导学案1：3.1.1 两角差的余弦公式

必修四
第3章 三角恒等变形
3．1.1 两角差的余弦公式
教学目标
1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣
教学重点与难点
1、重点：应用两角差的余弦公式求三角函数值
2、难点：应用两角差的余弦公式求三角函数值
[知识要点]．
两角差的余弦公式
cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ
[预习自测]
1、(易)tan 2tan 3αβ==,则tan()αβ-=( )
A.7-
B.
15 C.15- D.17
-
2、(易)设(0,)2απ∈,若3sin 5
α=,)4απ+=( ) A.15 B.75 C.75- D.15- 3、(易)sin110sin 40cos 40cos70+等于( )
A.12- C.12
D.4、(中)0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++的值等于( )
A.16
B.8
C.4
D.2
5、(中)13sin10sin 80
-的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.
14
6、(中)sin 1212
ππ的值是( )
B. D.-12 [归纳反思]
能力提升 7、(易)已知3sin 5α=-
,α是第四象限角,则sin 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭=____________. 8、(中)若tan()24πα+=,则212sin cos cos ααα
=+____________.
9、(中)0
000tan 20tan 4020tan 40+=_____________. 10、(中)化简:()()1sin cos sin 2sin 2
αβααββ+-
+-⎡⎤⎣⎦. 11、(中)已知44απ3π<<,0＜β＜4π,cos(4π+α)=－53,sin(43π+β)=135, 求sin(αβ+)的值.
参考答案
预习自测: 1.D tan tan 23tan()1tan tan 123αβαβαβ---==++⨯=17
- 2.A ∵(0,)2
απ∈,3sin 5α=
,∴4cos 5
α=, 原式
cos sin sin )44ααππ-=431cos sin 555αα-=-= 3.B 原式cos 40cos 70sin 40sin(18070)=+- cos 40cos70sin 40sin 70=+=3cos(4070)cos(30)2-=-=
4.C 0000(1tan 21)(1tan 24)2,(1tan 22)(1tan 23)2++=++=,更一般的结论045,(1tan )(1tan )2αβαβ+=++=,
5.C 原式cos103sin10sin10cos10-=()2sin 301041sin 202
-
= 6.B 原式=1
2sin cos 212212⎛⎫ππ
- ⎪⎝⎭=2sin 2sin 1234πππ⎛⎫-=-=
⎪⎝⎭
能力提升 7.10 由3sin
5α=-,α是第四象限角
,得4cos 5α===, 于是有sin sin cos cos sin 444ααα⎛⎫-=
- ⎪⎝⎭ππ
π432525⎛⎫=
-- ⎪⎝⎭= 8.23 由1tan tan()241tan αααπ++==-,得1tan 3
α= ∴212sin cos cos ααα=+2222sin cos tan 122sin cos cos 2tan 13
αααααα
α++==++
∵00
000
00tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40+=+==-
0000
20tan 40tan 20
tan 40=+,即原式
10.解:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣
⎦ = ()()()1sin cos sin sin 2
αβααβααβα+-++-+-⎡⎤⎣⎦= ()()()()()1sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin 2
αβααβααβααβααβα+-+++-+++⎡⎤⎣⎦ =()()sin cos cos sin αβααβα+-+
=()sin αβα+-=sin β
11.解:∵4π＜α＜4π3, ∴2π＜4π+α＜π.又cos(4π+α)=－53, ∴sin(4
π+α)=54. 又∵0＜β＜4
π, ∴4π3＜4π3+β＜π.又sin(4π3+β)=135, ∴cos(4π3+β)=－1312, ∴sin(α+β)=－sin ［π+(α+β)］=－sin ［(
4π+α)+(4π3+β)］ =－［sin(
4π+α)cos(4π3+β)+cos(4π+α)sin(4π3+β)］ =－［
54×(－1312)－53×135］=6563.。