 D ．4
3
2.使分式
2
+x x
有意义的x 取值范围是（D ）A.0≠x B.2≠x C.2->x D.2-≠x ▲若y 与x 的函数关系式是y=1
2
-x .则自变量x 取值范围1≠x .
3. 若分式
y
x y
x -+中的x 、y 的值都变为原来的3倍.则分式的值 （A ） A.不变 B.是原来的3倍 C.是原来的31 D.是原来的6
1 4.若将分式
2
4a
b
a +中的a 与
b 的值都扩大为原来的2倍.则这个分式的值将 （C ） A.扩大为原来的2倍 B.分式的值不变 C.缩小为原来的2
1
D.缩小为原来的41
5.下列各式中最简分式是 （B ） A.
b a 1512 B.162+x x C.331++x x D.a
a
5 6.若分式1
12--x x 的值为零.则x 的值为-1
7.若关于x 的方程
2
1
21--=
-+x m x x 产生增根.则m 是(A ) A.4 B.2 C.3 D.1 ▲若关于x 的分式方程3
232
-=--x m x x 无解.则m 的值为±3 8.若：a b =c d =e f =g h =3.则a ＋c ＋e ＋g b ＋d ＋f ＋h =3；若：m n =23 .则m ＋n
n ＝3
5.
9.若034=-y x .则
y y x -=4
1
- 提示：利用特殊值法：让x=3,y=4 10.如果3=-y x .4=xy .y xy x y xy 32322x -+--那么
=17
2
11.计算
)1(1a
a a a -÷-的结果是
11
+a 12.有一组数是1.43.32.8
5
.……则第100个数是200101
解：1.43.32.85.……=22.4
3.6
4.85…n n 21
+
∴第100个数是
200
101
13.符号“
cd
ab ”称为二阶行列式.规定它的运算法则为：
bc ad cd
ab -=.请你根据上述规定
求出下列等式中的x 的值．
1
1111
2
--x x =1 则x =4． 解：由题意得：11112=---x
x 解得 x=4
经检验.x=4是原方程的根
14.计算题（我只写了答案.在考试时一定要写过程） （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-÷⎪⎭⎫
⎝⎛---21121422
m m m m =1
1+m （2）a a a a a a a 1339
6922
2++-÷++-=0 （3）22
2
24421y xy x y x y x y x ++-÷+-- =y x y +- （4）x x x x x x x ÷--++--22121222=1
2-x x
（5）先化简.再求值.x
x x x x x x x x 41644122
2
222+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+其中22+=x 解：原式=
2
)2(1-x .将22+=x 代入得.原式=2
1
▲先化简再求值2
2
44422+--+--x x x x x 其中x=2
解：原式=
4
82-x x
.将x=2代入得.原式=24- （6）若65
432+=
=+c b a .且2132=+-c b a ,求c b a +-34的值. 解：设6
5432+=
=+c b a =k.则a=3k -2.b=4k.c=6k-5 ∴2（3k -2）-4k+3(6k-5)=21 解得k=2 ∴a=4.b=8.c=7 ∴c b a +-34=-1 (7) 已知
1
1)1)(1(42++
-=+--x B
x A x x x .求A .B 的值. 解：∵
)
1)(1()()1)(1()1()1(11)1)(1(42+--++=
+--++=++-=+--x x B
A x
B A x x x B x A x B x A x x x ∴ A+B=2 A-B=-4 解得A=-1.B=3
15.解方程：（我只写了答案.在考试时一定要写过程） ①
)
1(5316-+=+-x x x x x 解得：x=1
经检验.x=1是原方程的增根
②
1
6
13122
-=-++x x x 解得：x=1
经检验.x=1是原方程的增根
③
x
x x -=--21
23 解得：x=2
经检验.x=2是原方程的增根
16.分式方程应用题
(1)在一段坡路.小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米.下坡时的速度为每小时V 2千米.则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（C ）.
A.
221v v +千米 B.2121v v v v +千米 C.2
1212v v v
v +千米 D.无法确定 解：设上坡的路程为S 千米.则下坡路程也为S 千米.由题意得：
2
12v s v s s +=
2
12
12v v v v +
(2)一项工程.A 单独做m 小时完成。

A.B 合作20小时完成.则B 单独做需20
20-m m
小时完成.
解：由题意得：
20
2012011-=
-m m
m
(3)我市从今年1月1日起调整居民用水价格.每立方米水费上涨3
1。

小明家去年
12月份的水费是15元.而今年7月份的水费则是30元。

已知小明家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5 立方米.求该市今年居民用水的价格是每立方米多少元？
解：设去年的水费为每立方米x 元.则今年为每立方米3
4
x 元.由题意得：
x x
3
430515=+
解得x=
23 经检验.x=2
3
是原方程的根且符合题意
∴今年居民用水的价格是每立方米23×3
4
=2元
答：_____________________________
(4)小明带15元钱请朋友喝饮料.如果买一种A 饮料.正好付15元且自己可以多
喝一瓶.但售货员建议他买一种新口味的B 饮料.这种B 饮料比A 饮料价格高出4
1
.
因此.他也只能喝一瓶.问这两种饮料的价格各是多少？
解：设买A 饮料所需钱为x 元.买B 饮料所需钱为
4
5
x 元
x x
4
515
115=- 解得x=3
经检验.x=3为原方程的根且符合题意
∴B 种饮料的价格是 3×
4
5
=3.75元 答：A 饮料的价格是3元.B 饮料的价格是3.75元
(5)甲、乙两人都从A 地出发到B 地.已知两地相距50千米.且乙的速度是甲速度的2.5倍.现甲先出发1小时30分.乙再出发.结果乙反而比甲早到1小时.问两人速度各是多少？
解：设甲的速度为x 千米/小时.则乙的速度为2.5x 千米/小时.由题意得：
15.15.25050+=-x
x 解得 x=12
经检验.x=12为原方程的根且符合题意 ∴乙的速度12×2.5=30千米/小时 答：_____________________________
(6)为了支援四川人民抗震救灾.某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2
万顶帐篷的任务.计划10天完成．（1）按此计划.该公司平均每天应生产帐篷2000顶；
（2）生产2天后.公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产.同时.通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25％.结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷?
解：（1）2000
（2）设该公司原计划安排名工人生产帐篷.由题意得：
.
解得．
经检验.是所列方程的根.且符合题意．
答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．
第六章平行四边形
1.平行四边形
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；
性质：（1）两组对边分别平行
（2）两组对边分别相等
（3）一组对边平行且相等
（4）两组对角分别相等
（5）对角线互相平分
判定：【证明平行四边形的方法】
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
2.三角形中位线
（1）定义：三角形两边中点的连线叫三角形的中位线；
（2）性质：中位线平行于第三边且等于第三边的一半；
推论：过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边.
中点四边形：顺次连接四边形个边中点构成的新四边形.新四边形一定是平行四边形.
3.多边形【如：n边形有n个顶点、n条边、n个内角】
（1）多边形内角和公式：（n-2）.180°（2）所有多边形的外角和都是360°
（3）对角线：从一个顶点可以引3
-
n条对角线；总共有
2)3
(-
n
n
条对角线.
★正多边形：每条边都相等.每个内角都相等
镶嵌（密铺）：用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接.彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.这就是平面图形的密铺.又称做平面图形的镶嵌。

【即用整数个全等的图形将一点围成360°（可以有多种图形组合）】
平行四边形
1.平行四边形具有而非平行四边形的图形不具有的性质是（C）
A．内角和与外角和都是360° B．不稳定性
C．对角线互相平分 D．最多有三个钝角
2. 在下列命题中.结论正确的是（B）。